TEORÍA DE CONJUNTOS, LÓGICA, COMBINATORIA INFINITA, FUNDAMENTOS Y FILOSOFÍA DE LA MATEMÁTICA....Y TEMAS AFINES DE MATEMÁTICAS O CIENCIAS EN GENERAL

La Hipótesis del Continuo de Cantor ¿Cuál es el cardinal del continuo?

La Hipótesis del Continuo de Cantor ¿Cuál es el cardinal del continuo?
¿ (En la actualidad) Estamos cerca de una solución del problema del cardinal del conjunto de los números reales ? ¿Estamos cerca de saber cuál es dicho cardinal o falta mucho todavía? Los intentos por determinar la cardinalidad del conjunto de los números reales (el cardinal del continuo) han contribuido sustancialmente con el desarrollo de la Teoría de Conjuntos. Hacia 1878 G. Cantor conjeturó que tal cardinal es el menor cardinal mayor que el cardinal de los números naturales (Alef_0), es decir, Alef_1. Esta hipótesis se denomina Hipótesis del continuo (HC) y Cantor no pudo demostrar la misma. Para David Hilbert la HC era tan importante que la colocó de primera en la lista de problemas presentada al Congreso Internacional de Matemáticas realizado en París en 1900; y uno de los resultados más destacados al respecto es la prueba de su independencia de los axiomas estándar de la Teoría de Conjuntos, la cual se debe a K. Gödel (1938) y a P. Cohen (1963-64), es decir, tales autores demostraron que si los axiomas estándar de la Teoría de Conjuntos son consistentes, entonces no se puede deducir de ellos la HC, ni la negación de la HC. Considerando esta independencia y además que (desde un punto de vista platonista) la HC es una proposición significativa la cual es verdadera o falsa, una de las investigaciones actuales más relevantes sobre el tema consiste en la búsqueda de nuevos axiomas que permitan decidir el cardinal del continuo. Vale la pena destacar que algunos de los candidatos a nuevos axiomas dicen que Cantor estaba equivocado, pues ellos implican que el cardinal del continuo es Alef_2, el menor cardinal mayor que Alef_1 (Gödel había intuido este resultado años antes). ¿ Qué ha pasado con el problema del cardinal del continuo después de Gödel (1938) y Cohen (1964) ? Intentos de responder esta pregunta pueden encontrarse en los artículos del Prof. José Alfredo Amor (1946-2011), "El Problema del continuo después de Cohen (1964-2004)", del Prof. Carlos Di Prisco , "Are we closer to a solution of the continuum problem", y del Prof. Joan Bagaria, "Natural axioms of set and the continuum problem" , que se encuentran en la biblioteca digital de este blog que aparecerá al hacer clic en la imagen. También se puede encontrar más información al respecto en dicha biblioteca, en las otras bibliotecas digitales referidas en este blog y en una entrada específica de este blog dedicada al tema (por favor leer esta entrada de primero).

Cardinales grandes

Cardinales grandes
En este blog existe una entrada referida a este tema donde se colocan algunas referencias clásicas. Hacer clic sobre la imagen para tener acceso a dicha entrada.

Matemática aplicada

Matemática aplicada
Matemática Aplicada. Esquema del "Proceso de Modelación Matemática". Es muy interesante el tema de las aplicaciones de la matemática (en todas sus ramas) a las ciencias naturales y sociales. Hacer clic sobre la imagen para ver un video de youtube que presenta un resumen de diversas aplicaciones de la matemática a las ciencias, el video es del canal "EduMates". También en el siguiente video de youtube se puede ver una interesante entrevista al profesor de matemáticas Marcus du Sautoy realizada por Eduar Punset, en la cual el profesor Marcus habla sobre el tema de la aplicación matemática, el video se llama "Las Simetrías del Universo": https://www.youtube.com/watch?v=jegmxU9YS-s Un ejemplo de cómo crear un modelo matemático usando Ecuaciones Diferenciales (video de youtube del canal "MateFacil") es el siguiente: https://www.youtube.com/watch?v=V9UE2QmnDjw Otro ejemplo se puede ver en el siguiente video de youtube de "MateFacil": https://www.youtube.com/watch?v=WgWcxansYCs&t=18s Y otro ejemplo se puede ver en el siguiente video de youtube del canal "Matemáticas y física con tilde": https://www.youtube.com/watch?v=jXVJJoFTbeQ Es conocido que en internet (por ejemplo en "youtube") se pueden encontrar muchos otros videos tutoriales con ejemplos de aplicaciones matemáticas (de todas las ramas de las matemáticas). En la biblioteca digital de este blog se pueden conseguir algunos libros con diferentes aplicaciones.

