Cantor y la Teoría de Conjuntos contemporánea.

(27-12- 2017)


  --------------------------------------GEORG CANTOR (1845-1918)--------------------------

"NADIE  PODRÁ  EXPULSARNOS  DEL  PARAÍSO  QUE  CANTOR CREÓ PARA  NOSOTROS".  David Hilbert. Artículo "Acerca del infinito" (1925-26).  Texto: "Fundamentos de las Matemáticas", Mathema, 1993, página 94.

Una biografía de Georg Cantor puede encontrase en el texto "LOS LÓGICOS" (2000) de Jesús Mosterín (1941-2017). [Vale la pena destacar que los tutores de la tesis doctoral de Cantor en matemáticas fueron los matemáticos Ernst Kummer (1810-1893) y Karl Weierstrass (1815-1897)].

Según el destacado matemático, lógico, filósofo y conjuntista Joan Bagaria "La teoría de conjuntos es una disciplina matemática relativamente reciente. Tiene sus orígenes en la teoría de Cantor sobre los ordinales y cardinales transfinitos,desarrollándose a lo largo del siglo XX hasta convertirse en un área de investigación matemática de gran complejidad técnica y conceptual. La teoría de conjuntos es,por una parte, la teoría matemática del infinito, y como tal es una teoría matemática más. Pero, por otra parte, la teoría de conjuntos es también el fundamento sobre el que descansan todas las demás teorías matemáticas, en el sentido de que prácticamente toda la matemática puede, en principio, reducirse formalmente a la teoría de conjuntos. Este papel fundacional hace que la teoría de conjuntos ocupe un lugar muy especial entre las diferentes áreas de la matemática y que tenga un interés también filosófico." (Artículo: "La Teoría de conjuntos". La Gaceta de la RSME, Vol. 15 (2012), Núm. 2, Págs. 1–20. Dicho artículo está en la biblioteca digital de este blog y se puede bajar.).

Sobre los orígenes de la Teoría de conjuntos vale la pena agregar unas palabras que la destacada matemático y filósofo de la matemática y de la lógica, Penelope Maddy, escribió en su texto "Naturalism in Mathematics" (Clarendon Pree, Oxford, 1997. Dicho texto está en la biblioteca digital de este blog y se puede bajar): "La teoría de conjuntos, tal como la conocemos ahora, es resultado de la confluencia de dos acontecimientos históricos bien diferenciados: por un lado, la obra de Gottlob Frege, realizada entre la década de 1870 y los primeros años del siglo XX; y por otro, la de Georg Cantor, aproximadamente en el mismo período. El hecho de que las motivaciones originales de Frege eran al menos parcialmente filosóficas, mientras que las de Cantor eran en un principio mayormente matemáticas, sólo confirma la riqueza de las raíces conceptuales de la teoría".

Georg Cantor (1845-1918) es considerado el padre de la Teoría de Conjuntos. La primera investigación sobre los conjuntos infinitos se atribuye a Bernard Bolzano (1782-1848), quien introdujo el término Menge (conjunto). Sin embargo, fue Cantor quien se dio cuenta de la importancia de las funciones uno a uno entre conjuntos e introdujo el concepto de cardinalidad de un conjunto. Con Cantor se originó la teoría de los números cardinales (infinitos) y ordinales (infinitos) , así como las investigaciones de la topología de la recta real. Cantor comenzó a publicar sus investigaciones en un artículo de 1874, donde demostró que el conjunto de los números reales no es numerable, mientras que el conjunto de todos los números reales algebraicos es numerable. En otro artículo de 1878 dio la primera formulación de su famosa Hipótesis del continuo. Para más detalles sobre el contenido de este párrafo ver el libro "Set Theory" de Jech (2000), página 15, el cual se puede encontrar y bajar de la biblioteca digital de este blog.

