LÓGICA MATEMÁTICA Y LOS FUNDAMENTOS DE LAS MATEMÁTICAS....Cualquier pregunta sobre los temas planteados en este blog me la pueden hacer llegar por mis correos electrónicos franklingalindo178@gmail.com o franklingalindo178@yahoo.es, si está a mi alncance responderla lo haré con mucho gusto. Saludos cordiales.

El problema del continuo

El problema del continuo
¿La Hipótesis del continuo de Cantor es verdadera o falsa ?¿ Qué ha pasado con el problema del cardinal del continuo después de Gödel (1938) y Cohen (1964) ? Para enterarse se pueden leer los artículos del Prof. José Alfredo Amor (1946-2011), del Prof. Carlos Di Prisco y del Prof. Joan Bagaria que se encuentran en la biblioteca digital de este blog que aparecerá al hacer clic en la imagen. También se puede encontrar más información al respecto en dicha biblioteca, en las otras bibliotecas digitales referidas en este blog y en una entrada específica de este blog dedicada al tema.

Ciencia y Matemáticas. Galileo Galilei (1564-1642).

Ciencia y Matemáticas. Galileo Galilei (1564-1642).
Ciencia y Matemáticas...Galileo Galilei (1564-1642): Astrónomo, filósofo, ingeniero, matemático y físico italiano. Albert Einstein lo llamó "padre de la ciencia moderna" y "para Stephen Hawking, Galileo probablemente sea, más que cualquier otro, el máximo responsable del nacimiento de la ciencia moderna" (Fuente: Internet). Según algunas referencias se le atribuye las expresiones "Las matemáticas son el lenguaje en el que Dios escribió el universo", "La Naturaleza está escrita en lenguaje matemático" y "La filosofía -decía Galileo (en Il Saggitario, 1623)- está escrita en ese grandísimo libro que continuamente está abierto ante nuestros ojos (a saber, el universo), pero no puede entenderse si antes no se procura entender su lenguaje y conocer los caracteres en que está escrito. Este libro está escrito en lenguaje matemático, y sus caracteres son triángulos, círculos, ...". La fuente de las dos primeras referencias anteriores es internet y la tercera aparece en el artículo "La matemática como lenguaje" de Jesús Mosterín, Tecnos, 1973. Es conocida la enorme importancia de la matemática para la ciencia, y también que el problema de la relación de la matemática con el mundo físico (espacio tiempo) es un tema de estudio en filosofía de la matemática: ¿Cuál es la relación exacta entre las matemáticas y el mundo físico? es una pregunta que tiene varias respuestas (por los momentos).

martes, 4 de noviembre de 2014

Textos: SET THEORY, autor: K. Kunen, SET THEORY, autor: T. Jech, y MODEL THEORY, autores: C. Chang y H. Keisler. .

(Última actualización de esta entrada 25-03-2016)

Texto: SET THEORY. Autor:Kenneth Kunen. College Publications. Nueva versión (2011) de este extraordinario libro de Teoría de Conjuntos avanzada (de postgrado). Una versión genial. Se puede encontrar (y bajar) en el buscador http://en.bookfi.org/ o en la biblioteca digital de este blog.

Es conocido que otro libro de Teoría de Conjuntos avanzada complementario a este de Kunen es el de Thomas Jech, SET THEORY, Springer, 2002, una versión digital de este hermoso texto también puede conseguirse y bajarse en la biblioteca digital de este blog.

También es conocido que los dos libros anteriores presuponen conocimientos de Teoría de Modelos (además de Aritmética Transfinta ordinal y cardinal, y de Teoría axiomática de conjuntos, entre otros pre-requisitos), un libro clásico sobre Teoría de Modelos es MODEL THEORY de Chen Chung Chang y H. Jerome Keisler, Dover Books on Mathematics, 2012. Una versión de este maravilloso texto puede encontrarse en la biblioteca digital de este blog.

