¿ Cuál es el cardinal del continuo? ¿ Cuál es el cardinal del conjunto de los números reales?

¿ Cuál es el cardinal del continuo? ¿ Cuál es el cardinal del conjunto de los números reales?
¿ (En la actualidad) Estamos cerca de una solución del problema del cardinal del conjunto de los números reales ? ¿Estamos cerca de saber cuál es dicho cardinal o falta mucho todavía? Los intentos por determinar la cardinalidad del conjunto de los números reales (el cardinal del continuo) han contribuido sustancialmente con el desarrollo de la Teoría de Conjuntos. Hacia 1878 G. Cantor conjeturó que tal cardinal es el menor cardinal mayor que el cardinal de los números naturales (Alef_0), es decir, Alef_1. Esta hipótesis se denomina Hipótesis del continuo (HC) y Cantor no pudo demostrar la misma. Para David Hilbert la HC era tan importante que la colocó de primera en la lista de problemas presentada al Congreso Internacional de Matemáticas realizado en París en 1900; y uno de los resultados más destacados al respecto es la prueba de su independencia de los axiomas estándar de la Teoría de Conjuntos, la cual se debe a K. Gödel (1938) y a P. Cohen (1963-64), es decir, tales autores demostraron que si los axiomas estándar de la Teoría de Conjuntos son consistentes, entonces no se puede deducir de ellos la HC, ni la negación de la HC. Considerando esta independencia y además que (desde un punto de vista platonista) la HC es una proposición significativa la cual es verdadera o falsa, una de las investigaciones actuales más relevantes sobre el tema consiste en la búsqueda de nuevos axiomas que permitan decidir el cardinal del continuo. Vale la pena destacar que algunos de los candidatos a nuevos axiomas dicen que Cantor estaba equivocado, pues ellos implican que el cardinal del continuo es Alef_2, el menor cardinal mayor que Alef_1 (Gödel había intuido este resultado años antes). ¿ Qué ha pasado con el problema del cardinal del continuo después de Gödel (1938) y Cohen (1964) ? Intentos de responder esta pregunta pueden encontrarse en los artículos del Prof. José Alfredo Amor (1946-2011), "El Problema del continuo después de Cohen (1964-2004)", del Prof. Carlos Di Prisco , "Are we closer to a solution of the continuum problem", y del Prof. Joan Bagaria, "Natural axioms of set and the continuum problem" , que se encuentran en la biblioteca digital de este blog que aparecerá al hacer clic en la imagen. También se puede encontrar más información al respecto en dicha biblioteca, en las otras bibliotecas digitales referidas en este blog y en una entrada específica de este blog dedicada al tema (por favor leer esta entrada de primero).

sábado, 13 de julio de 2013

FORMA NORMAL PRENEXA, FORMA NORMAL DE SKOLEM, VALIDEZ, TAUTOLOGÍA, EL TEOREMA DE INDECIBILIDAD DE CHURCH (1936) y COMPUTABILIDAD.





--------------------------------THORALF ALBERT SKOLEM (1887–1963)-------------



----------------------------------------ALONZO CHURCH (1903-1995)-------------

Un resultado clásico de LÓGICA MATEMÁTICA es el Teorema que relaciona la VALIDEZ de la Lógica de Primer Orden con la TAUTOLOGICIDAD de la Lógica proposicional en el sentido de que permite caracterizar la "validez" en la Lógica de Predicados Poliádicos usando "tautologicidad" en la Lógica Proposicional. Un enunciado de dicho teorema puede leerse en la imagen (escaneada) que se anexa al final de este párrafo, y una prueba del mismo puede hacerse usando resultados sobre FORMA NORMAL PRENEXA, FORMA NORMAL DE SKOLEM y EL TEOREMA DE HERBRAND (1930), así lo demuestran los Profesores Anil Nerode y Richard Shore en su texto LOGIC FOR APPLICATIONS, Springer-Verlag, 1993, libro que se puede encontrar y bajar en la biblioteca digital de este blog.