La siguiente imagen sugiere la idea del famoso "argumento de la diagonal" que usó Cantor para demostrar que el conjunto de los números reales no es numerable:

En el primer párrafo del primer capítulo de una de las obras de Cantor, "FUNDAMENTOS PARA UNA TEORIA GENERAL DE CONJUNTOS" (1883), editada por José Ferreirós, Crítica, 2006, dice Cantor:

"La precedente exposición de mis investigaciones en Teoría de Conjuntos ha llegado a un punto en el que su continuación depende de una extensión del verdadero concepto de número más allá de los límites conocidos, y esta extensión va en una dirección que hasta donde yo sé no había sido explorada antes por nadie".

¿Y cuáles son esos nuevos números a los cuales se refiere Cantor?. Ye se dijo anteriormente que son los números transfinitos: LOS NÚMEROS ORDINALES (infinitos) Y LOS NÚMEROS CARDINALES (infinitos), ver la definición contemporánea de los mismos, su aritmética  y propiedades básicas en los textos (entre otros) "Teoría de conjuntos" de Carlos Di Prisco e "Introduction to set theory" de Karel Hrbacek y Thomas Jech. Ambos libros se encuentran en la biblioteca digital de este blog y se pueden bajar. Por ejemplo la clase de los números ordinales se puede definir intuitivamente de la siguiente manera (siguiendo a  John von Neumann):

0=El conjunto vacío,  1={0},  2={0,1},  3={0,1,2},  n={0,1,2,3,...,n-1}, ..., Omega={0,1,2,3,...,n, n+1,...}, Omega + 1 = {0,1,2,3,...,n, n+1,..., Omega}, Omega + 2 =  {0,1,2,3,...,n, n+1,..., Omega, (Omega + 1)}, Omega + 3 =  {0,1,2,3,...,n, n+1,..., Omega, (Omega + 1), (Omega + 2)}, ...., Omega + Omega =  {0,1,2,3,...,n, n+1,..., Omega, (Omega + 1), (Omega + 2), (Omega + 3),....}, (Omega + Omega) + 1 =  {0,1,2,3,...,n, n+1,..., Omega, (Omega + 1), (Omega + 2), (Omega + 3),...., (Omega + Omega)},....Así sucesivamente. Se puede apreciar claramente que cada ordinal es igual al conjunto de los ordinales que lo preceden.

La siguiente imagen alude a la secuencia infinita de los números ordinales de Cantor (ordinales finitos y ordinales infinitos (transfinitos)):

La clase de los números cardinales transfinitos de Cantor (los Alef_alfa) se puede definir por inducción transfinita en los ordinales de la siguiente manera:


Alef_0= Omega

Alef_(gama+1)= {beta pertenece Ordinales : beta es equipotente a algún subconjunto de Alef_gama}

Si lambda es un ordinal límite, entonces:

Alef_lamdda = Unión {Alef_teta : teta pertenece lambda}


La siguiente imagen alude a la secuencia infinita de los números cardinales (transfinitos) de Cantor:

Con respecto a la teoría de conjuntos de Cantor David Hilbert (1862-1943) dice lo siguiente en su artículo "Acerca del Infinito", texto "Fundamentos de las Matemáticas", Mathema, Página 89 (el mismo se puede encontrar en la biblioteca digital de este blog):

"Sin embargo, por sí solo el análisis resulta insuficiente para proporcionarnos una visión de la más profunda esencia del infinito. Esta visión la encontramos más bien en la teoría de conjuntos de Georg Cantor, una disciplina más cercana a un enfoque filosófico general que ubica todo el complejo de problemas relativo al infinito en una nueva perspectiva. Lo que aquí nos importa de ella es precisamente aquello que en verdad constituye su núcleo fundamental, esto es, LA TEORÍA DE LOS NÚMEROS TRANSFINITOS. En mi opinión, el sistema de Cantor constituye no sólo la flor más admirable que el espíritu matemático ha producido, sino igualmente uno de los logros más elevados de la actividad intelectual humana en general".