A continuación se agrega una imagen de los libros mencionados de Kunen, Jech y Chang-Keisler, además se agregan dos imágenes que aluden a las pruebas de independencia del Axioma de elección, de la Hipótesis del continuo y de la Hipótesis de Suslin de los axiomas estándar de la teoría de conjuntos las cuales se deben a Gödel (1938-40), Cohen (1963-64), Kurepa (1935), Tennenbaum (1968), Jech (1967), Martin (1970), Solovay-Tennenbaum (1971), Jensen (1968,1972), respectivamente. Los conceptos, principios combinatorios y métodos de construcción de modelos de la teoría de conjuntos utlizados para realizar las mismas ("ZF", "Axioma de elección", "Relativización", "Modelo transitivo", "Absoluticidad", "Hipótesis del continuo", "Línea (Recta) de Suslin", "Árboles de Suslin", "Axioma de constructibilidad", "Principio diamante", "Axioma de Martin", "Definibilidad", "los constructibles de Gödel", "HOD(A)", "forcing", "forcing producto","forcing iterado", etc) son expuestos rigurosamente en dichos textos ("Set Theory" de Kunen y "Set Theory" de Jech), algunos de ellos en dos presentaciones distintas pero equivalentes, ambas muy lindas (por ejemplo los constructibles y el forcing):











(Última actualización de esta entrada 25-03-2016. Para contactarme pueden hacerlo por mi correo electrónico: franklingalindo178@gmail.com)

viernes, 28 de marzo de 2014

INTERESANTES ARTÍCULOS SOBRE LA TEORÍA DE CONJUNTOS DE JOAN BAGARÍA, THOMAS JECH Y GREGORY MOORE.

(1) Artículo: "LA TEORÍA DE CONJUNTOS". Autor: Profesor Joan Bagaría. ICREA-Universidad de Barcelona.España. La Gaceta de la RSME, Vol.15 (2012), Núm. 2, Págs.1-20. ¿Cuáles son los principales retos de dicha disciplina en la actualidad? Una exposición realizada por el destacado conjuntista Profesor Joan Bagaria. Dicho artículo puede encontrarse y bajarse en la biblioteca digital de este blog.

(2) Otro de los tantos artículos interesantes sobre la Teoría de conjuntos es el que tiene por título "EL INFINITO", del gran conjuntista Profesor Thomas Jech. Dicho artículo fue publicado en español por LA GACETA DE LA RSME, Vol. 8.2 (2005), Págs. 369-377. Se puede encontrar y bajar en la biblioteca digital de este blog.

(3) Extraordinario artículo del Profesor Gregory Moore sobre la Lógica de primer orden, la teoría de conjuntos y los fundamentos de las matemáticas: "THE EMERGENCE OF FIRST-ORDER LOGIC". ¿Cómo se consolidó la lógica de primer orden como la lógica base de las matemáticas, a pesar de sus limitaciones expresivas? Una respuesta a esta interrogante puede encontrarse en dicho artículo que se encuentra en el siguiente enlace http://duport.com/files/77792424.pdf o en la biblioteca digital de este blog. Vale la pena destacar que el Profesor Gregory Moore es el autor del sobresaliente texto clásico sobre el Axioma de elección: "Zermelo's Axiom of Choice: Its Origins, Development, and Influence", Springer-Verlag, 1980.

martes, 24 de diciembre de 2013

Las claves de las matemáticas avanzadas: Temas recurrentes en el Razonamiento Abstracto

Texto: The Keys to Advanced Mathematics: Recurrent Themes in Abstract Reasoning. Autor: Daniel Solow. BookMasters Distribution Center. 1995.

Interesante texto que intenta describir con muchos ejemplos ¿ cómo es el quehacer matemático cotidiano? (sin saltarse el tema de la creatividad en matemáticas).



martes, 22 de octubre de 2013

¿CÓMO ENTENDER Y HACER DEMOSTRACIONES EN MATEMÁTICAS?

