LÓGICA MATEMÁTICA, FUNDAMENTOS Y FILOSOFÍA DE LA MATEMÁTICA

¿ Cuál es el cardinal del continuo? ¿ Cuál es el cardinal del conjunto de los números reales?

¿ Cuál es el cardinal del continuo? ¿ Cuál es el cardinal del conjunto de los números reales?
¿ (En la actualidad) Estamos cerca de una solución del problema del cardinal del conjunto de los números reales ? ¿Estamos cerca de saber cuál es dicho cardinal o falta mucho todavía? Los intentos por determinar la cardinalidad del conjunto de los números reales (el cardinal del continuo) han contribuido sustancialmente con el desarrollo de la Teoría de Conjuntos. Hacia 1878 G. Cantor conjeturó que tal cardinal es el menor cardinal mayor que el cardinal de los números naturales (Alef_0), es decir, Alef_1. Esta hipótesis se denomina Hipótesis del continuo (HC) y Cantor no pudo demostrar la misma. Para David Hilbert la HC era tan importante que la colocó de primera en la lista de problemas presentada al Congreso Internacional de Matemáticas realizado en París en 1900; y uno de los resultados más destacados al respecto es la prueba de su independencia de los axiomas estándar de la Teoría de Conjuntos, la cual se debe a K. Gödel (1938) y a P. Cohen (1963-64), es decir, tales autores demostraron que si los axiomas estándar de la Teoría de Conjuntos son consistentes, entonces no se puede deducir de ellos la HC, ni la negación de la HC. Considerando esta independencia y además que (desde un punto de vista platonista) la HC es una proposición significativa la cual es verdadera o falsa, una de las investigaciones actuales más relevantes sobre el tema consiste en la búsqueda de nuevos axiomas que permitan decidir el cardinal del continuo. Vale la pena destacar que algunos de los candidatos a nuevos axiomas dicen que Cantor estaba equivocado, pues ellos implican que el cardinal del continuo es Alef_2, el menor cardinal mayor que Alef_1 (Gödel había intuido este resultado años antes). ¿ Qué ha pasado con el problema del cardinal del continuo después de Gödel (1938) y Cohen (1964) ? Intentos de responder esta pregunta pueden encontrarse en los artículos del Prof. José Alfredo Amor (1946-2011), "El Problema del continuo después de Cohen (1964-2004)", del Prof. Carlos Di Prisco , "Are we closer to a solution of the continuum problem", y del Prof. Joan Bagaria, "Natural axioms of set and the continuum problem" , que se encuentran en la biblioteca digital de este blog que aparecerá al hacer clic en la imagen. También se puede encontrar más información al respecto en dicha biblioteca, en las otras bibliotecas digitales referidas en este blog y en una entrada específica de este blog dedicada al tema (por favor leer esta entrada de primero).

lunes, 30 de octubre de 2017

Álgebras booleanas, órdenes parciales y el axioma de elección

 Un artículo  que he realizado   sobre la interesante relación  que existe entre las álgebras booleanas, los órdenes parciales y el axioma de elección  es el siguiente: "Álgebras booleanas, órdenes parciales y  axioma de elección".   "Divulgaciones Matemáticas", Vol. 18, N 1 (2017), pp. 34-54. Se puede encontrar (en PDF) y bajar  del siguiente enlace web  http://divmat.demat-fecluz.org/vol-18-no-1-2017

Resumen del artículo:

El objetivo de este artículo es presentar una demostración de un teorema clásico sobre álgebras booleanas y órdenes parciales de relevancia actual en teoría de conjuntos, como por ejemplo, para aplicaciones del método de construcción de modelos llamado "forcing"(con álgebras booleanas completas o con órdenes parciales). El teorema que se prueba es el siguiente: "Todo orden parcial se puede extender a una única álgebra booleana completa (salvo isomorfismo)". Donde extender significa "sumergir densamente". Tal demostración se realiza utilizando cortaduras de Dedekind siguiendo el texto "Set Theory" de Jech, y otras ideas propias del autor de este artículo. Adicionalmente, se formulan algunas versiones débiles del axioma de elección relacionadas con las álgebras booleanas, las cuales son también de gran importancia para la investigación en teoría de conjuntos y teoría de modelos, pues estas son poderosas técnicas de construcción de modelos, como por ejemplo, el teorema de compacidad (permite construir modelos no estándar como  el cuerpo ordenado y no arquimediano de los Hiper-Reales del Análisis no estándar de Robinson,  etc) y el teorema del ultrafiltro, que permite construir ultraproductos (pueden ser usados para investigar problemas de  cardinales grandes, etc). Se presentan algunas referencias de problemas abiertos sobre el tema.

