¿ Cuál es el cardinal del continuo? ¿ Cuál es el cardinal del conjunto de los números reales?

¿ Cuál es el cardinal del continuo? ¿ Cuál es el cardinal del conjunto de los números reales?
¿ (En la actualidad) Estamos cerca de una solución del problema del cardinal del conjunto de los números reales ? ¿Estamos cerca de saber cuál es dicho cardinal o falta mucho todavía? Los intentos por determinar la cardinalidad del conjunto de los números reales (el cardinal del continuo) han contribuido sustancialmente con el desarrollo de la Teoría de Conjuntos. Hacia 1878 G. Cantor conjeturó que tal cardinal es el menor cardinal mayor que el cardinal de los números naturales (Alef_0), es decir, Alef_1. Esta hipótesis se denomina Hipótesis del continuo (HC) y Cantor no pudo demostrar la misma. Para David Hilbert la HC era tan importante que la colocó de primera en la lista de problemas presentada al Congreso Internacional de Matemáticas realizado en París en 1900; y uno de los resultados más destacados al respecto es la prueba de su independencia de los axiomas estándar de la Teoría de Conjuntos, la cual se debe a K. Gödel (1938) y a P. Cohen (1963-64), es decir, tales autores demostraron que si los axiomas estándar de la Teoría de Conjuntos son consistentes, entonces no se puede deducir de ellos la HC, ni la negación de la HC. Considerando esta independencia y además que (desde un punto de vista platonista) la HC es una proposición significativa la cual es verdadera o falsa, una de las investigaciones actuales más relevantes sobre el tema consiste en la búsqueda de nuevos axiomas que permitan decidir el cardinal del continuo. Vale la pena destacar que algunos de los candidatos a nuevos axiomas dicen que Cantor estaba equivocado, pues ellos implican que el cardinal del continuo es Alef_2, el menor cardinal mayor que Alef_1 (Gödel había intuido este resultado años antes). ¿ Qué ha pasado con el problema del cardinal del continuo después de Gödel (1938) y Cohen (1964) ? Intentos de responder esta pregunta pueden encontrarse en los artículos del Prof. José Alfredo Amor (1946-2011), "El Problema del continuo después de Cohen (1964-2004)", del Prof. Carlos Di Prisco , "Are we closer to a solution of the continuum problem", y del Prof. Joan Bagaria, "Natural axioms of set and the continuum problem" , que se encuentran en la biblioteca digital de este blog que aparecerá al hacer clic en la imagen. También se puede encontrar más información al respecto en dicha biblioteca, en las otras bibliotecas digitales referidas en este blog y en una entrada específica de este blog dedicada al tema (por favor leer esta entrada de primero).

miércoles, 13 de septiembre de 2017

La Propiedad de Interpolación de Craig

 Un artículo que he publicado recientemente en la revista matemática  "Divulgaciones Matemáticas", Vol. 17, N 2 (2016), pp. 15-42, sobre la interesante propiedad  de sistemas lógicos llamada "Propiedad de interpolación de Craig",  es  "Dos teoremas de interpolación". El enlace digital de dicho volumen de la revista es el siguiente  https://sites.google.com/a/demat-fecluz.org/revistadm-divulgaciones-matematicas/vol-17-no-2-2016 . Allí se puede bajar una versión digital en PDF del mismo.                            

Resumen del artículo "Dos teoremas de interpolación": En este artículo se presentan dos demostraciones del teorema de interpolación: Una para la lógica proposicional y otra para la lógica de primer orden. Ambas se realizan en el contexto de la teoría de modelos. El teorema de interpolación afirma que si  A y B son fórmulas, donde A no es una contradicción,  B no es  válida, y B es una consecuencia lógica de A, entonces existe una fórmula C que esta escrita en el lenguaje común al de A y de B, tal que C es una concecuencia lógica de A y B es una consecuencia lógica de C.  El teorema de interpolación fue demostrado por primera vez para la lógica de primer orden por William Craig en 1957, y desde entonces se ha investigado la posibilidad de generalizarlo o aplicarlo. Dicho teorema tiene generalizaciones o aplicaciones en teoría de la demostración, teoría de modelos abstracta, ciencias de la computación, lógica modal, lógica intuicionista, etc. Se presentan ejemplos de aplicaciones o generalizaciones de la propiedad de interpolación relacionados con lógicas infinitarias, cuantificadores generalizados, segundo orden, no clásicas, abstractas, etc. También se ofrecen referencias de problemas abiertos sobre interpolación en el contexto de la teoría de modelos abstracta. 

viernes, 4 de agosto de 2017

El Teorema de Indecibilidad de Church y el Programa de David Hilbert

Tres artículos que hemos realizado Ricardo Da Silva y mi persona sobre el Teorema de Indecibilidad de Church y el Programa original de David Hilbert son los siguientes:

(1) Artículo 1: "El Teorema de Indecibilidad de Church (1936): Formulación y Presentación de las ideas principales de su demostración". . Apuntes Filosóficos. Vol 26, N 50 (2017). Se puede encontrar y bajar en el siguiente enlace de la web "Saber UCV": http://saber.ucv.ve/ojs/index.php/rev_af/issue/view/1641/showToc

