Matemáticas

Frase célebre 1: "Después de todo, ¿qué es la matemática sino la poesía de la mente, y qué es la poesía sino la matemática del corazón?". DAVID EUGENE SMITH. (1860—1944). Matemático estadounidense, educador, coleccionista, editor e historiador de las matemáticas. Frase célebre 2 : "Quizá lo más extraño de la ciencia moderna sea su regreso al Pitagorismo". Bertrand RUSSELL. (1872-1970). Matemático, Lógico, Filósofo, etc. Frase célebre 3: "Las Matemáticas son tanto un aspecto de la Cultura como una colección de algoritmos". C.B. BOYER (1906-1976). History of the Calculus and its conceptual development. Dover, New York. 1949. Frase célebre 4: "Conferimos a las ciencias matemáticas el poder dialéctico de ascender de la caverna a la luz, de lo visible a lo inteligible, de los sentidos a la esencia, por medio de la inteligencia". PLATÓN. República (532c). Frase célebre 5: "El poder que mueve la invención matemática no es (solo) el razonamiento sino la imaginación". AUGUSTUS DE MORGAN (1806−1871). Matemático y lógico británico nacido en la India. Frase célebre 6: "EL LIBRO DE LA NATURALEZA ESTÁ ESCRITO EN LENGUAJE MATEMÁTICO". GALILEO GALILEI (1564–1642), EL PADRE DEL MÉTODO CIENTÍFICO. Frase célebre 7: “Muchas personas que no han estudiado MATEMÁTICAS las consideran una ciencia árida e infructuosa. En realidad, sin embargo, es una CIENCIA que requiere un gran dosis de IMAGINACIÓN.” Sofia Kovalévskaya (1850-1891). Matemática rusa. Frase célebre 8: "La Matemática es la reina de las ciencias y la Aritmética es la reina de las Matemáticas". JOHANN CARL FRIEDRICH GAUSS (1777–1855). Matemático, Astrónomo, Geodesta, y Físico alemán. Frase célebre 9: "El número es el lazo de unión de la eterna persistencia de las cosas". PLATÓN. Timeo. Frase célebre 10: "La matemática ha avanzado más por aquellos que se distinguieron por su intuición que por pruebas rigurosas". Félix KLEIN. (1849-1925). Matemático alemán de gran trascendencia teórica, histórica y metodológica. Frase célebre 11: "Las matemáticas puras son, a su manera, la poesía de las ideas lógicas". Albert EINSTEIN (1879–1955).

La Hipótesis del Continuo de Cantor ¿Cuál es el cardinal del continuo?

La Hipótesis del Continuo de Cantor ¿Cuál es el cardinal del continuo?
¿ (En la actualidad) Estamos cerca de una solución del problema del cardinal del conjunto de los números reales ? ¿Estamos cerca de saber cuál es dicho cardinal o falta mucho todavía? Los intentos por determinar la cardinalidad del conjunto de los números reales (el cardinal del continuo) han contribuido sustancialmente con el desarrollo de la Teoría de Conjuntos. Hacia 1878 G. Cantor conjeturó que tal cardinal es el menor cardinal mayor que el cardinal de los números naturales (Alef_0), es decir, Alef_1. Esta hipótesis se denomina Hipótesis del continuo (HC) y Cantor no pudo demostrar la misma. Para David Hilbert la HC era tan importante que la colocó de primera en la lista de problemas presentada al Congreso Internacional de Matemáticas realizado en París en 1900; y uno de los resultados más destacados al respecto es la prueba de su independencia de los axiomas estándar de la Teoría de Conjuntos, la cual se debe a K. Gödel (1938) y a P. Cohen (1963-64), es decir, tales autores demostraron que si los axiomas estándar de la Teoría de Conjuntos son consistentes, entonces no se puede deducir de ellos la HC, ni la negación de la HC. Considerando esta independencia y además que (desde un punto de vista platonista) la HC es una proposición significativa la cual es verdadera o falsa, una de las investigaciones actuales más relevantes sobre el tema consiste en la búsqueda de nuevos axiomas que permitan decidir el cardinal del continuo. Vale la pena destacar que algunos de los candidatos a nuevos axiomas dicen que Cantor estaba equivocado, pues ellos implican que el cardinal del continuo es Alef_2, el menor cardinal mayor que Alef_1 (Gödel había intuido este resultado años antes). ¿ Qué ha pasado con el problema del cardinal del continuo después de Gödel (1938) y Cohen (1964) ? Intentos de responder esta pregunta pueden encontrarse en los artículos del Prof. José Alfredo Amor (1946-2011), "El Problema del continuo después de Cohen (1964-2004)", del Prof. Carlos Di Prisco , "Are we closer to a solution of the continuum problem", y del Prof. Joan Bagaria, "Natural axioms of set and the continuum problem" , que se encuentran en la biblioteca digital de este blog que aparecerá al hacer clic en la imagen. También se puede encontrar más información al respecto en dicha biblioteca, en las otras bibliotecas digitales referidas en este blog y en una entrada específica de este blog dedicada al tema (por favor leer esta entrada de primero). Y también en la siguiente entrada web ("The Continuum Hypothesis") de la Enciclopedia de Filosofía de la Universidad de Stanford existe información importante y actualizada al respecto: https://plato.stanford.edu/entries/continuum-hypothesis/