Excelente texto clásico ¿CÓMO ENTENDER Y HACER DEMOSTRACIONES EN MATEMÁTICAS? Autor: Daniel Solow. Limusa. México. 1993.

El libro intenta explicar con muchos ejemplos el tema de la demostración matemática (sin pretender sustituir la creatividad matemática).

Una versión digital del mismo puede encontrarse en el siguiente enlace o en la biblioteca digital de este blog.

http://home.comcast.net/~729FSC/SolowDanielComoEntenderYHacerDemostraciones.pdf



miércoles, 16 de octubre de 2013

¿Cómo demostrarlo? Un enfoque estructurado

Texto: HOW TO PROVE IT. A STRUCTURED APPROACH. Autor: Daniel Velleman. Cambridge University Press. 2006.

Desde mi punto de vista es una buena introducción al razonamiento matemático, con bastante ejemplos. La pregunta ¿Cómo se demuestra en matemáticas? Encuentra en dicho texto respuestas muy bien estructuradas (sin pretender sustituir el tema de la creatividad matemática). Se puede conseguir una versión digital del mismo en la biblioteca digital de este blog.



domingo, 29 de septiembre de 2013

CAUCHY AUGUSTIN-LOUIS (1789-1857)



En el siguiente enlace de la Universidad de Granada se puede leer una síntesis del trabajo matemático (y de fundamentos de las matemáticas) de Cauchy:

http://www.ugr.es/~eaznar/cauchy.htm

sábado, 24 de agosto de 2013

Un breve comentario sobre el gran aporte de la Combinatoria Infinita a las investigaciones sobre los fundamentos de las matemáticas (por ejemplo con el Problema de Suslin).

(Última actualización de esta entrada 15-05-2016)



Frank Plupton Ramsey (1903–1930). Matemático, Filósofo y Economista. Pionero en la investigación de la Combinatoria infinita y sus aplicaciones en el estudio de los fundamentos de las matemáticas, a dicho autor se debe la demostración del conocido TEOREMA DE RAMSEY (1929/30), una generalización del famoso PRINCIPIO DEL CASILLERO (Principio del casillero: "Si se parte el conjunto de los números naturales N en un número finito de partes, necesariamente al menos una de las partes es infinita". Otra versión: PRINCIPIO DEL PALOMAR: "Si n palomas se distribuyen en m palomares, y si n > m, entonces al menos habrá un palomar con más de una paloma").





Stevo Todorčević. Uno de los destacados matemáticos actuales que investiga Combinatoria infinita, Teoría de conjuntos, Topología, Análisis, etc. (Existen otros destacados investigadores actuales sobre el tema).





Carlos Di Prisco. Otro destacado matemático actual que investiga Combinatoria infinita y Teoría de conjuntos. (Existen otros destacados investigadores actuales sobre el tema).

Es conocido que la COMBINATORIA INFINITA juega un papel muy importante en las investigaciones sobre los fundamentos de la matemáticas (en particular en las investigaciones llamadas "Metamatemáticas"), por ejemplo se han usado resultados de combinatoria infinita para resolver problemas de independencia o consistencia realtiva en la Teoría de conjuntos (en el área de Álgebra, Análisis, Topología, etc) y problemas de decibilidad de fragmentos de la Lógica de Primer Orden, entre otras aplicaciones. A continuación se mencionan cinco ejemplos clásicos entre los cuales se encuentra el famoso Problema de Suslin sobre la caracterización de la Recta real (1920) , es decir, ¿ Es posible sustituir la propiedad de "separable" por otra propiedad más débil llamada "condición de cadena contable" en la conocida caracterización de la Recta real como un "orden total, denso, no acotado, completo y separable"?. Se ofrecerá alguna referencia bibliografía sobre cada uno de los cinco ejemplos, alguna de las cuales se encuentra en la biblioteca digital de este blog, en estas referencias se pueden encontrar definiciones y demostraciones rigurosas de los conceptos y resultados que se mencionarán. Antes de escribir los cinco ejemplos vale la pena resaltar que existe un interesante artículo divulgativo sobre la relación entre la Combinatoria infinita y la Metamatemática cuyo autor es el Profesor Carlos Di Prisco (Instituto Venezolano de Investigaciones Científicas (IVIC)- Escuela de Matemáticas Universidad Central de Venezuela (UCV)) que se llama "Mathematics versus Metamathematics in Ramsey theory of real numbers" (2005) el cual se encuentra en la biblioteca digital de este blog y se puede bajar, también el mismo profesor Di Prisco tiene un libro específicamente sobre combinatoria infinita titulado "Combinatoria: Teoría de Ramsey" (2006) que también esta en la biblioteca digital de este blog y se puede bajar:

CINCO EJEMPLOS CLÁSICOS:

Ejemplo 1: La prueba de Halpern y Lévy (1971 ) de que "EL TEOREMA DEL IDEAL PRIMO NO IMPLICA AL AXIOMA DE ELECCIÓN", o dicho de otra manera equivalente, de que "EL TEOREMA DEL ULTRAFILTRO NO IMPLICA AL AXIOMA DE ELECCIÓN", usa un resultado combinatorio: El TEOREMA DE HALPERN-LÄUCHLI (1966), el cual es una versión para árboles del TEOREMA DE RAMSEY. Vale la pena resaltar que la prueba de Halpern y Lévy también usa el método de forcing de Cohen, con automorfismos, porque dichos autores construyen el Modelo Básico de Cohen, modelo donde no vale el Axioma de elección (esto ya lo había probado Cohen en 1963-64), la idea es que ellos prueban que en tal modelo sí vale el Teorema del Ideal Primo utilizando el Teorema de Halpern-Läuchli.

(Halpern y Lévy. (1971) The Boolean prime ideal theorem does not imply the axiom of choice. Proc. Symp. in Pure Math., 13 AMS, 83-134.)

Ejemplo 2: La demostración de Cohen (1963-64) de que "LA NEGACIÓN DE LA HIPÓTESIS DEL CONTINUO ES CONSISTENTE CON ZFC" usa un resultado combinatorio: EL LEMA DELTA-SISTEMA o DELTA-LEMA (Shanin, 1946. Y Erdös-Rado, 1960). Vale la pena resaltar que la demostración de Cohen también usa del método de forcing (en este caso sin automorfismos) para construir un modelo (la extensión genérica M[G] del modelo base M, la cual es un modelo de ZFC) donde existen una cantidad de números reales igual o mayor que Alef_2, es decir, en M[G] no vale la Hipótesis del continuo, y la importancia del DELTA-LEMA en dicha prueba es crucial porque con dicho DELTA-LEMA es que se puede demostrar que el orden parcial particular (llamado "forcing de Cohen") con el cual se construye el modelo genérico (la extensión genérica) específico M[G] tiene la condición de cadena contable (c.c.c), y por lo tanto tal orden parcial "no colapsa cardinales", PRESERVA CARDINALES, en especial no colapsa al cardinal Alef_2, es conocido que puede pasar que un cardinal en un modelo base W sea destruído en la extensión genérica W[G], es decir, el puede dejar dejar de ser un cardinal en W[G], él sí sigue siendo un número ordinal pero deja de ser un número cardinal pues es "colapsado" como tal al agregarse en la extensión genérica W[G] una función biyectiva entre él y un ordinal menor, existen forcing que colapsan cardinales, por ejemplo el "Colapso de Lévy", por eso el DELTA-LEMA es fundamental en esta prueba de Cohen.

(Kunen, K. (2006) Set Theory. An Introduction to Independence Proofs. Elseivier, Amsterdam. Una versión digital de este libro se puede encontrar en la biblioteca digital de este blog, y se puede descargar.)