Resumen: "El Teorema de indecidibilidad de Church es uno de los resultados meta-teóricos de mediados de la tercera década del siglo pasado, que junto a otros teoremas limitativos como los de Gödel y Tarski, han generado todo un sinfín de reflexiones y análisis tanto en el marco de las ciencias formales, esto es, la matemática, la lógica y la computación teórica, como fuera de ellas, en especial la filosofía de la matemática, la filosofía de la lógica y la filosofía de la mente. Nos proponemos, como propósito general del presente artículo, formular el Teorema de indecidibilidad de Church y presentar las ideas principales de su demostración. Para llevar a cabo el primer objetivo necesitamos introducir y explicar las nociones de función recursiva y la numeración de Gödel, que permitirán enunciar de manera formal y rigurosa el Teorema de Church. Luego que enunciemos el Teorema de indecibilidad de Church de manera formal y rigurosa, pasaremos a presentar las ideas principales de la prueba del Teorema de indecidibilidad de Church para la Lógica de primer orden, en la cual se utiliza el sistema axiomático de Robinson para la aritmética y cuatro hechos sobre él mismo: (a) En el sistema de Robinson para la aritmética las funciones recursivas son representables, (b) El sistema de Robinson es indecidible, (c) El número de axiomas propios del sistema de Robinson es finito y (d) El cálculo lógico del sistema de Robinson es igual (formalmente) al cálculo de la lógica de primer orden."



(Nota con respecto a los tres artículos: Quisiera precisar que mi concepción filosófica con respecto a la matemática es platonista, un platonismo fuerte y sofísticado parecido al de Gödel pero no necesariamente igual. Vale la pena resaltar el sobresaliente papel que juega la "intuición matemática" en el platonismo matemático en general y en el platonismo matemático de Gödel en particular.)



(2) Artículo 2: "Fragmentos decidibles e indecidibles de la lógica de primer orden". Apuntes Filosóficos. Vol 26, N 50 (2017). Se puede encontrar y bajar en el siguiente enlace de la web "Saber UCV": http://saber.ucv.ve/ojs/index.php/rev_af/issue/view/1641/showToc

Resumen: "El siguiente artículo tiene tres objetivos: (1) Presentar una actualización de una prueba de la decidibilidad de la Lógica de predicados monádicos en el contexto de la teoría de modelos contemporánea; (2) Mostrar ejemplos de fragmentos decidibles e indecidibles dentro de la Lógica de primer orden, ofreciendo una demostración propia, que usa una sugerencia de Nerode y Shore en su texto "Logic for Applications", del siguiente teorema: Son decidibles todas las fórmulas de la Lógica de primer orden tal que su forma normal prenexa quede de la siguiente manera: ∀x1,…,∀xn∃y1,…,∃ym φ(x1,…,xn,y1,…,ym); (3) Presentar un teorema que caracteriza la validez de la Lógica de Primer orden mediante la tautologicidad de la Lógica proposicional, dicho resultado es de interés, pues inmediatamente surge la duda de cómo conciliar tal caracterización con el Teorema de indecidibilidad de la Lógica de Primer orden de Alonzo Church (1936)".

Nota: La cláusula (2) del resumen anterior no aparece redactada en el artículo original como se está haciendo en esta entrada, sin embargo, será publicada de esta manera como "Fe de errata" muy pronto (Ricardo ya lo ha corregido en su web de "Academia.edu" agregando dicha fe de errata, falta sólo agregarla en la web de la revista "Apuntes filosóficos" con los editores de la misma), pues la redacción que aparece en la versión original no es la correcta, hubo un error involuntario. Esta aclaratoria también vale en el lugar de la introducción donde se habla sobre el tema. En la demostración del teorema si aparece conforme a la fe de errata. Cuando se lea el artículo por favor tener presente esta fe de errata.

(3) Artículo 3: "El Programa original de David Hilbert y el problema de la decibilidad". Episteme NS. Por aparecer.

Resumen: "En este artículo realizamos una reconstrucción del Programa original de Hilbert antes del surgimiento de los teoremas limitativos de la tercera adécada del siglo pasado. Para tal reconstrucción empezaremos por mostrar lo que Torretti llama los primeros titubeos formales de Hilbert, es decir, la defensa por el método axiomático como enfoque fundamentante. Seguidamente, mostraremos como estos titubeos formales se establecen como un verdadero programa de investigación lógico-matemático y como dentro de dicho programa la inquietud por la decibilidad de los problemas matemáticos y en específico la decibilidadd de la lógica de primer orden cobra peso. Luego pasamos a analizar como la inquietud por la decibilidad toma lugar dentro del pensamiento filosófico-matemático de Hilbert presentándose como uno de los grandes problemas a los cuales la metamatemática debe encontrar una solución, esto lo hacemos mostrando un contraste con autores, como John von Neumann y Roberto Torretti, quienes de alguna u otra manera no interpretan el problema de la decibilidad de la lógica de primer orden como un problema de peso dentro del programa original de Hilbert. Finalmente argumentamos que el resultado meta-teórico de Church puede entenderse como una refutación del optimismo intelectual que permea a todo el programa original de Hilbert".

martes, 4 de noviembre de 2014

Textos: SET THEORY, autor: K. Kunen, SET THEORY, autor: T. Jech, y MODEL THEORY, autores: C. Chang y H. Keisler. .