Con respecto a los principios de la Teoría de conjuntos cantoriana a continuación se cita un comentario de Cantor sobre el "Principio del Buen Orden" que aparece en el texto anteriormente mencionado editado por Ferreirós y después se citan unas palabras sobre dicho comentario escritas por Ferreirós (que se encuentran en el mismo libro en una sección llamada "Notas del editor", es la nota número siete):

Georg Cantor (1883):

"El concepto de conjunto bien ordenado resulta ser fundamental para la teoría entera de conjuntos. Siempre resulta posible poner cualquier conjunto bien definido en la forma de un conjunto bien ordenado; a esta ley del pensamiento, que en mi opinión es fundamental y rica en consecuencias, y especialmente notable en razón de su validez general, retornaré en un artículo posterior".

Comentario de José Ferreirós (2006) sobre las palabras anteriores de Cantor:

"Esta frase resulta sumamente significativa, ya que en ella Cantor formula el Teorema del Buen Orden, si bien lo considera como un principio lógico o "ley del pensamiento" (Denkgesetz). Años más tarde intentaría ofrecer una demostración, como sabemos por las cartas de Hilbert y Dedekind: en 1897-1899 planeba escribir una tercera parte de Beiträge dedicada a este asunto. Sin embargo, ese artículo no llegó a publicarse, de modo que el Teorema del Buen Orden no volvió a ser mencionado por Cantor después de 1883. Lo planteó nuevamente David Hilbert (1862-1943) en el primero de sus célebres "Mathematische Probleme" de 1900. Ernst Zermelo (1871-1953) ofreció dos demostraciones en 1904 y 1908, sobre la base del Axioma de Elección, con lo que suscitó un intenso debate en torno a la teoría de conjuntos y los métodos abstractos".

Considerando el párrafo anterior del profesor Ferreirós creo que vale la pena destacar dos cosas:

(1) Quizá, como dicen algunos conjuntistas, el Axioma de elección (Todo conjunto tiene una función selectora) es el axioma más discutido de las matemáticas después del axioma euclidiano de las paralelas. Dicho axioma tiene argumentos a favor (por ejemplo que es rico en consecuencias matemáticas interesantes) y argumentos en contra (por ejemplo que no es constructivo). También es conocido que el Axioma de elección es equivalente al Principio del Buen Orden cantoriano, al Lema de Zorn y al Teorema de Tychonoff (de la topología), y que es independiente del resto de los axiomas estándar de la Teoría de conjuntos (ZF), la demostración de la independencia se debe a Gödel (1938), usando la técnica de los conjuntos constructibles, y a Cohen (1963-64) usando el método de forcing y automorfismos. Según el texto "Consequences of the Axiom of Choice", de Howard y Rubin (American Mathematical Society, 1998), el Axioma de elección tiene al menos 383 FORMAS (DONDE CADA UNA DE LAS FORMAS TIENE AL MENOS UN ENUNCIADO EQUIVALENTE O CONSECUENCIA ESTRICTA DEL AXIOMA DE ELECCIÓN, Y HAY ALGUNAS FORMAS QUE TIENEN VARIOS ENUNCIADOS EQUIVALENTES O CONSECUENCIAS ESTRICTAS DE DICHO AXIOMA). Estas 383 formas (los anunciados que las constituyen) se pueden clasificar a su vez según las distintas áreas de las matemáticas a los cuales pertenecen: Formas Algebraicas, Formas de Análisis, Formas de números cardinales, Formas de elección, Teoremas de punto fijo, Formas de Teoría de Grafos, Formas Lógicas, Principios maximales, Formas que involucran medidas sobre conjuntos, Formas diversas, Principios ordenadores que incluyen propiedades de órdenes parciales, y Formas topológicas (incluyendo propiedades del conjunto de los números reales)..... Es muy interesante este tema del Axioma de elección.