Ejemplo 3: La demostración de Tennenbaum (1968), Jech (1967), Solovay-Tennenbaum (1971), Jensen (1968,1972) de que "LA HIPÓTESIS DE SUSLIN ES INDEPENDIENTE DE ZFC" usa dos principios combinatorios: El AXIOMA DE MARTIN (Martin, 1970) y el PRINCIPIO DIAMANTE (Jensen, 1972). También la prueba usa el método de forcing iterado (caso de Solovay-Tennenbaum con el Axioma de Martin), y el Universo constructible de Gödel (caso de Jensen con el Principio Diamante). Tennenbaum (1968) y Jech (1967) probaron una dirección de la independencia usando sólo la técnica de forcing. Vale la pena resaltar que para este resultado de independencia también juega un papel muy importante el uso del concepto de "Árbol", "Árboles finitos" y "Árboles infinitos", en especial "Árboles de Suslin" y "Árbol bien podado", conceptos de la combinatoria infinita. La demostración de la equivalencia, "Existe una linea de Suslin si y sólo si existe un árbol de Suslin", que permite tratar del Problema de Suslin en términos de árboles de Suslin fue realizada por Kurepa en 1935. Una linea de Suslin es un orden total (P,<) denso, no acotado, completo, con la condición de cadena contable, pero no separable. Un árbol es un orden parcial (X,<) tal que para cada z que pertenece a X, el conjunto de sus predecesores según < está bien ordendo. Un arbol (T,<) es un árbol de Suslin si: (i) La altura de T es Alef_1, (ii) Cada rama de T es a lo sumo numerable y (iii) Cada anticadena de T es a lo sumo numerable. Un árbol (T,<) es bien podado si (i) y (ii): (i) T tiene un tallo y (ii) Para x en T el conjunto de los sucesores y de x (y > x) intersecta a cada uno de los niveles de T. Se cumple que si k es un cardinal regular y T es un k-árbol, entonces T tiene un k-subárbol T' que es bien podado. (Sea k un cardinal regular. T es un k-árbol si T es un árbol de altura k y cada uno de los niveles de T tiene cardinal menor que k).

("Set Theory" de Jech (2000) o "Set Theory" de Kunen. Una versión digital del libro de Jech se puede encontrar en la biblioteca digital de este blog, y se puede descargar.)

Ejemplo 4: La demostración de Ramsey (1929/30) de que "UN FRAGMENTO ESPECÍFICO DE LA LÓGICA DE PRIMER ORDEN CON PREDICADOS POLIÁDICOS + IDENTIDAD ES DECIDIBLE" usa un resultado combinatorio: EL TEOREMA DE RAMSEY (1929/30). Vale la pena resaltar que en el artículo original donde aparece esta prueba de Ramsey (citado más abajo) dicho autor resalta que el resultado combinatorio que va a demostrar (ahora llamado "TEOREMA DE RAMSEY") tiene valor en sí mismo con independencia de la aplicación que él va a realizar para probar el resultado de decibilidad de un fragmento específico de la Lógica de primer orden con identidad. Quizá se pueda decir que Ramsey intuía el enorme potencial de su resultado combinatorio.

(Ramsey. On a problem of formal logic. Proc. London Math. Soc. 30 (1929/30), 264-286)

Ejemplo 5: La prueba de Halpern (1964) de que "EL TEOREMA DEL IDEAL PRIMO NO IMPLICA AL AXIOMA DE ELECCIÓN", que se hace en la Teoría de conjuntos con átomos (ZFA), específicamente usando el "Modelo Ordenado de Mostowski" (un modelo de permutaciones) usa el Teorema de Ramsey (finito) para probar que el Teorema del Ideal Primo vale en dicho modelo.

(Thomas Jech. The Axiom Choice. North-Holland, 1973. Páginas: 97-100.)



(Última actualización de esta entrada 15-05-2016. Nota: Si la información presentada en este breve escrito le resulta útil para algún trabajo de investigación- artículo, tesis, conferencia, etc - por favor se le agradece referirlo. Para contactarme pueden hacerlo por mi correo electrónico: franklingalindo178@gmail.com)