Cardinales grandes

Cardinales grandes
En este blog existe una entrada referida a este tema donde se colocan algunas referencias clásicas. Hacer clic sobre la imagen para tener acceso a dicha entrada.

Matemática aplicada

Matemática aplicada
Matemática Aplicada. Esquema del "Proceso de Modelación Matemática". Es muy interesante el tema de las aplicaciones de la matemática (en todas sus ramas) a las ciencias naturales y sociales. Hacer clic sobre la imagen para ver un video de youtube que presenta un resumen de diversas aplicaciones de la matemática a las ciencias, el video es del canal "EduMates". También en el siguiente video de youtube se puede ver una interesante entrevista al profesor de matemáticas Marcus du Sautoy realizada por Eduar Punset, en la cual el profesor Marcus habla sobre el tema de la aplicación matemática, el video se llama "Las Simetrías del Universo": https://www.youtube.com/watch?v=jegmxU9YS-s Un ejemplo de cómo crear un modelo matemático usando Ecuaciones Diferenciales (video de youtube del canal "MateFacil") es el siguiente: https://www.youtube.com/watch?v=V9UE2QmnDjw Otro ejemplo se puede ver en el siguiente video de youtube de "MateFacil": https://www.youtube.com/watch?v=WgWcxansYCs&t=18s Y otro ejemplo se puede ver en el siguiente video de youtube del canal "Matemáticas y física con tilde": https://www.youtube.com/watch?v=jXVJJoFTbeQ Es conocido que en internet (por ejemplo en "youtube") se pueden encontrar muchos otros videos tutoriales con ejemplos de aplicaciones matemáticas (de todas las ramas de las matemáticas). En el siguiente video de youtube se puede ver dos ejemplos de modelos (o fenómenos) estocásticos o probabilísticos: https://www.youtube.com/watch?v=8hHevhITp-c . En la biblioteca digital de este blog se pueden conseguir algunos libros con diferentes aplicaciones matemáticas.

sábado, 24 de agosto de 2013

Sobre el gran aporte de la Combinatoria Infinita a las investigaciones sobre los fundamentos de las matemáticas (Metamatemática): Por ejemplo el Teorema de Ramsey, el Delta Lema, el Principio Diamante y el Axioma de Martin. Y viceversa: Sobre el gran aporte de la Metamatemática a la Combinatoria infinita.


(Diciembre 2017)



Frank Plupton Ramsey (1903–1930). Matemático, Filósofo, Economista, etc. Pionero en la investigación de la Combinatoria infinita y sus aplicaciones en el estudio de los fundamentos de las matemáticas, a dicho autor se debe la demostración del conocido TEOREMA DE RAMSEY (1929/30), una generalización del famoso PRINCIPIO DEL CASILLERO DE DEDEKIND.  Principio del casillero: "Si se parte el conjunto de los números naturales N en un número finito de partes, necesariamente al menos una de las partes es infinita". Otra versión: PRINCIPIO DEL PALOMAR: "Si n palomas se distribuyen en m palomares, y si n > m, entonces al menos habrá un palomar con más de una paloma".  La atribución del Principio del casillero a Dedekind se puede encontrar en el artículo "A Partition Calculus In Set Theory" de P. Erdös y R. Rado. Bulletin of the American Mathematical Society. Vol. 62. 1956. pp. 427-489.

