Algunos métodos de construcción de modelos en Teoría de modelos o en Teoría de conjuntos de gran utilidad para la investigación de los fundamentos de las matemáticas o para probar teoremas matemáticos.

(Agosto 2017)


Nota: Como es conocido, un libro estándar y clásico de Teoría de Modelos muy importante y de uso mundial como primer texto sobre el tema en el área de Matemáticas es "Model Theory" de Chang y Keisler. Lo recomiendo, allí están paresentados (de manera rigurosa) algunos de los métodos que aquí se mencionan resumidamente, y también allí estan explicados muchos otros interesantes métodos que aquí no se mencionan. Otro excelente texto sobre el tema es "Teoría de Modelos" de María Manzano. Y otros dos libros sobresalientes a nivel mundial sobre teoría de modelos para la teoría de conjuntos son "Set Theory" de Kunen, y "Set Theory" de Jech. También los recomiendo ampliamente. Tales textos mencionados se pueden conseguir (en formato digital) en la web.

La imagen anterior alude a un tipo de modelo matemático: Una "estructura" (o "interpretación") para un lenguaje L, donde L puede ser finito o infinito (de cualquier cardinalidad Alef_alfa). Tales estructuras se pueden considerar como una generalización de las estructuras de "grupo", "anillo" y "cuerpo" (entre otras) del álgebra abstracta (o álgebra moderna). Ver la definición rigurosa de las mismas en los textos de Chang y Keisler y/o María Manzano arriba referidos ("Model Theory" y "Teoría de Modelos").

                                                              Alfred Tarski (1902-1983)

Hablando de “Teoría de Conjuntos” y “Teoría de Modelos” (Álgebra universal + Lógica = Teoría de Modelos) existen varios métodos de construcción de modelos que han contribuido con el desarrollo de la matemática y con el estudio de sus fundamentos. Tales métodos, en sí mismos, son interesantes. A continuación se mencionan algunos de ellos y se ofrece alguna referencia bibliográfica al respecto, la mayoría de dichas referencias se pueden conseguir (y bajar) en la biblioteca digital de este blog:

(1) El método de construcción de modelos a partir de constantes: Con el cual se demuestra el Teorema de Completitud para la Lógica de Primer Orden con lenguajes de cualquier cardinalidad. Una exposición del mismo puede encontrarse (entre otros) en el texto "Model Theory" de Chang y Keisler (1992), el cual se encuentra en la bibliteca digital de este blog y se puede bajar.

He escrito unas notas que contienen una demostración detallada del Teorema de Completitud de Gödel para lenguajes de cualquier cardinalidad, dicha prueba  usa está técnica de construcción de modelos. Las notas se llaman así:

El Teorema de completitud de Gödel, el Teorema del Colapso Transitivo de Mostowski y el Principio de Reflexión.

Resumen de las notas: "Es conocido que el Teorema de Completitud de Gödel, el Teorema del Colapso Transitivo de Mostowski y el Principio de Reflexión son resultados muy útiles en las investigaciones de Lógica matemática y/o los Fundamentos de la matemática. El objetivo de este trabajo es presentar algunas demostraciones clásicas de tales resultados: Dos del Teorema de Completitud de Gödel, una del Teorema del Colapso Transitivo de Mostowski y una del Principio de Reflexión. Se aspira que estas notas sean de utilidad para estudiar dichas pruebas. Vale la pena resaltar que entre los métodos matemáticos que se utilizan en tales demostraciones se encuentran: (1) La técnica de construcción de modelos a partir de constantes (o  "método del conjunto maximal consistente  con un conjunto de testigos" de Henkin) y (2) el Principio de inducción matemática en varias versiones [ (2.1) Inducción matemática sobre los números naturales y (2.2) Inducción transfinita ((2.2.1) Inducción transfinita sobre conjuntos bien ordenados cualesquiera, por ejemplo sobre un cardinal infinito Alef_alfa, (2.2.2) Inducción transfinita sobre una clase de conjuntos bien ordenada, por ejemplo  sobre la "clase de todos los ordinales, finitos o infinitos", y (2.2.3) Inducción transfinita sobre relaciones bien fundamentadas, por ejemplo sobre la "relación de pertenencia" entre conjuntos)]".