(Nota: Hay otras pruebas más clásicas de este resultado, por ejemplo el mismo se puede obtener como un colorario de Teorema de completitud original de Gödel, el cual usa forma normal de Skolem (definida de otra manera), ver texto de Church "Introduction to mathematical logic" de 1956. He realizado una vesión propia de esta demostración siguiendo a Church (1956), se puede leer en mi artículo "Dos tópicos de lógica matemática y sus fundamentos" (Episteme NS, 34, N° 1, 2014, pp. 41-65) el cual está en la web y se puede bajar, uno de los enlaces donde se encuentra es en la web de "saber ucv": http://saber.ucv.ve/ojs/index.php/rev_ens/article/view/7742)

¿Y el resultado mencionado arriba no contradice al Teorema de indecibilidad de Alonzo Church ("La Lógica de primer Orden es indecidible", 1936), ya que la lógica proposicional es decidible?: La respuesta es que NO, porque a los n términos mencionados no hay cómo elegirlos de manera efectiva, es decir, se sabe que existen pero no hay un procedimiento mecánico y efectivo que permita determinarlos.

En el siguiente enlace se puede leer (y bajar) un interesante artículo del Profesor Jesús Mosterín sobre el problema de la decisión (un resumen general de su estado actual), en el mismo se presentan varios problemas abiertos sobre fragmentos decidibles o indecidibles de la Lógica de Primer Orden, dicho artículo también se puede encontrar y bajar en la biblioteca digital de este blog, se llama "El Problema de la decisión en la lógica de predicados" (Convivium, Núm. 39, 1973):

http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&ved=0CDUQFjAB&url=http%3A%2F%2Fwww.raco.cat%2Findex.php%2FConvivium%2Farticle%2Fdownload%2F76430%2F98646&ei=Jh4YUsrNGIi92gXO0YHYDQ&usg=AFQjCNExXuJfr4QclWzcHD8zHf_DY0UlTQ&sig2=4mhHkOkEgGSi0gfjI1RWlg&bvm=bv.51156542,d.b2I&cad=rja"

Otras dos conocidas aplicaciones importantes del procedimiento efectivo de Forma Normal de Skolem son las siguientes: (a) Como se dijo anteriormente en la prueba original del Teorema de Completitud de Gödel para la lógica de primer orden (1930) se usó este procedimeto (Ver libro de Church antes mencionado, y texto "Obras completas" de Gödel el cual se encuentra en la biblioteca digital de este blog y se puede bajar), y (b) En el "Cálculo de Resolución" se usa este procedimiento, tal cálculo es muy importante en PROLOG (Programación con Lógica), es decir, en el campo de la Inteligencia Artificial, ver texto LOGIC FOR APPLICATIONS anteriormente mencionado y el texto "Lógica para principiantes" de María Manzano y Antonia Huertas. En la biblioteca digital de este blog está una versión del libro "Lógica para principiantes" (por María Manzano solamente) pero la misma no tiene el Cálculo por Resolución, la versión de María Manzano y Antonia Huertas es la que tiene el Cálculo por resolución, tal vez se pueda conseguir por la web esta versión, la que está en la biblioteca digital actualmente tiene una exposición sistemática del Cálculo por Tablas (árboles) semánticas, el cual también es de utilidad en computabilidad y para trabajar manualmente lógica elemental, por ejemplo para decidir la validez o no validez de razonamientos formalizables en primer orden hasta predicados monádicos. Los fundamentos matemáticos del método de Cálculo lógico de Tablas (árboles) semánticas pueden encontrarse en el texto mencionado anteriormente, LOGIC FOR APPLICATIONS, también en dicho texto se extiende tal método (árboles semánticos) a la Lógica Modal y a la lógica intuicionista y se demuestra matemáticamente que todo funciona bien en ambos sistemas lógicos(las estructuras de Kripke juegan un papel fundamental allí para definir la semántica en ambos sistemas lógicos y probar el teorema de completitud del Cálculo referido). Vale la pena resaltar que un Teorema importante para fundamentar matemáticamente el Cálculo por Resolución es el TEOREMA DE HERBRAND (1930), también el "ALGORITMO DE UNIFICACIÓN" es fundamental en tal método de cálculo (y en Tablas-árboles-semáticos también). Por ejemplo los procedimientos efectivamente computables de "Forma normal prenexa, "Forma normal de Skolem", "Forma normal conjuntiva" y "Unificación" permiten pasar todo el lenguaje de la lógica de primer orden a "lenguaje clausular", y así poder aplicar la "Regla de Resolución", única regla del Cálculo por Resolución. Ver texto referido anteriormente "LOGIC FOR APPLICATIONS".

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