 Una formulación y demostración del Teorema de Ramsey puede encontrarse (entre otros) en el texto "Teoría de Conjuntos" de Carlos Di Prisco, dicho libro se encuentra en la biblioteca digital de este blog y se puede bajar. Por ejemplo, un caso particular del Teorema de Ramsey es el siguiente Teorema:

Teorema: Si se parte en dos clases el conjuntos de subconjuntos de dos elementos de un conjunto infinito A, siempre existe un subconjunto infinito H incluido en A cuyos subconjuntos de dos elementos están todos en la misma clase. (El conjunto H se llama homogéneo)

El teorema anterior se puede re-expresar usando la siguiente notación:  Dado un conjuntos A, se denota [A]^n  la colección de subconjuntos de A  que tienen exactamente n elementos. Entonces el teorema anterior se puede escribir  así:

Teorema: Dado un conjunto infinito A, y dada una función F: [A]^2 en {0,1}, existe un conjunto infinito H incluido en A y existe un i que pertenece a {0,1} tales que F''[H]^2={i}.

(Nota: El  Teorema anterior requiere del Axioma de elección si el conjunto A no está bien ordenado,  ver texto "The Axiom of Choice" de T. Jech, específicamente se requiere del Principio de elecciones dependientes (DC), ver texto  "Teoría de conjuntos" de Di Prisco antes referido. Un ejemplo de un  modelo de la Teoría de conjuntos donde no vale el Axioma de elección y dicho teorema es falso es el Modelo Básico de Cohen. Puede consultarse el artículo de A. Blass, Ramsey's theorem in the hierarchy of choice principles, The Journal of Symbolic Logic. 42, N°. 3, 1977, 387-390. Y también puede consultarse el texto "Consequences of the Axiom of Choice" de Howard y Rubin.)

El Teorema de Ramsey se puede enunciar de la siguiente manera:

Teorema de RamseyPara todo  par  de números naturales n y k, y para toda partición  F: [N]^n en {1,2,...,k}  existe un conjunto H incluido   N, H  de cardinal  Alef_0,  y existe un i que pertenece a {1,2,...,k} tal que F''[H]^n={i}.

Es decir, el Teorema de Ramsey afirma que:  Para toda partición  en k partes del conjunto de subconjuntos de n elementos del conjunto de números naturales N, existe un subconjunto H de N, H de cardinalidad Alef_0, cuyos subconjuntos de n elementos están todos en la misma parte.  

Una consecuencia muy útil de Teorema de Ramsey es el Teorema de Ramsey finito, el cual afirma lo siguiente:

Teorema de Ramsey finito: Dados números enteros positivos k, r y m existe un entero positivo n tal que: Para toda partición F: [n]^r en {1,2,...,k} existe un conjunto H encluido en n, H de cardinal m, y existe un i que pertenece a {1,2,...,k} tal que F''[H]^r={i}.

Una demostración del  Teorema de Ramsey finito a partir del Teorema de Ramsey puede encontrarse (entre otros) en el texto antes mencionado de Teoría de conjuntos de Carlos Di Prisco.

Vale la pena resaltar que para facilitar la investigación de generalizaciones (o versiones finitas) del Teorema de Ramsey es común encontrar  el uso de la siguiente  "notación de flecha" en la bibliografía:


donde alfa, beta y gama son cardinales. Por ejemplo para escribir el   Teorema de Ramsey con esta notación se sustituye alfa y beta por Alef_0 y gama por k. Y para escribir el Teorema de Ramsey finito con esta notación se sustituye alfa por n, beta por m, gama por k y n por r.

Es conocido (Sierpinski, 1933) que para el caso alfa=beta=Alef_1  y gama=n=2, el teorema no se cumple, es falso. Una prueba de ello puede encontrarse  en el texto antes mencionado de Teoría de conjuntos de Carlos Di Prisco. Hay otras maneras de generalizar el  Teorema de Ramsey, distintas a la que se está mencionando, que se pueden conseguir en la bibliografía, ver (entre otros) el texto "Set Theory"  de Jech (2002) el cual se puede encontrar  (y bajar) en la biblioteca digital de este  blog. O también ver el siguiente texto de Erdös, P., Hajnal, A., A. Mate y R. Rado: "Combinatorial Set Theory: Partition relations for Cardinals". North Holland. 1984.