(2) Hoy en día (después de la axiomática para la teoría de conjuntos ofrecida por Zermelo en 1908 para "salvar" a la teoría de conjuntos de las paradojas de Russell, Cantor, Burali-forti, etc) la teoría de conjuntos se estudia de manera axiomática, y se han propuesto varias teorías axiomáticas alternativas, por ejemplo la de Zermelo-Fraenkel (ZFC), la de Neumann-Bernays-Gödel (NBG), la de Morse-Kelly (MK), la de Teoría de Tipos (ST), dos axiomáticas de Quine (NF y ML), la Teoría axiomática de conjuntos con átomos (ZFA), etc. Un resumen de las axiomáticas mencionadas puede encontrarse en el texto de Mendelson, "Introductuion to Mathematical Logic", Chapman&Hall/Crc, 2001. Dicho libro se puede encontrar en la biblioteca digital de este blog. Para estudiar en detalle NBG se puede usar el mismo libro mencionado de Mendelson (también en el libro "Teoría Axiomática de conjuntos" de Jesús Mosterín se desarrolla una versión de la misma "NBG-Quine"), y para estudiar en detalle ZFC se puede consultar los textos: "Teoría de conjuntos" (2010) de Carlos Di Prisco, "Introduction to set theory" (1999) de Hrbacek y Jech, "Elements Set Theory" (1977) de Enderton, "Set Theory" (2006) de kunen y "Set Theory" (2000) de Jech. Tales textos se encuentran en la biblioteca digital de este blog y se pueden bajar. Tal vez la axiomática que más se usa es ZFC, una lista de sus axiomas es la siguiente: (1) Axioma de extensionalidad, (2) Axioma del conjunto vacío (Existe un conjunto que no tiene elementos), (3) Axioma del conjunto de pares, (4) Axioma de la unión,(5) Axioma del conjunto de partes, (6) Axioma de comprensión o de separación, (7) Axioma de reemplazo, (8) Axioma del infinito, (9) Axioma de fundamentación o de regularidad y (10) Axioma de elección. Una formulación informal (intuitiva) de los mismos que aparece en el texto "Set Theory" de Jech es la siguiente:

¿ Qué relación existe entre todas las teorías axiomáticas mencionadas anteriormente (ZFC, NBG, MK, ST, NF, ML y ZFA) ? ¿son equivalentes? Son preguntas que se han intentado responder en algunos aspectos, ver el libro de Mendelson, por ejemplo. Otro tema interesante con respecto a las teorías axiomáticas de conjuntos son los canditados a nuevos axiomas para ampliar su capacidad deductiva, ya que se sabe que (por contener a la aritmética elemental) ellas son "esencialmente" incompletas por el Primer Teorema de Incompletitud de Gödel de 1931 (y la prueba de la consistencia absoluta de ellas usando sus mismos métodos también es una tarea imposible de realizar, por el Segundo Teorema de Incompletitud de Gödel de 1931), ejemplos muy conocidos de proposiciones matemáticas indecidibles de la teoría de conjuntos son la Hipótesis del continuo de Cantor y la Hipótesis de Suslin, y ejemplos muy conocidos de candidatos a nuevos axiomas son el Axioma de Forcing Propio y el Axioma de Martin Máximo, más ejemplos sobre proposiciones matemáticas indecibles y candidatos a nuevos axiomas pueden encontrarse en el texto "Set Theory" (2000) de Jech, y en el artículo de Joan Bagaría titulado "Natural Axioms of Set Theory and the Continuum Problem", 2004, dicho artículo se puede encontrar en la biblioteca digital de este blog y se puede bajar. Un tema de carácter filosófico-matemático  que puede ser interesante con respecto a estas teorías axiomáticas de conjuntos es ¿Cuáles son las semejanzas y diferencias entre ellas desde un punto de vista ontológico?. .... Y por supuesto, las aplicaciones de la Teoría de conjuntos a la matemática, es decir, la utilización de la Teoría de conjuntos para resolver problemas matemáticos abiertos , de distintas áreas de la matemática (Álgebra, Análisis, Topología, etc), es uno de los aspectos más interesantes la Teoría de conjuntos, por ejemplo, usar los métodos de construcción de modelos de forcing de Cohen o los constructibles de Gödel (L) o HOD(A) o L(A) o H(k)  o Forcing iterado o Modelos simétricos o Ultraproductos o Modelos con permutaciones Fraenkel-Mostowski, etc, para demostrar teoremas matemáticos o para demostrar resultados de independencia o consistencia relativa en teorías matemáticas específicas. Ver ejemplos de aplicaciones de la Teoría de conjuntos a la Matemática en los referidos textos "Set Theory" de Kunen y "Set Theory" de Jech, y en el libro  "The Axiom of Choice" de Jech,  entre otros. Otros temas sobresalientes de investigación en la Teoría de conjuntos son cardinales grandes, combinatoria infinita y teoría descriptiva de conjuntos . (Ver, entre otros,  "The Higher Infinite" de Kanamori, "Set Theory. An Introduction to large cardinals" de Drake,  "The Theory of Ultrafilters" de Comfort y Negrepontis,  "Set Theory" de Jech, "Combinatoria: Teoría de Ramsey" de Di Prisco, "Combinatorial Set Theory: Partition relations for Cardinals"  de Erdös, P., Hajnal, A., A. Mate y R. Rado,   "Teoría descriptiva de conjuntos" de Ivorra,  "Una introducción a la teoría descriptiva de conjuntos" de Di Prisco y Uzcátegui, "Classical Descriptive Set Theory" de Kechris, y "Set  Theory. On the Structure of the Real Line" de Bartoszyński y Judah). En fin, son muchos los temas de investigación contemporánea en la teoría de conjuntos, ver "Set Theory" de Jech para una visión panorámica de la variedad de tópicos que se investigan.