miércoles, 13 de septiembre de 2017

La Propiedad de Interpolación de Craig

 Un artículo que he realizado sobre la interesante propiedad  de sistemas lógicos llamada "Propiedad de interpolación de Craig",  es el siguiente:  "Dos teoremas de interpolación".  "Divulgaciones Matemáticas", Vol. 17, N 2 (2016), pp. 15-42. Se puede encontrar  (en PDF) y bajar  del siguiente enlace web:  https://sites.google.com/a/demat-fecluz.org/revistadm-divulgaciones-matematicas/vol-17-no-2-2016 

Resumen del artículo "Dos teoremas de interpolación": En este artículo se presentan dos demostraciones del teorema de interpolación: Una para la lógica proposicional y otra para la lógica de primer orden. Ambas se realizan en el contexto de la teoría de modelos. El teorema de interpolación afirma que si  A y B son fórmulas, donde A no es una contradicción,  B no es  válida, y B es una consecuencia lógica de A, entonces existe una fórmula C que esta escrita en el lenguaje común al de A y de B, tal que C es una concecuencia lógica de A y B es una consecuencia lógica de C.  El teorema de interpolación fue demostrado por primera vez para la lógica de primer orden por William Craig en 1957, y desde entonces se ha investigado la posibilidad de generalizarlo o aplicarlo. Dicho teorema tiene generalizaciones o aplicaciones en teoría de la demostración, teoría de modelos abstracta, ciencias de la computación, lógica modal, lógica intuicionista, etc. Se presentan ejemplos de aplicaciones o generalizaciones de la propiedad de interpolación relacionados con lógicas infinitarias, cuantificadores generalizados, segundo orden, no clásicas, abstractas, etc. También se ofrecen referencias de problemas abiertos sobre interpolación en el contexto de la teoría de modelos abstracta. 

viernes, 4 de agosto de 2017

El Teorema de Indecibilidad de Church y el Programa de David Hilbert

Tres artículos que hemos realizado Ricardo Da Silva y mi persona sobre el Teorema de Indecibilidad de Church y el Programa original de David Hilbert son los siguientes:

(1) Artículo 1: "El Teorema de Indecibilidad de Church (1936): Formulación y Presentación de las ideas principales de su demostración". . Apuntes Filosóficos. Vol 26, N 50 (2017). Se puede encontrar y bajar en el siguiente enlace de la web "Saber UCV": http://saber.ucv.ve/ojs/index.php/rev_af/issue/view/1641/showToc

Resumen: "El Teorema de indecidibilidad de Church es uno de los resultados meta-teóricos de mediados de la tercera década del siglo pasado, que junto a otros teoremas limitativos como los de Gödel y Tarski, han generado todo un sinfín de reflexiones y análisis tanto en el marco de las ciencias formales, esto es, la matemática, la lógica y la computación teórica, como fuera de ellas, en especial la filosofía de la matemática, la filosofía de la lógica y la filosofía de la mente. Nos proponemos, como propósito general del presente artículo, formular el Teorema de indecidibilidad de Church y presentar las ideas principales de su demostración. Para llevar a cabo el primer objetivo necesitamos introducir y explicar las nociones de función recursiva y la numeración de Gödel, que permitirán enunciar de manera formal y rigurosa el Teorema de Church. Luego que enunciemos el Teorema de indecibilidad de Church de manera formal y rigurosa, pasaremos a presentar las ideas principales de la prueba del Teorema de indecidibilidad de Church para la Lógica de primer orden, en la cual se utiliza el sistema axiomático de Robinson para la aritmética y cuatro hechos sobre él mismo: (a) En el sistema de Robinson para la aritmética las funciones recursivas son representables, (b) El sistema de Robinson es indecidible, (c) El número de axiomas propios del sistema de Robinson es finito y (d) El cálculo lógico del sistema de Robinson es igual (formalmente) al cálculo de la lógica de primer orden."



(Nota relacionada con los tres artículos: Quisiera precisar que mi concepción filosófica con respecto  a la matemática es "platonista matemática".  He tratado  detalladamente   al platonismo matemático-en la medida de mis posibilidades-en mi trabajo de investigación  llamado "Algunos tópicos de Lógica matemática y los Fundamentos de la matemática" (30-10-2017). Dicho trabajo se puede encontrar y bajar en el siguiente enlace de la web de "Saber UCV":  http://saber.ucv.ve/handle/123456789/16943 . Un resumen del mismo es el siguiente: "En este trabajo  filosófico-matemático  se estudian cuatro tópicos de la Lógica matemática:  El método de construcción de modelos llamado Ultraproductos, la Propiedad de Interpolación de Craig, las Álgebras booleanas y los Órdenes parciales separativos. El objetivo principal del  mismo  es analizar  la importancia que tienen  dichos tópicos para el estudio de los fundamentos de la matemática, desde el punto de vista del platonismo matemático. Para cumplir con tal objetivo se trabajará  en el  ámbito  de la Matemática, de la Metamatemática y de la Filosofía de la matemática. El desarrollo de la investigación  arrojó como resultado que  tales tópicos son  muy importantes para el estudio de los fundamentos de la matemática, desde el punto de vista del platonismo matemático, y en el trabajo se explica detalladamente con abundantes ejemplos el  porqué (al final de cada sección  y al final del mismo).")