Stevo Todorčević. Uno de los destacados matemáticos actuales que investiga Combinatoria infinita, Teoría de conjuntos, Topología, Análisis, etc.





Carlos Di Prisco. Otro destacado matemático actual que investiga Combinatoria infinita, Teoría de conjuntos, etc.

La COMBINATORIA INFINITA  juega un papel muy importante en las investigaciones sobre los fundamentos de la matemática (en particular en las investigaciones llamadas "Metamatemáticas") ya que  se han usado resultados de combinatoria infinita para resolver problemas de independencia o consistencia relativa en la Teoría de conjuntos (en el área de Álgebra, Análisis, Topología, etc) y problemas de decibilidad de fragmentos de la Lógica de Primer Orden, entre otras aplicaciones. Y a su vez las  investigaciones Metamatemáticas han sido fuente para el descubrimiento de sobresalientes principios de combinatoria infinita  como por ejemplo el Teorema de Ramsey.

A continuación se mencionan cinco ejemplos clásicos sobre la relación entre la Combinatoria infinita (Matemática) y el estudio de los fundamentos de la matemática (Metamatemática)  entre los cuales se encuentra el famoso Problema de Suslin sobre la caracterización de la Recta real (1920) , es decir, ¿ Es posible sustituir la propiedad de "separable" por otra propiedad más débil llamada "condición de cadena contable" en la conocida caracterización de la Recta real como un "orden total, denso, no acotado, completo y separable"?. Se ofrecerá alguna referencia bibliografía sobre cada uno de los cinco ejemplos, alguna de las cuales se encuentra en la biblioteca digital de este blog, en estas referencias se pueden encontrar definiciones y demostraciones rigurosas de los conceptos y resultados que se mencionarán. Antes de escribir los cinco ejemplos vale la pena resaltar que existe un interesante artículo divulgativo sobre la relación entre la Combinatoria infinita y la Metamatemática cuyo autor es el Profesor Carlos Di Prisco (Instituto Venezolano de Investigaciones Científicas (IVIC)- Escuela de Matemáticas Universidad Central de Venezuela (UCV)) que se llama "Mathematics versus Metamathematics in Ramsey theory of real numbers" (2005) el cual se encuentra en la biblioteca digital de este blog y se puede bajar, también el mismo profesor Di Prisco tiene un libro específicamente sobre combinatoria infinita titulado "Combinatoria: Teoría de Ramsey" (2006) que también esta en la biblioteca digital de este blog y se puede bajar:

CINCO EJEMPLOS CLÁSICOS:

Ejemplo 1: La prueba de Halpern y Lévy (1971 ) de que "EL TEOREMA DEL IDEAL PRIMO NO IMPLICA AL AXIOMA DE ELECCIÓN", o dicho de otra manera equivalente, de que "EL TEOREMA DEL ULTRAFILTRO NO IMPLICA AL AXIOMA DE ELECCIÓN", usa un resultado combinatorio: El TEOREMA DE HALPERN-LÄUCHLI (1966), el cual es una versión para árboles del TEOREMA DE RAMSEY. Vale la pena resaltar que la prueba de Halpern y Lévy también usa el método de forcing de Cohen, con automorfismos, porque dichos autores construyen el Modelo Básico de Cohen, modelo donde no vale el Axioma de elección (esto ya lo había probado Cohen en 1963-64), la idea es que ellos prueban que en tal modelo sí vale el Teorema del Ideal Primo utilizando el Teorema de Halpern-Läuchli.

(Halpern y Lévy. (1971) The Boolean prime ideal theorem does not imply the axiom of choice. Proc. Symp. in Pure Math., 13 AMS, 83-134.)

Ejemplo 2: La demostración de Cohen (1963-64) de que "LA NEGACIÓN DE LA HIPÓTESIS DEL CONTINUO ES CONSISTENTE CON ZFC" usa un resultado combinatorio: EL LEMA DELTA-SISTEMA o DELTA-LEMA (Shanin, 1946. Y Erdös-Rado, 1960).

DELTA-LEMA: Sea W  una colección no numerable de conjuntos finitos. Entonces existe un subconjunto no numerable Z de W tal que Z es un Delta-sistema (es decir, existe un conjunto finito S tal que   S= X intersectado con Y, para cualesquiera X, Y distintos de Z).