Texto: SET THEORY. Autor:Kenneth Kunen. College Publications. Nueva versión (2011) de este interesante libro de Teoría de Conjuntos. Se puede encontrar (y bajar) en el buscador http://en.bookfi.org/ o en la biblioteca digital de este blog.

Es conocido que otro libro de Teoría de Conjuntos complementario a este de Kunen es el de Thomas Jech, SET THEORY, Springer, 2002, una versión digital de este texto también puede conseguirse y bajarse en la biblioteca digital de este blog.

También es conocido que los dos libros anteriores presuponen conocimientos de Teoría de Modelos (además de Aritmética Transfinita ordinal y cardinal, y de Teoría axiomática de conjuntos, entre otros pre-requisitos), un libro clásico sobre Teoría de Modelos es MODEL THEORY de Chen Chung Chang y H. Jerome Keisler, Dover Books on Mathematics, 2012. Una versión de este texto puede encontrarse en la biblioteca digital de este blog.

A continuación se agrega una imagen de los libros mencionados de Kunen, Jech y Chang-Keisler:









viernes, 28 de marzo de 2014

INTERESANTES ARTÍCULOS SOBRE LA TEORÍA DE CONJUNTOS DE JOAN BAGARÍA, THOMAS JECH Y GREGORY MOORE.

(1) Artículo: "LA TEORÍA DE CONJUNTOS". Autor: Profesor Joan Bagaría. ICREA-Universidad de Barcelona.España. La Gaceta de la RSME, Vol.15 (2012), Núm. 2, Págs.1-20. ¿Cuáles son los principales retos de dicha disciplina en la actualidad? Una exposición realizada por el destacado conjuntista Profesor Joan Bagaria. Dicho artículo puede encontrarse y bajarse en la biblioteca digital de este blog.

(2) Otro de los tantos artículos interesantes sobre la Teoría de conjuntos es el que tiene por título "EL INFINITO", del gran conjuntista Profesor Thomas Jech. Dicho artículo fue publicado en español por LA GACETA DE LA RSME, Vol. 8.2 (2005), Págs. 369-377. Se puede encontrar y bajar en la biblioteca digital de este blog.

(3) Extraordinario artículo del Profesor Gregory Moore sobre la Lógica de primer orden, la teoría de conjuntos y los fundamentos de las matemáticas: "THE EMERGENCE OF FIRST-ORDER LOGIC". ¿Cómo se consolidó la lógica de primer orden como la "lógica base" de las matemáticas, a pesar de sus limitaciones expresivas? Una respuesta a esta interrogante puede encontrarse en dicho artículo que se encuentra en el siguiente enlace http://duport.com/files/77792424.pdf o en la biblioteca digital de este blog. Vale la pena destacar que el Profesor Gregory Moore es el autor del sobresaliente texto clásico sobre el Axioma de elección: "Zermelo's Axiom of Choice: Its Origins, Development, and Influence", Springer-Verlag, 1980.

martes, 22 de octubre de 2013

Texto: "¿CÓMO ENTENDER Y HACER DEMOSTRACIONES EN MATEMÁTICAS?". Autor: Daniel Solow.

Texto clásico: ¿CÓMO ENTENDER Y HACER DEMOSTRACIONES EN MATEMÁTICAS? Autor: Daniel Solow. Limusa. México. 1993.

Una versión digital del mismo puede encontrarse en la biblioteca digital de este blog o en el siguiente enlace:

http://home.comcast.net/~729FSC/SolowDanielComoEntenderYHacerDemostraciones.pdf





Otro texto de Daniel Solow, relacionado con el anterior sobre demostraciones matemáticas, donde se da un paso más adelante a los fines de describir seis métodos de gran importancia en el "quehacer matemático cotidiano" (incluyendo la demostración) es el siguiente: "THE KEYS TO ADVANCED MATHEMATICS: RECURRENT THEMES IN ABSTRACT REASONING" (1995). A continuación se presenta una imagen del mismo:



sábado, 24 de agosto de 2013

Sobre el gran aporte de la Combinatoria Infinita a las investigaciones sobre los fundamentos de las matemáticas (por ejemplo con el Problema de Suslin).





Frank Plupton Ramsey (1903–1930). Matemático, Filósofo, Economista, etc. Pionero en la investigación de la Combinatoria infinita y sus aplicaciones en el estudio de los fundamentos de las matemáticas, a dicho autor se debe la demostración del conocido TEOREMA DE RAMSEY (1929/30), una generalización del famoso PRINCIPIO DEL CASILLERO (Principio del casillero: "Si se parte el conjunto de los números naturales N en un número finito de partes, necesariamente al menos una de las partes es infinita". Otra versión: PRINCIPIO DEL PALOMAR: "Si n palomas se distribuyen en m palomares, y si n > m, entonces al menos habrá un palomar con más de una paloma").