(2) Artículo 2: "Fragmentos decidibles e indecidibles de la lógica de primer orden". Apuntes Filosóficos. Vol 26, N 50 (2017). Se puede encontrar y bajar en el siguiente enlace de la web "Saber UCV": http://saber.ucv.ve/ojs/index.php/rev_af/issue/view/1641/showToc

Resumen: "El siguiente artículo tiene tres objetivos: (1) Presentar una actualización de una prueba de la decidibilidad de la Lógica de predicados monádicos en el contexto de la teoría de modelos contemporánea; (2) Mostrar ejemplos de fragmentos decidibles e indecidibles dentro de la Lógica de primer orden, ofreciendo una demostración propia, que usa una sugerencia de Nerode y Shore en su texto "Logic for Applications", del siguiente teorema: Son decidibles todas las fórmulas de la Lógica de primer orden tal que su forma normal prenexa quede de la siguiente manera: ∀x1,…,∀xn∃y1,…,∃ym φ(x1,…,xn,y1,…,ym); (3) Presentar un teorema que caracteriza la validez de la Lógica de Primer orden mediante la tautologicidad de la Lógica proposicional, dicho resultado es de interés, pues inmediatamente surge la duda de cómo conciliar tal caracterización con el Teorema de indecidibilidad de la Lógica de Primer orden de Alonzo Church (1936)".

Nota: La cláusula (2) del resumen anterior no aparece redactada en el artículo original como se está haciendo en esta entrada, sin embargo, será publicada de esta manera como "Fe de errata" muy pronto (Ricardo ya lo ha corregido en su web de "Academia.edu" agregando dicha fe de errata, falta sólo agregarla en la web de la revista "Apuntes filosóficos" con los editores de la misma), pues la redacción que aparece en la versión original no es la correcta, hubo un error involuntario. Esta aclaratoria también vale en el lugar de la introducción donde se habla sobre el tema. En la demostración del teorema si aparece conforme a la fe de errata. Cuando se lea el artículo por favor tener presente esta fe de errata.

(3) Artículo 3: "El Programa original de David Hilbert y el problema de la decibilidad". Episteme NS. Por aparecer.

Resumen: "En este artículo realizamos una reconstrucción del Programa original de Hilbert antes del surgimiento de los teoremas limitativos de la tercera adécada del siglo pasado. Para tal reconstrucción empezaremos por mostrar lo que Torretti llama los primeros titubeos formales de Hilbert, es decir, la defensa por el método axiomático como enfoque fundamentante. Seguidamente, mostraremos como estos titubeos formales se establecen como un verdadero programa de investigación lógico-matemático y como dentro de dicho programa la inquietud por la decibilidad de los problemas matemáticos y en específico la decibilidadd de la lógica de primer orden cobra peso. Luego pasamos a analizar como la inquietud por la decibilidad toma lugar dentro del pensamiento filosófico-matemático de Hilbert presentándose como uno de los grandes problemas a los cuales la metamatemática debe encontrar una solución, esto lo hacemos mostrando un contraste con autores, como John von Neumann y Roberto Torretti, quienes de alguna u otra manera no interpretan el problema de la decibilidad de la lógica de primer orden como un problema de peso dentro del programa original de Hilbert. Finalmente argumentamos que el resultado meta-teórico de Church puede entenderse como una refutación del optimismo intelectual que permea a todo el programa original de Hilbert".

martes, 4 de noviembre de 2014

Textos: SET THEORY, autor: K. Kunen, SET THEORY, autor: T. Jech, y MODEL THEORY, autores: C. Chang y H. Keisler. .

Texto: SET THEORY. Autor:Kenneth Kunen. College Publications. Nueva versión (2011) de este interesante libro de Teoría de Conjuntos. Se puede encontrar (y bajar) en el buscador http://en.bookfi.org/ o en la biblioteca digital de este blog.

Es conocido que otro libro de Teoría de Conjuntos complementario a este de Kunen es el de Thomas Jech, SET THEORY, Springer, 2002, una versión digital de este texto también puede conseguirse y bajarse en la biblioteca digital de este blog.