Las notas se pueden conseguir y bajar en el siguiente enlace de "Saber UCV": 

http://saber.ucv.ve/handle/123456789/17426

También las notas se pueden conseguir (y bajar)  en la biblioteca digital de este blog.

(2) El método de construcción de modelos usando funciones de Skolem: Con el cual se prueba (entre otros) el Teorema de Löwenheim-Skolem-Tarski hacia abajo. Una exposición del mismo puede encontrarse (entre otros) en el texto "Teoría de Modelos" de María Manzano y "Model Theory" de Chang y Keysler. (Con el Teorema de Löwenheim-Skolem-Tarski hacia abajo se pueden construir modelos no estándar, por ejemplo.)

Pequeña nota al respecto:

Dos aplicaciones en lógica de la cerradura de un conjunto bajo funciones (que se usa a menudo en matemáticas) son las siguientes:

(a) La prueba directa del Teorema de Löwenhein-Skolem-Tarski hacia abajo, usando funciones de Skolem. (Es conocido que usualmente se prueba este teorema como un corolario del Teorema de Completitud de Gödel).

Teorema de Löwenhein-Skolem-Tarski hacia abajo: Si una Teoría T tiene un modelo A' de cardinal kappa, entonces tiene modelos B' de cualquier cardinalidad beta, donde beta es menor que kappa y beta es mayor o igual que el cardinal del lenguaje de T.

Es conocido que esta prueba requiere del Axioma de elección para poder definir las funciones de Skolem a partir de las fórmulas existenciales del lenguaje de la teoría T. El método general para definir las funciones de Skolem es el siguiente:

Sea A' = (A, R_j, f_i, c_k) una estructura para un lenguaje L y sea “Existe x Q(x, z_1,z_2,....,z_n)” una fórmula existencial del lenguaje L que tiene n variables libres. Entonces se define la función de Skolem F correspondiente a dicha fórmula, usando el Axioma de elección, de la siguiente forma (F será una función n-aria):

F(a_1,a_2,...,a_n)= g(a_1,....,a_n) , si “Existe x Q(x, a_1,a_2,....,a_n)” es verdad en A', g es la función selectora correspondiente a dicha fórmula proporcionada por el Axioma de elección y g(a_1,....,a_n) es el elemento de A elegido por g para la n-tupla (a_1,...,a_n).

F(a_1,a_2,...,a_n)=b_0, si “Existe x Q(x, a_1,a_2,....,a_n)” es falsa en A' y b_0 es un elemento de A que se ha fijado con anterioridad y se usará también en cada una de las definiciones de las funciones de Skolem correspondientes a las otras fórmulas existenciales de L, en caso de ser necesario. La cantidad de funciones de Skolem definidas dependerá del cardinal del lenguaje L.

Después de definir las funciones de Skolem la idea de la demostración es considerar un subconjunto D del modelo (la estructura) inicial A' que tenga el cardinal deseado beta y se cierra a dicho conjunto D bajo las fuciones de Skolem en una cantidad numerable de pasos, así que el conjunto cerrado D* tendrá cardinal beta y la estructura D' que el mismo determina (de la cual D* es es su universo) será un submodelo elemental de la estructura inicial A', esta prueba (la de submodelo elemental) se realiza por inducción en el rango de las fórmulas.

Ver dos ejemplos rigurosos de dicha prueba en los textos de “Teoría de Modelos” de María Manzano y “Model Theory” de Chang y Keysler. El libro de Model Theory está en la biblioteca digital de este blog.

(b) La construcción del conjunto Df(A,n) que se necesita para la construcción (por inducción transfinita en los ordinales) del “Universo de los conjuntos constructibles de Gödel”, L (Nota: Esta definición de Df(A,n) que se presentará es parte de una definición rigurosa de Df(A,n) que se hace dentro de la teoría axiomática de conjuntos  de Zermelo-Fraenkel, ZF, y ella permite definir a L en ZF, entre otros modelos):