Stevo Todorčević. Uno de los destacados matemáticos actuales que investiga Combinatoria infinita, Teoría de conjuntos, Topología, Análisis, etc.





Carlos Di Prisco. Otro destacado matemático actual que investiga Combinatoria infinita y Teoría de conjuntos.

Es conocido que la COMBINATORIA INFINITA juega un papel muy importante en las investigaciones sobre los fundamentos de la matemáticas (en particular en las investigaciones llamadas "Metamatemáticas"), por ejemplo se han usado resultados de combinatoria infinita para resolver problemas de independencia o consistencia realtiva en la Teoría de conjuntos (en el área de Álgebra, Análisis, Topología, etc) y problemas de decibilidad de fragmentos de la Lógica de Primer Orden, entre otras aplicaciones. A continuación se mencionan cinco ejemplos clásicos entre los cuales se encuentra el famoso Problema de Suslin sobre la caracterización de la Recta real (1920) , es decir, ¿ Es posible sustituir la propiedad de "separable" por otra propiedad más débil llamada "condición de cadena contable" en la conocida caracterización de la Recta real como un "orden total, denso, no acotado, completo y separable"?. Se ofrecerá alguna referencia bibliografía sobre cada uno de los cinco ejemplos, alguna de las cuales se encuentra en la biblioteca digital de este blog, en estas referencias se pueden encontrar definiciones y demostraciones rigurosas de los conceptos y resultados que se mencionarán. Antes de escribir los cinco ejemplos vale la pena resaltar que existe un interesante artículo divulgativo sobre la relación entre la Combinatoria infinita y la Metamatemática cuyo autor es el Profesor Carlos Di Prisco (Instituto Venezolano de Investigaciones Científicas (IVIC)- Escuela de Matemáticas Universidad Central de Venezuela (UCV)) que se llama "Mathematics versus Metamathematics in Ramsey theory of real numbers" (2005) el cual se encuentra en la biblioteca digital de este blog y se puede bajar, también el mismo profesor Di Prisco tiene un libro específicamente sobre combinatoria infinita titulado "Combinatoria: Teoría de Ramsey" (2006) que también esta en la biblioteca digital de este blog y se puede bajar:

CINCO EJEMPLOS CLÁSICOS:

Ejemplo 1: La prueba de Halpern y Lévy (1971 ) de que "EL TEOREMA DEL IDEAL PRIMO NO IMPLICA AL AXIOMA DE ELECCIÓN", o dicho de otra manera equivalente, de que "EL TEOREMA DEL ULTRAFILTRO NO IMPLICA AL AXIOMA DE ELECCIÓN", usa un resultado combinatorio: El TEOREMA DE HALPERN-LÄUCHLI (1966), el cual es una versión para árboles del TEOREMA DE RAMSEY. Vale la pena resaltar que la prueba de Halpern y Lévy también usa el método de forcing de Cohen, con automorfismos, porque dichos autores construyen el Modelo Básico de Cohen, modelo donde no vale el Axioma de elección (esto ya lo había probado Cohen en 1963-64), la idea es que ellos prueban que en tal modelo sí vale el Teorema del Ideal Primo utilizando el Teorema de Halpern-Läuchli.

(Halpern y Lévy. (1971) The Boolean prime ideal theorem does not imply the axiom of choice. Proc. Symp. in Pure Math., 13 AMS, 83-134.)

Ejemplo 2: La demostración de Cohen (1963-64) de que "LA NEGACIÓN DE LA HIPÓTESIS DEL CONTINUO ES CONSISTENTE CON ZFC" usa un resultado combinatorio: EL LEMA DELTA-SISTEMA o DELTA-LEMA (Shanin, 1946. Y Erdös-Rado, 1960). Vale la pena resaltar que la demostración de Cohen también usa del método de forcing (en este caso sin automorfismos) para construir un modelo (la extensión genérica M[G] del modelo base M, la cual es un modelo de ZFC) donde existen una cantidad de números reales igual o mayor que Alef_2, es decir, en M[G] no vale la Hipótesis del continuo, y la importancia del DELTA-LEMA en dicha prueba es crucial porque con dicho DELTA-LEMA es que se puede demostrar que el orden parcial particular (llamado "forcing de Cohen") con el cual se construye el modelo genérico (la extensión genérica) específico M[G] tiene la condición de cadena contable (c.c.c), y por lo tanto tal orden parcial "no colapsa cardinales", PRESERVA CARDINALES, en especial no colapsa al cardinal Alef_2, es conocido que puede pasar que un cardinal en un modelo base W sea destruído en la extensión genérica W[G], es decir, el puede dejar dejar de ser un cardinal en W[G], él sí sigue siendo un número ordinal pero deja de ser un número cardinal pues es "colapsado" como tal al agregarse en la extensión genérica W[G] una función biyectiva entre él y un ordinal menor, existen forcing que colapsan cardinales, por ejemplo el "Colapso de Lévy", por eso el DELTA-LEMA es fundamental en esta prueba de Cohen.