Para finalizar este breve escrito diré que como toda teoría matemática la teoría de conjuntos tiene muchos problemas abiertos, de diversas áreas, un ejemplo actual de uno de ellos (el cual tiene ya cierto tiempo) es el siguiente que se refiere a una propiedad de partición en el Espacio topológico de Baire que se llama Propiedad de Ramsey, dicha propiedad involucra conjuntos perfectos y la definición de la misma puede encontrarse (entre otros) en el artículo de Carlos Di Prisco que se titula "Mathematics versus metamathematics in Ramsey theory of the real numbers" (2005) y en el libro de Teoría de conjuntos de Akihiro Kanamori titulado "The Higler Infinite" (1997), los cuales se encuentran en la biblioteca digital de este blog y se pueden bajar. Problema abierto: ¿ Se puede eliminar la hipótesis de la existencia de un cardinal inaccesible en la prueba de la consistencia de la Propiedad de Ramsey con ZF?. Se sabe que la Propiedad de Ramsey es falsa si vale el Axioma de elección, pero ella es consistente con ZF si existe un cardinal inaccesible pues Mathias probó que la Propiedad de Ramsey vale en el Modelo de Solovay (1977. Vale la pena resaltar que una de la técnicas usadas en esta prueba es el método de forcing, especialmente el "Colapso de Levy" y el "forcing de Mathias"), de esta forma demostró que si ZFC + "Existe un cardinal inaccesible" es consistente, entonces también es consistente ZF + DC + Propiedad de Ramsey, donde DC es el Principio de elección dependiente. Tal problema abierto, y otros más, aparecen planteados en el artículo referido anteriormente de Di Prisco y en el libro también mencionado anteriormente de Kanamori, Ver, hay otros textos o artículos referidos en este blog que también tienen problemas abiertos de diversas áreas de la Teoría de conjuntos.

Foto de Kennenth Kunen. Destacado investigador contemporáneo en Teoría de conjuntos y sus relaciones con varias áreas de las matemáticas como Topología y Teoría de la medida.

Foto de Thomas Jech. Otro destacado investigador contemporáneo en Teoría de conjuntos, Lógica matemática, Álgebra, Análisis, Topología y Teoría de la medida.