jueves, 26 de marzo de 2020

Texto digital de Geometría y curso web sobre el mismo

Un excelente texto  sobre  Geometría- plana y del espacio- es el del  profesor Enrique Planchart (de la Universidad Simón Bolívar, USB). Editorial Equinoccio. 2008.  Tal  libro  se puede encontrar (y bajar) en PDF  del siguiente enlace:  https://www.ma.usb.ve/inicio/cursos/geometr%C3%ADa . Aparece identificado por el siguiente nombre: Geometría MA1511. Para acceder al curso web  de Geometría (MA1511) de la USB (que se basa en el texto mencionado), puede utilizarse  el siguiente enlace web:


Son 20 clases introductorias (en youtube) sobre los 20 capítulos del texto, cada clase dura aproximadamente 10 minutos. A continuación se presenta una imagen del texto mencionado.



Otro texto excelente sobre Geometría - plana y del espacio- cuyo contenido coincide en algunos capítulos con el mencionado anteriormente es el  siguiente: GEOMETRÍA I, profesora Judith Ricabarra, Universidad Central de Venezuela, UCV, 1995. Una versión digital (PDF) de este texto (y también del anteriormente mencionado del profesor Planchart) puede encontrarse y bajarse de la biblioteca digital de este blog. 

¿Cómo utilizar el Teorema de Herbrand para decidir la validez de razonamientos en lenguaje de primer orden, en conformidad con el Teorema de Indecidibilidad de Church?


"¿Cómo utilizar el Teorema de Herbrand para decidir la validez de razonamientos en lenguaje de primer orden, en conformidad con el Teorema de Indecidibilidad de Church?" es el título de un artículo que recientemente publiqué junto con María Alejandra Morgado en la revista "Apuntes filosóficos" de la Escuela de Filosofía de la Universidad Central de Venezuela (en el volumen 28 que se llama "Lógica, Filosofía de la Matemática y Perspectivas analíticas"), un resumen de dicho artículo es el siguiente:

"Resumen: El objetivo de este artículo es presentar cuatro ejemplos de aplicación del Teorema de Herbrand para decidir la validez de razonamientos en lenguaje de primer orden, en conformidad con el Teorema de Indecidibiliad de Church. Y además decir cuál es el principal problema que se presenta al respecto. En este artículo se trabaja con el cálculo lógico por resolución, un método utilizado en inteligencia artificial.


Palabras clave: Decidibilidad, Herbrand, Indecidibilidad, Church, Cálculo por Resolución."

Tal artículo se puede conseguir y bajar en versión PDF en el siguiente enlace web de la revista:

                  http://saber.ucv.ve/ojs/index.php/rev_af/article/view/17768/144814484155


La referencia es Apuntes filosóficos, Vol 28, N° 55 (2019), páginas 67-86.

Una demostración del Teorema de Herbrand  puede conseguirse en el siguiente texto:



miércoles, 25 de marzo de 2020

Algunas notas introductorias sobre la Teoría de conjuntos



"Algunas notas introductorias sobre la Teoría de conjuntos" es el título de un documento que publiqué recientemente en la revista "Apuntes filosóficos"  de la Escuela de Filosofía de la Universidad Central de Venezuela (en el  volumen 28 llamado "Lógica, Filosofía de la Matemática y Perspectivas Analíticas"), un resumen de dicho documento es el siguiente:

"Resumen: El objetivo de este documento es presentar tres notas introductorias sobre la Teoría de conjuntos: En la primera nota se presenta una panorámica general sobre dicha disciplina desde sus orígenes hasta la actualidad, en la segunda nota se hacen algunas consideraciones sobre la evaluación de razonamientos aplicando la Lógica de primer orden y los teoremas de Löwenheim, Indecidibilidad de Church, Completitud e Incompletitud de Gödel, es conocido que las teorías axiomáticas de conjuntos más usadas en la actualidad se escriben en un lenguaje de primer orden específico, es decir, se desarrollan en el marco de la Lógica de primer orden, por eso es relevante esta nota; y la tercera nota se refiere a la presencia del platonismo matemático en los axiomas de ZFC y en los axiomas de “cuerpo ordenado completo”, se sabe que los últimos axiomas mencionados caracterizan (salvo isomorfismo) al sistema de los números reales y que se utilizan actualmente para desarrollar el Análisis real en el contexto de la teoría de conjuntos. Se aspira que este artículo sea de utilidad pedagógica para estudiantes interesados en la teoría de conjuntos y en la filosofía de la matemática (que se estén iniciando en el tema).