(Kunen, K. (2006) Set Theory. An Introduction to Independence Proofs. Elseivier, Amsterdam. Una versión digital de este libro se puede encontrar en la biblioteca digital de este blog, y se puede descargar.)

Nota: He escrito una versión propia de este teorema de Cohen siguiendo los textos "Set Theory" de Kunen y "Set Theory" de Jech. Está en unas notas que realicé en el 2015 llamada: "El Método de Forcing: Algunas Aplicaciones y una apróximación a sus fundamentos metamatemáticos", las cuales son una re-edición ampliada de mi tesis de maestría (2003). Tales notas se pueden encontrar y bajar de la web de "Saber UCV", ellas están en el siguiente enlace: http://saber.ucv.ve/handle/123456789/16262 . Resumen de las notas: "Es conocido que el método de forcing es una de las técnicas de construcción de modelos más importantes de la Teoría de conjuntos en la actualidad, siendo el mismo muy útil para investigar problemas de matemática y de fundamentos de la matemática. El objetivo del siguiente trabajo es estudiar tal método, describir algunas de sus aplicaciones y ofrecer una aproximación a sus fundamentos metamatemáticos. Se aspira que este texto sirva de apoyo para aprender dicho método".

Ejemplo 3: La demostración de Tennenbaum (1968), Jech (1967), Solovay-Tennenbaum (1971), Jensen (1968,1972) de que "LA HIPÓTESIS DE SUSLIN (HS) ES INDEPENDIENTE DE ZFC" usa dos principios combinatorios: El AXIOMA DE MARTIN (Martin, 1970) y el PRINCIPIO DIAMANTE (Jensen, 1972). También la prueba usa el método de forcing iterado (caso de Solovay-Tennenbaum con el Axioma de Martin), y el Universo constructible de Gödel (caso de Jensen con el Principio Diamante). Tennenbaum (1968) y Jech (1967) probaron una dirección de la independencia usando sólo la técnica de forcing. Vale la pena resaltar que para este resultado de independencia también juega un papel muy importante el uso del concepto de "Árbol", "Árboles finitos" y "Árboles infinitos", en especial "Árboles de Suslin" y "Árbol bien podado", conceptos de la combinatoria infinita. La demostración de la equivalencia, "Existe una linea de Suslin si y sólo si existe un árbol de Suslin", que permite tratar del Problema de Suslin en términos de árboles de Suslin fue realizada por Kurepa en 1935. Una linea (recta) de Suslin es un orden total (P,<) denso, no acotado, completo, con la condición de cadena contable, pero no separable. LA HS es la siguiente afirmación: NO EXISTEN LÍNEAS DE SUSLIN. Un árbol es un orden parcial (X,<) tal que para cada z que pertenece a X, el conjunto de sus predecesores según < está bien ordendo. Un arbol (T,<) es un árbol de Suslin si: (i) La altura de T es Alef_1, (ii) Cada rama de T es a lo sumo numerable y (iii) Cada anticadena de T es a lo sumo numerable. Un árbol (T,<) es bien podado si (i) y (ii): (i) T tiene un tallo y (ii) Para x en T el conjunto de los sucesores y de x (y > x) intersecta a cada uno de los niveles de T. Se cumple que si k es un cardinal regular y T es un k-árbol, entonces T tiene un k-subárbol T' que es bien podado. (Sea k un cardinal regular. T es un k-árbol si T es un árbol de altura k y cada uno de los niveles de T tiene cardinal menor que k).

("Set Theory" de Jech (2000) o "Set Theory" (2011) de Kunen. Una versión digital del libro de Jech se puede encontrar en la biblioteca digital de este blog, y se puede descargar.)

Ejemplo 4: La demostración de Ramsey (1929/30) de que "UN FRAGMENTO ESPECÍFICO DE LA LÓGICA DE PRIMER ORDEN CON PREDICADOS POLIÁDICOS + IDENTIDAD ES DECIDIBLE" usa un resultado combinatorio: EL TEOREMA DE RAMSEY (1929/30). Vale la pena resaltar que en el artículo original donde aparece esta prueba de Ramsey (citado más abajo) dicho autor resalta que el resultado combinatorio que va a demostrar (ahora llamado "TEOREMA DE RAMSEY") tiene valor en sí mismo con independencia de la aplicación que él va a realizar para probar el resultado de decibilidad de un fragmento específico de la Lógica de primer orden con identidad. Quizá se pueda decir que Ramsey intuía el enorme potencial de su resultado combinatorio.

(Ramsey. On a problem of formal logic. Proc. London Math. Soc. 30 (1929/30), 264-286)

Ejemplo 5: La prueba de Halpern (1964) de que "EL TEOREMA DEL IDEAL PRIMO NO IMPLICA AL AXIOMA DE ELECCIÓN", que se hace en la Teoría de conjuntos con átomos (ZFA), específicamente usando el "Modelo Ordenado de Mostowski" (un modelo de permutaciones) usa el Teorema de Ramsey (finito) para probar que el Teorema del Ideal Primo vale en dicho modelo.