El conjunto referido Df(A,n), definido simultánemanete para cualquier n, se define informalmente así: Df(A,n)= el conjunto de todas las relaciones n-árias sobre A definidas con una fórmula P(x_1,...,x_n) con n varibles variables y relativizada a A. La idea intuitiva para construir a Df(A,n) es construir primero el conjunto X de todas las relaciones n-árias sobre A definibles con la relación de pertenencia o con la relación de identidad, y luego este conjunto X de relaciones básicas se cierra (en una cantidad numerable de pasos) bajo las operaciones de complemento (correspodiente a la negación), de intersección (correpondiente a la conjunción) y de proyección (correspondiente al cuantificador existencial), la cerradura de X, llamésmola X*, es el conjunto buscado Df(A,n). Luego, con esta definición de Df(A,n), se define la operación D(A), para cualquier conjunto A, de la siguiente manera (intuitivamente D(A)= la colección de todos los subconjuntos de A que se pueden definir con una fórmula P(x,a_1,....,a_n) relativizada a A, con parámetros a_1,...,a_n en A):

D(A)= {X subconjunto de A : Existe un natural n y Existe un s que pertenece en A a la n y Existe una realación R en Df(A, n+1) tal que X={x : s unión {x} pertenece a R}}.

Finalmente se define a L por inducción transfinita en los ordinales así (intuitivamente):

L_0=el conjunto vacío.

L_(alfa+1)= D(L_alfa)

L_lamda = Unión L_beta, para todo beta menor que lamda y lamda un ordinal límite.

L = Unión L_gamma, para todo número ordinal gamma.

Fin de la difinición de L usando (i) a los conjuntos Df(A,n), los cuales se definieron usando cerradura bajo funciones, (ii) a la operación D(A), y (iii) a la inducción transfinita en los ordinales.

Ver esta construcción de L de manera rigurosa en el libro “Set Theory” de Kunen, y también una construcción distinta pero equivalente (tanto por los resultados como en el hecho de que usa cerradura bajo funciones) en el texto de “Set Theory” de Jech. Ambos libros están en la biblioteca digital este blog. Este método de los constructibles de Gödel se mencionará en el siguiente item.

(3) El método de construcción de modelos de los “constructibles de Gödel” (L): Con el cual se demuestra (entre otros) que el Axioma de Elección y la Hipótesis del continuo son consistentes con los axiomas estándar de la Teoría de Conjuntos (ZF). Una exposición rigurosa del mismo (dentro de ZF) puede encontrarse (entre otros) en los textos "Set Theory" de kunen (2006) y "Set Theory" de Jech (2000). Una descripción intuitiva y resumida de dicho método (L) se realizó en la sección (b) del item anterior (fue una definición dentro de ZF). Otra definición intuitiva de dicho modelo (L), en el contexto de la Teoría de Modelos, es la siguiente que se hace también por inducción transfinita en los ordinales:

L_0= Conjunto vacío

L_(alfa + 1)= { A subconjunto de L_alfa: A es definible con parámetros en (L_alfa, pertenencia)}

L_lamda = Unión L_beta, para todo beta menor que lamda y lamda un ordinal límite.

L = Unión L_gamma, para todo número ordinal gamma.

(4) El método de construcción de modelos llamado “forcing de Cohen”: Con el cual se demuestra (entre otros) que la negación del Axioma de Elección es consistente con ZF y que la negación de la Hipótesis del continuo es consistente con ZFC. También con el mismo se pueden demostrar teoremas de ZFC usando resultados de "absoluticidad".

Una muy pequeña descripción del método en su versión de "foncing con ordenes parciales" (pues también está la versión equivalente de "forcing con modelos a valores booleanos", por ejemplo) es la siguiente:

Sea (M, pertenencia) un modelo transitivo y numerable de ZFC. Sea (P,<) un orden parcial en M y G un filtro P-genérico sobre M (donde G no pertenece a M). Entonces (M{G}, pertenencia), la extensión genérica de (M,pertenencia), es un modelo transitivo y numerable de ZFC que contiene los mismos ordinales que M, (M{G}, pertenencia) es el menor (según la relación de inclusión) modelo transitivo numerable de ZFC que contiene a “M unión {G}”.

Vale la pena destacar que la extensión genérica (M{G}, pertenencia) se puede construir intuitivamente a partir de la estructura de von Neumann (V, pertenencia) usando el Teorema de Lowenheim-Skolen-Tarski hacia bajo y el Teorema del Colapso transitivo de Mostowski, pero para probar rigurosamente (dentro de una teoría axiomática de conjuntos) que él tiene las propiedades deseadas es necesario las definiciones rigurosas de dicha extensión dentro del sistema, esto fué uno de los grandes aportes realizados por Cohen a la Teoría de conjuntos (1963-64), el método de forcing es una enorme belleza matemática y una enorme belleza en general.