Palabras clave: Teoría de Conjuntos, Lógica de Primer Orden, Cuerpo Ordenado Completo, Análisis Real, Platonismo Matemático, Constructivismo."

Recomiendo leer  tal documento a todos los interesados en la Teoría de conjuntos y en la Filosofía de la Matemática que se estén iniciando en el tema. El enlace web de la revista de donde se puede bajar el PDF del documento es el siguiente:

               http://saber.ucv.ve/ojs/index.php/rev_af/article/view/17775/144814484162

La referencia es Apuntes filosóficos, Vol 28, N° 55 (2019), páginas 201-232.

Nota: El documento salió con algunos errores de tipeo (no muchos) pero pronto serán corregidos (en la web) por los administradores de la revista. Una copia en PDF del artículo ya corregido puede encontrase y bajarse de mi  página en Academia.edu, el enlace es el siguiente:
https://ucv.academia.edu/FranklinGalindo

lunes, 24 de junio de 2019

El Principio de Inducción Matemática. Algunas versiones y aplicaciones del mismo para probar teoremas en Lógica Matemática.


He escrito  unas notas en el 2014 que contienen: (a)  dos  demostraciones clásicas (distintas) del Teorema de Completitud de Gödel, (b) una demostración clásica del Teorema del Colapso transitivo de Mostowski, y (c)  una demostración clásica del Principio de Reflexión.
Se aspira que el estudio de tales demostraciones (que se han escrito de manera detallada) sea  útil para profundizar en los  importantes teoremas  Lógico-Matemáticos que se están probando.
También se aspira que el estudio de dichas pruebas sea de utilidad para profundizar en los métodos demostrativos que se utilizan en las mismas como por ejemplo  el "Principio de Inducción Matemática en varias versiones (finitas o transfinitas)",  y otros métodos demostrativos  propios de la Lógica matemática como es el caso (entre otros) de la "técnica de  construcción de modelos a partir de constantes"  de Henkin.
Las notas se llaman así:

El Teorema de completitud de Gödel, el Teorema del Colapso Transitivo de Mostowski y el Principio de Reflexión.

Resumen de las notas: 

"Es conocido que el Teorema de Completitud de Gödel, el Teorema del Colapso Transitivo de Mostowski y el Principio de Reflexión son resultados muy útiles en las investigaciones de Lógica matemática y/o los Fundamentos de la matemática. El objetivo de este trabajo es presentar algunas demostraciones clásicas de tales resultados: Dos del Teorema de Completitud de Gödel, una del Teorema del Colapso Transitivo de Mostowski y una del Principio de Reflexión. Se aspira que estas notas sean de utilidad para estudiar dichas pruebas. Vale la pena resaltar que entre los métodos matemáticos que se utilizan en tales demostraciones se encuentran: (1) La técnica de construcción de modelos a partir de constantes (o  "método del conjunto maximal consistente  con un conjunto de testigos" de Henkin) y (2) el Principio de inducción matemática en varias versiones [ (2.1) Inducción matemática sobre los números naturales y (2.2) Inducción transfinita ((2.2.1) Inducción transfinita sobre conjuntos bien ordenados cualesquiera, por ejemplo sobre un cardinal infinito Alef_alfa, (2.2.2) Inducción transfinita sobre una clase de conjuntos bien ordenada, por ejemplo  sobre la "clase de todos los ordinales, finitos o infinitos", y (2.2.3) Inducción transfinita sobre relaciones bien fundamentadas, por ejemplo sobre la "relación de pertenencia" entre conjuntos)]".
Las notas se pueden conseguir y bajar en el siguiente enlace de "Saber UCV": 


También las notas se pueden conseguir (y bajar)  en la biblioteca digital de este blog.