(Thomas Jech. The Axiom Choice. North-Holland, 1973. Páginas: 97-100.)

miércoles, 31 de julio de 2013

Algunos métodos de construcción de modelos en Teoría de modelos o en Teoría de conjuntos de gran utilidad para la investigación de los fundamentos de las matemáticas o para probar teoremas matemáticos.





La imagen anterior alude a un tipo de modelo matemático: Una "estructura" (o "interpretación") para un lenguaje L, donde L puede ser finito o infinito (de cualquier cardinalidad Alef_alfa).



Hablando de “Teoría de Conjuntos” y “Teoría de Modelos” (Álgebra universal + Lógica = Teoría de Modelos) existen varios métodos de construcción de modelos que han contribuido con el desarrollo de la matemática y con el estudio de sus fundamentos. Tales métodos, en sí mismos, son interesantes. A continuación se mencionan algunos de ellos y se ofrece alguna referencia bibliográfica al respecto, la mayoría de dichas referencias se pueden conseguir (y bajar) en la biblioteca digital de este blog:

(1) El método de construcción de modelos a partir de constantes: Con el cual se demuestra el Teorema de Completitud para la Lógica de Primer Orden con lenguajes de cualquier cardinalidad. Una exposición del mismo puede encontrarse (entre otros) en el texto "Model Theoy" de Chang y Keisler (1992), el cual se encuentra en la bibliteca digital de este blog y se puede bajar.

(2) El método de construcción de modelos usando funciones de Skolem: Con el cual se prueba (entre otros) el Teorema de Löwenheim-Skolem-Tarski hacia bajo. Una exposición del mismo puede encontrarse (entre otros) en el texto "Teoría de Modelos" de María Manzano y "Model Theory" de Chang y Keysler.

Pequeña nota al respecto:

Dos aplicaciones en lógica de la cerradura de un conjunto bajo funciones (que se usa a menudo en matemáticas) son las siguientes:

(a) La prueba directa del Teorema de Löwenhein-Skolem-Tarski hacia bajo, usando funciones de Skolem. (Es conocido que usualmente se prueba este teorema como un corolario del Teorema de Completitud de Gödel).

Teorema de Löwenhein-Skolem-Tarski hacia bajo: Si una Teoría T tiene un modelo A' de cardinal kappa, entonces tiene modelos B' de cualquier cardinalidad beta, donde beta es menor que kappa y beta es mayor o igual que el cardinal del lenguaje de T.

Es conocido que esta prueba requiere del Axioma de elección para poder definir las funciones de Skolem a partir de las fórmulas existenciales del lenguaje de la teoría T. El método general para definir las funciones de Skolem es el siguiente:

Sea A' = (A, R_j, f_i, c_k) una estructura para un lenguaje L y sea “Existe x Q(x, z_1,z_2,....,z_n)” una fórmula existencial del lenguaje L que tiene n variables libres. Entonces se define la función de Skolem F correspondiente a dicha fórmula, usando el Axioma de elección, de la siguiente forma (F será una función n-aria):

F(a_1,a_2,...,a_n)= g(a_1,....,a_n) , si “Existe x Q(x, a_1,a_2,....,a_n)” es verdad en A', g es la función selectora correspondiente a dicha fórmula proporcionada por el Axioma de elección y g(a_1,....,a_n) es el elemento de A elegido por g para la n-tupla (a_1,...,a_n).

F(a_1,a_2,...,a_n)=b_0, si “Existe x Q(x, a_1,a_2,....,a_n)” es falsa en A' y b_0 es un elemento de A que se ha fijado con anterioridad y se usará también en cada una de las definiciones de las funciones de Skolem correspondientes a las otras fórmulas existenciales de L, en caso de ser necesario. La cantidad de funciones de Skolem definidas dependerá del cardinal del lenguaje L.

Después de definir las funciones de Skolem la idea de la demostración es considerar un subconjunto D del modelo (la estructura) inicial A' que tenga el cardinal deseado beta y se cierra a dicho conjunto D bajo las fuciones de Skolem en una cantidad numerable de pasos, así que el conjunto cerrado D* tendrá cardinal beta y la estructura D' que el mismo determina (de la cual D* es es su universo) será un submodelo elemental de la estructura inicial A', esta prueba (la de submodelo elemental) se realiza por inducción en el rango de las fórmulas.

Ver dos ejemplos rigurosos de dicha prueba en los textos de “Teoría de Modelos” de María Manzano y “Model Theory” de Chang y Keysler. El libro de Model Theory está en la biblioteca digital de este blog.