En este blog existe una entrada llamada  "¿En qué consiste el método para construir modelos de la Teoría de conjuntos llamado "FORCING"? y ¿Cuál es su importancia en las Matemáticas contemporáneas?", VER.

Una exposición del método de forcing puede encontrarse (entre otros) en los textos "Set Theory" de kunen y "Set Theory" de Jech. En el primer texto mencionado se presenta el método con ordenes parciales y en el segundo con álgebras booleanas. He escrito unas notas en el 2015 llamadas: "El Método de Forcing: Algunas Aplicaciones y una apróximación a sus fundamentos metamatemáticos", las cuales son una re-edición ampliada de mi tesis de maestría (2003). Tales notas se pueden encontrar y bajar de la web de "Saber UCV", ellas están en el siguiente enlace: http://saber.ucv.ve/handle/123456789/16262 . Resumen de las notas: "Es conocido que el método de forcing es una de las técnicas de construcción de modelos más importantes de la Teoría de conjuntos en la actualidad, siendo el mismo muy útil para investigar problemas de matemática y de fundamentos de la matemática. El objetivo del siguiente trabajo es estudiar tal método, describir algunas de sus aplicaciones (forcing de Cohen, forcing aleatorio, forcing de Mathias, forcing de Sacks, forcing de Silver, etc)  y ofrecer una aproximación a sus fundamentos metamatemáticos. Se aspira que este texto sirva de apoyo para aprender dicho método".

"Paul Cohen y la técnica del forcing" (1999): Un excelente artículo divulgativo escrito por el Profesor Joan Bagaria sobre el método de forcing (Departament de Lógica, História i Filosofía de la Ciéncia. Universitat de Barcelona-Institució Catalana de Recerca i Estudis Avacats (ICREA)),está en nuestra biblioteca digital y se puede bajar.

Nota: Se agregan dos videos de youtube con una conferencia introductoria sobre el método de forcing dictada por el profesor Ulises Ariet Ramos Garcia del Instituto de Matemáticas de la UNAM. 2015. Nombre de la charla: "CONSTRUCCIONES CON EL MÉTODO DE FORCING". En dicha charla se realiza una presentación intuitiva del método y se ofrece información sobre aplicaciones del mismo al álgebra, al análisis y a la topología. VER. Son dos partes: Parte 1 (30 min), Parte 2 (15 min). Anexo los dos enlaces de youtube:

https://www.youtube.com/watch?v=ZJ6QP3H9R0A , https://www.youtube.com/watch?v=TCeyCFB8yz4

(5) El método de construcción de modelos llamado “Ultraproductos”: Con el cual se puede hacer una prueba directa del Teorema de Compacidad para la Lógica de Primer Orden (Es conocido que también el Teorema de Compacidad se puede probar como un corolario del Terorema de completitud de Gödel para la Lógica de primer orden que se mencionó al inicio de esta entrada cuando se habló de la "técnica de construcción de modelos a partir de constantes"). Con Compacidad a su vez se pueden construir (por ejemplo) modelos "no estándar" (es decir, modelos que son al mismo tiempo "no isomorfos" y "elementalmente equivalentes" al modelo estándar) para la aritmética en primer orden y para la teoría de los números reales en primer orden, por ejemplo se puede construir el "cuerpo ordenado y no arquimediano de los Hiper-Reales" del Análisis no estándar de Robinson. También se puede (con compacidad) probar el Teorema de Löwenheim-Skolem-Tarski hacia arriba que impide que existan teorías categóricas con modelos infinitos. Con Ultraproductos se puede también demostrar (entre otros) resultados sobre cardinales grandes en la Teoría de Conjuntos. Una exposición del mismo puede encontrarse (entre otros) en el texto "Model Theory" de Chang y Keisler. Vale la pena resaltar que los "Ultraproductos" se construyen a partir de "Ultrafiltros" y por lo tanto tal método requiere del Axioma de elección. He realizado un artículo donde presento de manera detallada el método de contrucción de modelos llamado "Ultraproductos" y también describo detalladamente una demostración del Teorema fundamental de los Ultraproductos (Teorema de Lós) que tal vez pueda ser útil, está en el siguiente enlace de la web y se puede bajar: http://biblo.una.edu.ve/ojs/index.php/UNAINV/article/view/1442 . Se llama así: "Una presentación de la demostración directa del teorema de compacidad de la lógica de primer orden que usa el método de ultraproductos". UNA INVESTIG@CIÓN, Vol. VIII, N 15 (2016). VER.  Y también se puede conseguir (mi investigación sobre los ultraproductos) en mi trabajo llamado "Algunos tópicos de Lógica matemática y los Fundamentos de la matemática"  (2017). Dicho trabajo se puede encontrar y bajar en el siguiente enlace de la web  "Saber UCV":  http://saber.ucv.ve/handle/123456789/16943 . 