                                              Blaise Pascal (1623-1662)
              (Principio de Inducción matemática, sobre los números naturales, N)



                                                           Georg Cantor (1845-1918)
(Principio de Inducción Transfinita, por ejemplo en la prueba del Teorema de Cantor-Bendixon [1883] se usó dicho principio sobre clase de los números ordinales (finitos o infinitos), Ord. Teorema de Cantor-Bendixon: "Si F es un subconjunto no numerable de números reales, entonces F contiene un subconjunto perfecto".)


Kurt Gödel (1906-1978)
(Primera demostración del Teorema de completitud, usando los procedimientos efectivos de Forma Normal Prenexa y Forma normal de Skolem, 1930)


Leon Henkin (1921-2006)
(Demostración del Teorema de completitud de Gödel usando la técnica del conjunto maximal consistente con un conjuntos de testigos, 1949)


Andrzej Mostowski (1913-1975)
(Demostración del Teorema del Colapso Transitivo, 1949)


Azriel Lévy (nació en 1934)
(Principio de Reflexión, 1960)


    Richard Montague (1930-1971)
  (Principio de Reflexión, 1961)

lunes, 30 de octubre de 2017

Álgebras booleanas, órdenes parciales y el axioma de elección

 Un artículo  que he realizado   sobre la interesante relación  que existe entre las álgebras booleanas, los órdenes parciales y el axioma de elección  es el siguiente: "Álgebras booleanas, órdenes parciales y  axioma de elección".   "Divulgaciones Matemáticas", Vol. 18, N 1 (2017), pp. 34-54. Se puede encontrar (en PDF) y bajar  del siguiente enlace web  http://divmat.demat-fecluz.org/vol-18-no-1-2017

Resumen del artículo:

El objetivo de este artículo es presentar una demostración de un teorema clásico sobre álgebras booleanas y órdenes parciales de relevancia actual en teoría de conjuntos, como por ejemplo, para aplicaciones del método de construcción de modelos llamado "forcing"(con álgebras booleanas completas o con órdenes parciales), y  para demostrar (en Combinatoria infinita) que el Axioma de Martin es equivalente al Axioma de Martin restringido a álgebras booleanas completas. El teorema que se prueba es el siguiente: "Todo orden parcial se puede extender a una única álgebra booleana completa (salvo isomorfismo)". Donde extender significa "sumergir densamente". Tal demostración se realiza utilizando cortaduras de Dedekind siguiendo el texto "Set Theory" de Jech, y otras ideas propias del autor de este artículo. [Vale la pena resaltar que la primera demostración de este teorema fue realizada por Marshel Stone en 1936]. Adicionalmente, se formulan algunas versiones débiles del axioma de elección relacionadas con las álgebras booleanas, las cuales son también de gran importancia para la investigación en teoría de conjuntos y teoría de modelos, pues estas son poderosas técnicas de construcción de modelos, como por ejemplo, el teorema de compacidad (permite construir modelos no estándar como  el cuerpo ordenado y no arquimediano de los Hiper-Reales del Análisis no estándar de Robinson,  etc) y el teorema del ultrafiltro, que permite construir ultraproductos (pueden ser usados para investigar problemas de  cardinales grandes, etc). Se presentan algunas referencias de problemas abiertos sobre el tema.



                                                        Marshel Stone (1903-1989)

miércoles, 13 de septiembre de 2017

La Propiedad de Interpolación de Craig

 Un artículo que he realizado sobre la interesante propiedad  de sistemas lógicos llamada "Propiedad de interpolación de Craig",  es el siguiente:  "Dos teoremas de interpolación".  "Divulgaciones Matemáticas", Vol. 17, N 2 (2016), pp. 15-42. Se puede encontrar  (en PDF) y bajar  del siguiente enlace web:  https://sites.google.com/a/demat-fecluz.org/revistadm-divulgaciones-matematicas/vol-17-no-2-2016 