(b) La construcción del conjunto Df(A,n) que se necesita para la construcción (por inducción transfinita en los ordinales) del “Universo de los conjuntos constructibles de Gödel”, L:

El conjunto referido Df(A,n), definido simultánemanete para cualquier n, se define informalmente así: Df(A,n)= el conjunto de todas las relaciones n-árias sobre A definidas con una fórmula P(x_1,...,x_n) con n varibles variables y relativizada a A. La idea intuitiva para construir a Df(A,n) es construir primero el conjunto X de todas las relaciones n-árias sobre A definibles con la relación de pertenencia o con la relación de identidad, y luego este conjunto X de relaciones básicas se cierra (en una cantidad numerable de pasos) bajo las operaciones de complemento (correspodiente a la negación), de intersección (correpondiente a la conjunción) y de proyección (correspondiente al cuantificador existencial), la cerradura de X, llamésmola X*, es el conjunto buscado Df(A,n). Luego, con esta definición de Df(A,n), se define la operación D(A), para cualquier conjunto A, de la siguiente manera (intuitivamente D(A)= la colección de todos los subconjuntos de A que se pueden definir con una fórmula P(x,a_1,....,a_n) relativizada a A, con parámetros a_1,...,a_n en A):

D(A)= {X subconjunto de A : Existe un natural n y Existe un s que pertenece en A a la n y Existe una realación R en Df(A, n+1) tal que X={x : s unión {x} pertenece a R}}.

Finalmente se define a L por inducción transfinita en los ordinales así (intuitivamente):

L_0=el conjunto vacío.

L_(alfa+1)= D(L_alfa)

L_lamda = Unión L_beta, para todo beta menor que lamda y lamda un ordinal límite.

L = Unión L_gamma, para todo número ordinal gamma.

Fin de la difinición de L usando (i) a los conjuntos Df(A,n), los cuales se definieron usando cerradura bajo funciones, (ii) a la operación D(A), y (iii) a la inducción transfinita en los ordinales.

Ver esta construcción de L de manera rigurosa en el libro “Set Theory” de Kunen, y también una construcción distinta pero equivalente (tanto por los resultados como en el hecho de que usa cerradura bajo funciones) en el texto de “Set Theory” de Jech. Ambos libros están en la biblioteca digital este blog. Este método de los constructibles de Gödel se mencionará en el siguiente item.

(3) El método de construcción de modelos de los “constructibles de Gödel”: Con el cual se demuestra (entre otros) que el Axioma de Elección y la Hipótesis del continuo son consistentes con los axiomas estándar de la Teoría de Conjuntos (ZF). Una exposición rigurosa del mismo puede encontrarse (entre otros) en los textos "Set Theory" de kunen (2006) y "Set Theory" de Jech (2000). Una descripción intuitiva y resumida de dicho método se realizó en la sección (b) del item anterior.

(4) El método de construcción de modelos llamado “forcing de Cohen”: Con el cual se demuestra (entre otros) que la negación del Axioma de Elección es consistente con ZF y que la negación de la Hipótesis del continuo es consistente con ZFC. También con el mismo se pueden demostrar teoremas de ZFC usando resultados de "absoluticidad".

Una muy pequeña descripción del método en su versión de "foncing con ordenes parciales" (pues también está la versión equivalente de "forcing con modelos a valores booleanos", por ejemplo) es la siguiente:

Sea (M, pertenencia) un modelo transitivo y numerable de ZFC. Sea (P,<) un orden parcial en M y G un filtro P-genérico sobre M (donde G no pertenece a M). Entonces (M{G}, pertenencia), la extensión genérica de (M,pertenencia), es un modelo transitivo y numerable de ZFC que contiene los mismos ordinales que M, (M{G}, pertenencia) es el menor (según la relación de inclusión) modelo transitivo numerable de ZFC que contiene a “M unión {G}”.

Vale la pena destacar que la extensión genérica (M{G}, pertenencia) se puede construir intuitivamente a partir de la estructura de von Neumann (V, pertenencia) usando el Teorema de Lowenheim-Skolen-Tarski hacia bajo y el Teorema del Colapso transitivo de Mostowski, pero para probar rigurosamente (dentro de una teoría axiomática de conjuntos) que él tiene las propiedades deseadas es necesario las definiciones rigurosas de dicha extensión dentro del sistema, esto fué uno de los grandes aportes realizados por Cohen a la Teoría de conjuntos (1963-64), el método de forcing es una enorme belleza matemática y una enorme belleza en general.

Una exposición del método de forcing puede encontrarse (entre otros) en los textos "Set Theory" de kunen y "Set Theory" de Jech. En el primer texto mencionado se presenta el método con ordenes parciales y en el segundo con álgebras booleanas. He escrito unas notas en el 2015 llamadas: "El Método de Forcing: Algunas Aplicaciones y una apróximación a sus fundamentos metamatemáticos", las cuales son una re-edición ampliada de mi tesis de maestría (2003). Tales notas se pueden encontrar y bajar de la web de "Saber UCV", ellas están en el siguiente enlace: http://saber.ucv.ve/handle/123456789/16262 . Resumen de las notas: "Es conocido que el método de forcing es una de las técnicas de construcción de modelos más importantes de la Teoría de conjuntos en la actualidad, siendo el mismo muy útil para investigar problemas de matemática y de fundamentos de la matemática. El objetivo del siguiente trabajo es estudiar tal método, describir algunas de sus aplicaciones y ofrecer una aproximación a sus fundamentos metamatemáticos. Se aspira que este texto sirva de apoyo para aprender dicho método".