(6) Otros métodos de construcción de modelos importantes son: "Forcing producto", "Forcing iterado" (con el cual, por ejemplo, se culmina la prueba de la independencia de la Hipótesis de Suslin de ZFC), "Constructibilidad relativizada" (L(A) y L[A]), los modelos HOD(A) (la clase de todos los conjuntos hereditariamente definibles por ordinales sobre A) , los modelos H(alfa) (el conjunto de todos los conjuntos hereditariamente de cardinal menor que alfa, donde alfa es un cardinal infinito), "Modelos simétricos",  etc. Una exposición de los mismos puede encontrarse (entre otros) en los textos "Set Theory" de Kunen, "Multiple Forcing" de Kunen (1986) y "Set Theory" de Jech.

(7) Modelos que se construyen con la Teoría de conjuntos con átomos (ZFA), "modelos con permutaciones", "Modelos Fraenkel-Mostowski". Como es conocido en tales modelos no vale el Axioma de fundamentación. Los primeros modelos donde no vale el Axioma de elección se construyeron con ZFA y son modelos con permutaciones. Una exposición de algunos de tales modelos ("El Modelo Básico de Fraenkel", "El Segundo Modelo de Fraenkel", "El Modelo Ordenado de Mostowski", etc.) puede encontrarse en los textos "The Axiom of Choice" de Jech (1973) y "Consequences of the Axiom of Choice" de Howard y Rubin (1998). El libro "The Axiom of Choice" de Jech se encuentra en la bibliteca digital de este blog y se puede bajar.

(8) Un resultado muy útil que se utiliza a menudo en la contrucción de modelos de la teoría de conjuntos es El Teorema del Colapso transitivo de Mostowski (1949), un teorema de representación de modelos, a veces se combina con el teorema de Löwenhein-Skolem-Tarski hacia abajo (o con con la técnica de Ultraproductos, especialmente Ultrapotencias) para obtener pertenecia-modelos transitivos los cuales son de gran utilidad pues existen muchos resultados demostrados para modelos transitivos que se le pueden aplicar, por ejemplo resultados de absolutez. Es  importante  para probar que L es un  modelo de ZF + AE + HGC. También tiene otras aplicaciones en investigaciones con  ultraproductos  y cardinales grandes. Etc. 

Teorema: Sea el par (M, R) donde M es una clase y R es una relacion binaria sobre M que es bien fundamentada y extensional. Entonces existe una clase transitiva N tal que la estructura (N, pertenencia) es isomorfa a (M, R).

Un formulación más rigurosa y una aprueba de dicho teorema puede encontrarse (entre otros) en "Set Theory" de Jech y "Set Theory" de Kunen.

He escrito unas notas (referidas anteriormente en esta entrada) que contienen una demostración detallada del Teorema del Colapso Transitivo de Mostowski   que  se llaman así:

El Teorema de completitud de Gödel, el Teorema del Colapso Transitivo de Mostowski y el Principio de Reflexión.

En la primera referencia que se hizo en esta entrada de dichas notas se colocó un resumen de las mismas, VER. Como se dijo anteriormente, dichas  notas se pueden conseguir y bajar en el siguiente enlace de "Saber UCV": 

http://saber.ucv.ve/handle/123456789/17426

También  se pueden conseguir (y bajar)  en la biblioteca digital de este blog.

(9) El Teorema de Compacidad, el Teorema de Lowenheim-Skolen-Tarski hacia arriba. ("Modelos no estándar",es decir, modelos que son al mismo tiempo "no isomorfos" y "elementalmente equivalentes" al modelo estándar).

(10) Etc.