¿En qué consiste el método para construir modelos de la Teoría de conjuntos llamado "FORCING" que creó Cohen (1963-64) ? y ¿Cuál es su importancia en las Matemáticas contemporáneas?.
Según el profesor Joan Bagaria (1999) "No es fácil explicar los detalles del trabajo de Cohen en pocas palabras y a no especialistas en lógica".
Sin embargo, el mismo Joan Bagaria hizo un intento por responder las dos preguntas anteriormente planteadas de una manera divulgativa realizando un excelente artículo en español que se llama "Paul J. Cohen y la técnica del forcing", "Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española", Vol. 2, Nº 3, 1999, págs 543-553, el cual está en la biblioteca biblioteca digital de este blog y se puede bajar. En dicho artículo está la frase anteriormente citada en cursivas.... RECOMIENDO LEER TAL ARTÍCULO AL INTERESADO QUE SE INICIA EN EL TEMA.
Joan Bagaria es Ph.D. en Lógica y Metodología de la Ciencia y Ph.D. en Matemáticas (Universidad de California, Berkeley), y trabaja en la Institució Catalana de Recerca i Estudis Avacats (ICREA) y en el Departament de Lógica, História i Filosofía de la Ciéncia. Universitat de Barcelona. Tiene al menos tres líneas de investigación: "Set Theory: foundations and applications of infinite combinatorics and large cardinals. Experimental Sciences & Mathematics.", (2) "The Generic Absoluteness Programme. Experimental Sciences & Mathematics." y (3) "Set Theory: mathematical, philosophical, and computational perspectives. Experimental Sciences & Mathematics." Ha publicado al menos 40 artículos de diversos tópicos de la Teoría de conjuntos relacionados con la matemática. Para más detalles sobre el trabajo académico de Joan Bagaria puede consultarse su página web que aparece en internet, allí está su curriculum vitae.
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Vale la pena resaltar que entre las interesantes cosas que Bagaria afirma sobre el método de forcing en su artículo divulgativo "Paul Cohen y la técnica del forcing" se encuentra lo siguiente:
"Aunque Cohen recibió la medalla Fields por su demostración de la independencia de la hipótesis del continuo y del axioma de elección, su contribución va mucho más allá de estos problemas. Su nuevo método, el forcing, no sólo ha permitido resolver un sínfin de problemas importantes en prácticamente todas las áreas de las matemáticas, si no que ha cambiado para siempre nuestra concepción de la matemática como ciencia".
Con respecto al contenido de todo el artículo divulgativo "Paul Cohen y la técnica del forcing" hay un pequeño detalle que quisiera agregar que no está en dicho artículo a los fines de colaborar con el lector que se enfrente por primera vez a tal documento y al método del forcing, el detalle es el siguiente:
Tal vez- como dicen algunos profesores en un primer curso o charla sobre el forcing- se pueda pensar intuitivamente a la técnica del forcing como una "GENERALIZACIÓN" del Teorema de Kronecker en álgebra: "Sea F un campo y sea f(x) un polinomio no constante en F[x]. Entonces, existe un campo de extensión E de F y algún z perteneciente a E tal que f(z)=0". ....Una demostración de este teorema puede encontrarse en el texto "Álgebra abstracta" de John Fraleigh, Addison Wesley Iberoamaricana, 1987, el cual se encuentra en la bibliteca digital de este blog y se puede bajar.
La siguiente imagen sugiere la idea intuitiva del forcing con modelos transitivos numerables y ordenes parciales (hay otras versiones de forcing, por ejemplo el forcing con modelos a valores booleanos):
Dos libros excelentes para estudiar el método de forcing son "Set Theory" de Kunen y "Set Theory" de Jech (los recomiendo en el orden indicado), los mismos se encuentran en la biblioteca digital de este blog y se pueden bajar.
Nota 1: Se agregan dos videos de youtube con una conferencia introductoria sobre el método de forcing dictada por el profesor Ulises Ariet Ramos Garcia del Instituto de Matemáticas de la UNAM. 2015. Nombre de la charla: "CONSTRUCCIONES CON EL MÉTODO DE FORCING". En dicha charla se realiza una presentación intuitiva del método y se ofrece información sobre aplicaciones del mismo al álgebra, al análisis y a la topología. VER. Son dos partes: Parte 1 (30 min), Parte 2 (15 min). Anexo los dos enlaces de youtube:
https://www.youtube.com/watch?v=ZJ6QP3H9R0A , https://www.youtube.com/watch?v=TCeyCFB8yz4
Nota 2: He escrito unas notas en el 2015 llamadas: "El Método de Forcing: Algunas Aplicaciones y una apróximación a sus fundamentos metamatemáticos", las cuales son una re-edición ampliada de mi tesis de maestría (2003). Tales notas se pueden encontrar y bajar de la web de "Saber UCV", ellas están en el siguiente enlace: http://saber.ucv.ve/handle/123456789/16262 . Resumen de las notas: "Es conocido que el método de forcing es una de las técnicas de construcción de modelos más importantes de la Teoría de conjuntos en la actualidad, siendo el mismo muy útil para investigar problemas de matemática y de fundamentos de la matemática. El objetivo del siguiente trabajo es estudiar tal método, describir algunas de sus aplicaciones (forcing de Cohen, forcing aleatorio, forcing de Mathias, forcing de Sacks, forcing de Silver, etc) y ofrecer una aproximación a sus fundamentos metamatemáticos. Se aspira que este texto sirva de apoyo para aprender dicho método".
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NOTA EXTRA (10-01-2025):
"EL LIBRO DE LA NATURALEZA ESTÁ ESCRITO EN LENGUAJE MATEMÁTICO". GALILEO GALILEI (1564–1642).
“La matemática posee no sólo verdad, sino también belleza suprema; una belleza fría y austera, como aquella de la escultura, sin apelación a ninguna parte de nuestra naturaleza débil, sin los adornos magníficos de la pintura o la música, pero sublime y pura, y capaz de una perfección severa como sólo las mejores artes pueden presentar. El verdadero espíritu del deleite, de exaltación, el sentido de ser más grande que el hombre, que es el criterio con el cual se mide la más alta excelencia, puede ser encontrado en la matemática tan seguramente como en la poesía.” Bertrand Russell (1872-1970).
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