Una prueba del Delta-Lema puede encontrarse (entre otros) en el texto Set Theory de Jech (2002).

Vale la pena resaltar que la demostración de Cohen de que "LA NEGACIÓN DE LA HIPÓTESIS DEL CONTINUO ES CONSISTENTE CON ZFC"  también usa el método de forcing (en este caso sin automorfismos) para construir un modelo (la extensión genérica M[G] del modelo base M, la cual es un modelo de ZFC) donde existen una cantidad de números reales igual o mayor que Alef_2, es decir, en M[G] no vale la Hipótesis del continuo, y la importancia del DELTA-LEMA en dicha prueba es crucial porque con dicho DELTA-LEMA es que se puede demostrar que el orden parcial particular (llamado "forcing de Cohen") con el cual se construye el modelo genérico (la extensión genérica) específico M[G] tiene la condición de cadena contable (c.c.c), y por lo tanto tal orden parcial "no colapsa cardinales", PRESERVA CARDINALES, en especial no colapsa al cardinal Alef_2, es conocido que puede pasar que un cardinal en un modelo base W sea destruído en la extensión genérica W[G], es decir, el puede dejar dejar de ser un cardinal en W[G], él sí sigue siendo un número ordinal pero deja de ser un número cardinal pues es "colapsado" como tal al agregarse en la extensión genérica W[G] una función biyectiva entre él y un ordinal menor, existen forcing que colapsan cardinales, por ejemplo el "Colapso de Lévy", por eso el DELTA-LEMA es fundamental en esta prueba de Cohen.

(Kunen, K. (2006) Set Theory. An Introduction to Independence Proofs. Elseivier, Amsterdam. Una versión digital de este libro se puede encontrar en la biblioteca digital de este blog, y se puede descargar.)

Nota: He escrito una versión propia de este teorema de Cohen siguiendo los textos "Set Theory" de Kunen y "Set Theory" de Jech. Está en unas notas que realicé en el 2015 llamada: "El Método de Forcing: Algunas Aplicaciones y una apróximación a sus fundamentos metamatemáticos", las cuales son una re-edición ampliada de mi tesis de maestría (2003). Tales notas se pueden encontrar y bajar de la web de "Saber UCV", ellas están en el siguiente enlace: http://saber.ucv.ve/handle/123456789/16262 . Resumen de las notas: "Es conocido que el método de forcing es una de las técnicas de construcción de modelos más importantes de la Teoría de conjuntos en la actualidad, siendo el mismo muy útil para investigar problemas de matemática y de fundamentos de la matemática. El objetivo del siguiente trabajo es estudiar tal método, describir algunas de sus aplicaciones (forcing de Cohen, forcing aleatorio, forcing de Mathias, forcing de Sacks, forcing de Silver, etc) y ofrecer una aproximación a sus fundamentos metamatemáticos. Se aspira que este texto sirva de apoyo para aprender dicho método".

Ejemplo 3: La demostración de Tennenbaum (1968), Jech (1967), Solovay-Tennenbaum (1971), Jensen (1968,1972) de que "LA HIPÓTESIS DE SUSLIN (HS) ES INDEPENDIENTE DE ZFC" usa dos principios combinatorios: El AXIOMA DE MARTIN (Martin, 1970) y el PRINCIPIO DIAMANTE (Jensen, 1972).

AXIOMA DE MARTIN (AM): Para todo cardinal k < 2^Alef_0 se cumple AM(k).

Donde AM(k) es la siguiente sentencia: Sea (P, <) un orden parcial con la condición de cadena contable (c.c.c), y  sea D una familia de subconjuntos densos de (P, <) de cardinal menor o igual que k. Entonces existe un filtro G de (P, <) tal que la intersección de G con cada miembro de la familia D es distinta del conjunto  vacío.

Teorema: El Axioma de Martin implica  a la Hipótesis de Suslin (Más adelante se define a la HS).

PRINCIPIO DIAMANTE:  Existe una Alef_1 secuencia de conjuntos  < A_alfa : alfa < Alef_1 >,  donde  para cada alfa  A_alfa está incluido en alfa,  que cumple la siguiente propiedad:   

Para cada A incluido en Alef_1 ({alfa < Alef_1: A intersectado con alfa= A_alfa} es estacionario).

Teorema: El Principio Diamante implica a la negación de la Hipótesis de Suslin.