"Paul Cohen y la técnica del forcing" (1999): Un excelente artículo divulgativo escrito por el Profesor Joan Bagaria sobre el método de forcing (Departament de Lógica, História i Filosofía de la Ciéncia. Universitat de Barcelona-Institució Catalana de Recerca i Estudis Avacats (ICREA)),está en nuestra biblioteca digital y se puede bajar.

Nota: Se agregan dos videos de youtube con una conferencia introductoria sobre el método de forcing dictada por el profesor Ulises Ariet Ramos Garcia del Instituto de Matemáticas de la UNAM. 2015. Nombre de la charla: "CONSTRUCCIONES CON EL MÉTODO DE FORCING". En dicha charla se realiza una presentación intuitiva del método y se ofrece información sobre aplicaciones del mismo al álgebra, al análisis y a la topología. VER. Son dos partes: Parte 1 (30 min), Parte 2 (15 min). Anexo los dos enlaces de youtube:

https://www.youtube.com/watch?v=ZJ6QP3H9R0A , https://www.youtube.com/watch?v=TCeyCFB8yz4

(5) El método de construcción de modelos llamado “Ultraproductos”: Con el cual se puede hacer una prueba directa del Teorema de Compacidad para la Lógica de Primer Orden. Con Compacidad a su vez se pueden construir (por ejemplo) modelos "no estándar" para la aritmética en primer orden y para la teoría de los números reales en primer orden, por ejemplo se puede construir el "cuerpo ordenado y no arquimediano de los Hiper-Reales" del Análisis no estándar de Robinson. También se puede (con compacidad) probar el Teorema de Löwenheim-Skolem-Tarski hacia arriba que impide que existan teorías categóricas con modelos infinitos. Con Ultraproductos se puede también demostrar (entre otros) resultados sobre cardinales grandes en la Teoría de Conjuntos. Una exposición del mismo puede encontrarse (entre otros) en el texto "Model Theory" de Chang y Keisler. Vale la pena resaltar que los "Ultraproductos" se construyen a partir de "Ultrafiltros" y por lo tanto tal método requiere del Axioma de elección. He realizado un artículo donde presento de manera detallada el método de contrucción de modelos llamado "Ultraproductos" y también describo detalladamente una demostración del Teorema fundamental de los Ultraproductos (Teorema de Lós) que tal vez pueda ser útil, está en el siguiente enlace de la web y se puede bajar: http://biblo.una.edu.ve/ojs/index.php/UNAINV/article/view/1442 . Se llama así: "Una presentación de la demostración directa del teorema de compacidad de la lógica de primer orden que usa el método de ultraproductos". UNA INVESTIG@CIÓN, Vol. VIII, N 15 (2016). VER.

(6) Otros métodos de construcción de modelos importantes son: "Forcing producto", "Forcing iterado" (con el cual, por ejemplo, se culmina la prueba de la independencia de la Hipótesis de Suslin de ZFC), "Constructibilidad relativizada" (L(A) y L[A]), los modelos HOD(A) (la clase de todos los conjuntos hereditariamente definibles por ordinales sobre A) , los modelos H(alfa) (el conjunto de todos los conjuntos hereditariamente de cardinal menor que alfa, donde alfa es un cardinal infinito), etc. Una exposición de los mismos puede encontrarse (entre otros) en los textos "Set Theory" de Kunen, "Multiple Forcing" de Kunen (1986) y "Set Theory" de Jech.

(7) Modelos que se construyen con la Teoría de conjuntos con átomos (ZFA), "modelos con permutaciones". Como es conocido en tales modelos no vale el Axioma de fundamentación. Los primeros modelos donde no vale el Axioma de elección se construyeron con ZFA y son modelos con permutaciones. Una exposición de algunos de tales modelos ("El Modelo Básico de Fraenkel", "El Segundo Modelo de Fraenkel", "El Modelo Ordenado de Mostowski", etc.) puede encontrarse en los textos "The Axiom of Choice" de Jech (1973) y "Consequences of the Axiom of Choice" de Howard y Rubin (1998). El libro "The Axiom of Choice" de Jech se encuentra en la bibliteca digital de este blog y se puede bajar.

(8) Un resultado muy útil que se utiliza a menudo en la contrucción de modelos de la teoría de conjuntos es El Teorema del Colapso transitivo de Mostowski (1949), a veces se combina con el teorema de Löwenhein-Skolem-Tarski hacia abajo para obtener pertenecia-modelos transitivos los cuales son de gran utilidad pues existen muchos resultados demostrados para modelos transitivos que se le pueden aplicar, por ejemplo resultados de absolutez.

Teorema: Sea el par (M, R) donde M es una clase y R es una relacion binaria sobre M que es bien fundamentada y extensional. Entonces existe una clase transitiva N tal que la estructura (N, pertenencia) es isomorfa a (M, R).

Un formulación más rigurosa y una aprueba de dicho teorema puede encontrarse (entre otros) en "Set Theory" de Jech y "Set Theory" de Kunen.

(9) El Teorema de Compacidad, el Teorema de Lowenheim-Skolen-Tarski hacia arriba.

(10) Etc.