Resumen del artículo "Dos teoremas de interpolación": En este artículo se presentan dos demostraciones del teorema de interpolación: Una para la lógica proposicional y otra para la lógica de primer orden. Ambas se realizan en el contexto de la teoría de modelos. El teorema de interpolación afirma que si  A y B son fórmulas, donde A no es una contradicción,  B no es  válida, y B es una consecuencia lógica de A, entonces existe una fórmula C que esta escrita en el lenguaje común al de A y de B, tal que C es una consecuencia lógica de A y B es una consecuencia lógica de C.  El teorema de interpolación fue demostrado por primera vez para la lógica de primer orden por William Craig en 1957, y desde entonces se ha investigado la posibilidad de generalizarlo o aplicarlo. Dicho teorema tiene generalizaciones o aplicaciones en teoría de la demostración, teoría de modelos abstracta, ciencias de la computación, lógica modal, lógica intuicionista, etc. Se presentan ejemplos de aplicaciones o generalizaciones de la propiedad de interpolación relacionados con lógicas infinitarias, cuantificadores generalizados, segundo orden, no clásicas, abstractas, etc. También se ofrecen referencias de problemas abiertos sobre interpolación en el contexto de la teoría de modelos abstracta. 





                                                 William Craig (1918-2016)

Nota: Vale la pena resaltar que Willian Craig se doctoró  en la Universidad de Harvard en 1951 con una tesis titulada "A Theorem about First Order Functional Calculus with Identity, and Two Appilcations". Su tutor fue Willard Van Orman Quine. En este blog se hace referencia (en varias entradas) a varios textos o artículos de Quine: (específicamente) De  Lógica matemática y/o  Filosofía de la matemática.


                                                         W. V. O. Quine (1908-2000)

viernes, 4 de agosto de 2017

El Teorema de Indecibilidad de Church y el Programa de David Hilbert

Tres artículos que hemos realizado Ricardo Da Silva y mi persona sobre el Teorema de Indecibilidad de Church y el Programa original de David Hilbert son los siguientes:

(1) Artículo 1: "El Teorema de Indecibilidad de Church (1936): Formulación y Presentación de las ideas principales de su demostración". . Apuntes Filosóficos. Vol 26, N 50 (2017). Se puede encontrar y bajar en el siguiente enlace de la web "Saber UCV": http://saber.ucv.ve/ojs/index.php/rev_af/issue/view/1641/showToc

Resumen: "El Teorema de indecidibilidad de Church es uno de los resultados meta-teóricos de mediados de la tercera década del siglo pasado, que junto a otros teoremas limitativos como los de Gödel y Tarski, han generado todo un sinfín de reflexiones y análisis tanto en el marco de las ciencias formales, esto es, la matemática, la lógica y la computación teórica, como fuera de ellas, en especial la filosofía de la matemática, la filosofía de la lógica y la filosofía de la mente. Nos proponemos, como propósito general del presente artículo, formular el Teorema de indecidibilidad de Church y presentar las ideas principales de su demostración. Para llevar a cabo el primer objetivo necesitamos introducir y explicar las nociones de función recursiva y la numeración de Gödel, que permitirán enunciar de manera formal y rigurosa el Teorema de Church. Luego que enunciemos el Teorema de indecibilidad de Church de manera formal y rigurosa, pasaremos a presentar las ideas principales de la prueba del Teorema de indecidibilidad de Church para la Lógica de primer orden, en la cual se utiliza el sistema axiomático de Robinson para la aritmética y cuatro hechos sobre él mismo: (a) En el sistema de Robinson para la aritmética las funciones recursivas son representables, (b) El sistema de Robinson es indecidible, (c) El número de axiomas propios del sistema de Robinson es finito y (d) El cálculo lógico del sistema de Robinson es igual (formalmente) al cálculo de la lógica de primer orden."



                                                            Alonzo Church (1903-1995)



                                                         David Hilbert (1862-1995)


(Nota relacionada con los tres artículos: Quisiera precisar que mi concepción filosófica con respecto  a la matemática es "platonista matemática (vinculada totalmente con el Pitagorismo, con el platonismo matemático de Cantor, con  el platonismo matemático de Gödel, con la concepción de Galileo Galilei sobre la relación de la matemática con el mundo, con la Metafísica (Ontología) Judía, etc)".  He tratado  detalladamente   al platonismo matemático-en la medida de mis posibilidades-en mi trabajo de investigación  llamado "Algunos tópicos de Lógica matemática y los Fundamentos de la matemática". (Vale la pena resaltar el importante papel que juega la "Intuición Matemática" en el platonismo matemático). Dicho trabajo se puede encontrar y bajar en el siguiente enlace de la web de "Saber UCV":  http://saber.ucv.ve/handle/123456789/16943 . Un resumen del mismo es el siguiente: "En este trabajo  filosófico-matemático  se estudian cuatro tópicos de la Lógica matemática:  El método de construcción de modelos llamado Ultraproductos, la Propiedad de Interpolación de Craig, las Álgebras booleanas y los Órdenes parciales separativos. El objetivo principal del  mismo  es analizar  la importancia que tienen  dichos tópicos para el estudio de los fundamentos de la matemática, desde el punto de vista del platonismo matemático. Para cumplir con tal objetivo se trabajará  en el  ámbito  de la Matemática, de la Metamatemática y de la Filosofía de la matemática. El desarrollo de la investigación  arrojó como resultado que  tales tópicos son  muy importantes para el estudio de los fundamentos de la matemática, desde el punto de vista del platonismo matemático, y en el trabajo se explica detalladamente con abundantes ejemplos el  porqué (al final de cada sección  y al final del mismo).")