También la prueba de que "LA HIPÓTESIS DE SUSLIN (HS) ES INDEPENDIENTE DE ZFC" usa el método de forcing iterado (caso de Solovay-Tennenbaum con el Axioma de Martin. Ellos construyeron un modelo donde vale el Axioma de Martin), y el Universo constructible de Gödel (caso de Jensen con el Principio Diamante. Se prueba que el Principio Diamante vale en L ¿de qué forma?  Se prueba el Teorema: Si V=L, entonces vale el Principio Diamante. Pero también se puede probar directamente que el Principio Diamante vale en L, ver texto "Set Theory" de Kunen, pág 179). Tennenbaum (1968) y Jech (1967) probaron una dirección de la independencia usando sólo la técnica de forcing. Vale la pena resaltar que para este resultado de independencia también juega un papel muy importante el uso del concepto de "Árbol",  en especial "Árboles de Suslin" y "Árbol bien podado", conceptos de la combinatoria infinita. La demostración de la equivalencia, "Existe una linea de Suslin si y sólo si existe un árbol de Suslin", que permite tratar del Problema de Suslin en términos de árboles de Suslin fue realizada por Kurepa en 1935. Una linea (recta) de Suslin es un orden total (P, <) denso, no acotado, completo, con la condición de cadena contable, pero no separable. LA HS es la siguiente afirmación: NO EXISTEN LÍNEAS DE SUSLIN. Un árbol es un orden parcial (X, <) tal que para cada z que pertenece a X, el conjunto de sus predecesores según < está bien ordendo. Un arbol (T, <) es un árbol de Suslin si: (i) La altura de T es Alef_1, (ii) Cada rama de T es a lo sumo numerable y (iii) Cada anticadena de T es a lo sumo numerable. Un árbol (T, <) es bien podado si (i) y (ii): (i) T tiene un tallo y (ii) Para x en T el conjunto de los sucesores y de x (y > x) intersecta a cada uno de los niveles de T. Se cumple que si k es un cardinal regular y T es un k-árbol, entonces T tiene un k-subárbol T' que es bien podado. (Sea k un cardinal regular. T es un k-árbol si T es un árbol de altura k y cada uno de los niveles de T tiene cardinal menor que k).

("Set Theory" de Jech (2002) o "Set Theory" (2006) de Kunen.)

Ejemplo 4: La demostración de Ramsey (1929/30) de que "UN FRAGMENTO ESPECÍFICO DE LA LÓGICA DE PRIMER ORDEN CON PREDICADOS POLIÁDICOS + IDENTIDAD ES DECIDIBLE" usa un resultado combinatorio:  EL TEOREMA DE RAMSEY (1929/30), específicamente usa el  TEOREMA DE RAMSEY FINITO, el cual demuestra a partir del Teorema de Ramsey. Vale la pena resaltar que en el artículo original donde aparece esta prueba de Ramsey (citado más abajo) dicho autor resalta que el resultado combinatorio que va a demostrar (ahora llamado "TEOREMA DE RAMSEY") tiene valor en sí mismo con independencia de la aplicación que él va a realizar para probar el resultado de decibilidad de un fragmento específico de la Lógica de primer orden con identidad. Quizá se pueda decir que Ramsey intuía el enorme potencial de su (s) resultado (s) combinatorio (s).

(Ramsey. On a problem of formal logic. Proc. London Math. Soc. 30 (1929/30), 264-286)

Ejemplo 5: La prueba de Halpern (1964) de que "EL TEOREMA DEL IDEAL PRIMO NO IMPLICA AL AXIOMA DE ELECCIÓN", que se hace en la Teoría de conjuntos con átomos (ZFA), específicamente usando el "Modelo Ordenado de Mostowski" (un modelo de permutaciones donde no vale el Axioma de elección) utiliza el Teorema de Ramsey finito para probar que el Teorema del Ideal Primo vale en dicho modelo.

(Thomas Jech. The Axiom Choice. North-Holland, 1973. Páginas: 97-100.)


Nota final: Otra entrada en este blog que trata sobre Combinatoria infinita es la que se  llama "Números reales, Propiedad de Ramsey, Propiedad de Subretículo, Propiedad de Partición Polarizada y Propiedad de Bernstein. (Más sobre  Combinatoria Infinita: Teoría de Particiones y Topología.)". VER.