(2) Artículo 2: "Fragmentos decidibles e indecidibles de la lógica de primer orden". Apuntes Filosóficos. Vol 26, N 50 (2017). Se puede encontrar y bajar en el siguiente enlace de la web "Saber UCV": http://saber.ucv.ve/ojs/index.php/rev_af/issue/view/1641/showToc

Resumen: "El siguiente artículo tiene tres objetivos: (1) Presentar una actualización de una prueba de la decidibilidad de la Lógica de predicados monádicos en el contexto de la teoría de modelos contemporánea; (2) Mostrar ejemplos de fragmentos decidibles e indecidibles dentro de la Lógica de primer orden, ofreciendo una demostración propia, que usa una sugerencia de Nerode y Shore en su texto "Logic for Applications", del siguiente teorema: Son decidibles todas las fórmulas de la Lógica de primer orden tal que su forma normal prenexa quede de la siguiente manera: ∀x1,…,∀xn∃y1,…,∃ym φ(x1,…,xn,y1,…,ym); (3) Presentar un teorema que caracteriza la validez de la Lógica de Primer orden mediante la tautologicidad de la Lógica proposicional, dicho resultado es de interés, pues inmediatamente surge la duda de cómo conciliar tal caracterización con el Teorema de indecidibilidad de la Lógica de Primer orden de Alonzo Church (1936)".

Nota: La cláusula (2) del resumen anterior no aparece redactada en el artículo original como se está haciendo en esta entrada, sin embargo, será publicada de esta manera como "Fe de errata" muy pronto (Ricardo ya lo ha corregido en su web de "Academia.edu" agregando dicha fe de errata, falta sólo agregarla en la web de la revista "Apuntes filosóficos" con los editores de la misma), pues la redacción que aparece en la versión original no es la correcta, hubo un error involuntario. Esta aclaratoria también vale en el lugar de la introducción donde se habla sobre el tema. En la demostración del teorema si aparece conforme a la fe de errata. Cuando se lea el artículo por favor tener presente esta fe de errata.

(3) Artículo 3: "El Programa original de David Hilbert y el problema de la decibilidad". Episteme NS, Vol. 37, N 1 (2017). Se puede encontrar y bajar en el siguiente enlace de la web "Saber UCV": http://saber.ucv.ve/ojs/index.php/rev_ens/issue/current

Resumen: "En este artículo realizamos una reconstrucción del Programa original de Hilbert antes del surgimiento de los teoremas limitativos de la tercera década del siglo pasado. Para tal reconstrucción empezaremos por mostrar lo que Torretti llama los primeros titubeos formales de Hilbert, es decir, la defensa por el método axiomático como enfoque fundamentante. Seguidamente, mostraremos como estos titubeos formales se establecen como un verdadero programa de investigación lógico-matemático y como dentro de dicho programa la inquietud por la decibilidad de los problemas matemáticos y en específico la decibilidadd de la lógica de primer orden cobra peso. Luego pasamos a analizar como la inquietud por la decibilidad toma lugar dentro del pensamiento filosófico-matemático de Hilbert presentándose como uno de los grandes problemas a los cuales la metamatemática debe encontrar una solución, esto lo hacemos mostrando un contraste con autores, como John von Neumann y Roberto Torretti, quienes de alguna u otra manera no interpretan el problema de la decibilidad de la lógica de primer orden como un problema de peso dentro del programa original de Hilbert. Finalmente argumentamos que el resultado meta-teórico de Church puede entenderse como una refutación del optimismo intelectual que permea a todo el programa original de Hilbert".