También es conocido que los dos libros anteriores presuponen conocimientos de Teoría de Modelos (además de Aritmética Transfinita ordinal y cardinal, y de Teoría axiomática de conjuntos, entre otros pre-requisitos), un libro clásico sobre Teoría de Modelos es MODEL THEORY de Chen Chung Chang y H. Jerome Keisler, Dover Books on Mathematics, 2012. Una versión de este texto puede encontrarse en la biblioteca digital de este blog.

A continuación se agrega una imagen de los libros mencionados de Kunen, Jech y Chang-Keisler:









viernes, 28 de marzo de 2014

INTERESANTES ARTÍCULOS SOBRE LA TEORÍA DE CONJUNTOS DE JOAN BAGARÍA, THOMAS JECH Y GREGORY MOORE.

(1) Artículo: "LA TEORÍA DE CONJUNTOS". Autor: Profesor Joan Bagaría. ICREA-Universidad de Barcelona.España. La Gaceta de la RSME, Vol.15 (2012), Núm. 2, Págs.1-20. ¿Cuáles son los principales retos de dicha disciplina en la actualidad? Una exposición realizada por el destacado conjuntista Profesor Joan Bagaria. Dicho artículo puede encontrarse y bajarse en la biblioteca digital de este blog.

(2) Otro de los tantos artículos interesantes sobre la Teoría de conjuntos es el que tiene por título "EL INFINITO", del gran conjuntista Profesor Thomas Jech. Dicho artículo fue publicado en español por LA GACETA DE LA RSME, Vol. 8.2 (2005), Págs. 369-377. Se puede encontrar y bajar en la biblioteca digital de este blog.

(3) Extraordinario artículo del Profesor Gregory Moore sobre la Lógica de primer orden, la teoría de conjuntos y los fundamentos de las matemáticas: "THE EMERGENCE OF FIRST-ORDER LOGIC". ¿Cómo se consolidó la lógica de primer orden como la "lógica base" de las matemáticas, a pesar de sus limitaciones expresivas? Una respuesta a esta interrogante puede encontrarse en dicho artículo que se encuentra en el siguiente enlace http://duport.com/files/77792424.pdf o en la biblioteca digital de este blog. Vale la pena destacar que el Profesor Gregory Moore es el autor del sobresaliente texto clásico sobre el Axioma de elección: "Zermelo's Axiom of Choice: Its Origins, Development, and Influence", Springer-Verlag, 1980.

martes, 22 de octubre de 2013

Texto: "¿CÓMO ENTENDER Y HACER DEMOSTRACIONES EN MATEMÁTICAS?". Autor: Daniel Solow.

(Agosto 2017)

Texto clásico: ¿CÓMO ENTENDER Y HACER DEMOSTRACIONES EN MATEMÁTICAS? Autor: Daniel Solow. Limusa. México. 1993.

Una versión digital del mismo puede encontrarse en la biblioteca digital de este blog o en el siguiente enlace:

http://home.comcast.net/~729FSC/SolowDanielComoEntenderYHacerDemostraciones.pdf





Otro texto de Daniel Solow, relacionado con el anterior sobre demostraciones matemáticas, donde se da un paso más adelante a los fines de describir seis métodos de gran importancia en el "quehacer matemático cotidiano" (incluyendo la demostración) es el siguiente: "THE KEYS TO ADVANCED MATHEMATICS: RECURRENT THEMES IN ABSTRACT REASONING" (1995). A continuación se presenta una imagen del mismo:



sábado, 24 de agosto de 2013

Sobre el gran aporte de la Combinatoria Infinita a las investigaciones sobre los fundamentos de las matemáticas (Metamatemática): Por ejemplo el Teorema de Ramsey, el Delta Lema, el Principio Diamante y el Axioma de Martin. Y viceversa: Sobre el gran aporte de la Metamatemática a la Combinatoria infinita.


(Diciembre 2017)



Frank Plupton Ramsey (1903–1930). Matemático, Filósofo, Economista, etc. Pionero en la investigación de la Combinatoria infinita y sus aplicaciones en el estudio de los fundamentos de las matemáticas, a dicho autor se debe la demostración del conocido TEOREMA DE RAMSEY (1929/30), una generalización del famoso PRINCIPIO DEL CASILLERO (Principio del casillero: "Si se parte el conjunto de los números naturales N en un número finito de partes, necesariamente al menos una de las partes es infinita". Otra versión: PRINCIPIO DEL PALOMAR: "Si n palomas se distribuyen en m palomares, y si n > m, entonces al menos habrá un palomar con más de una paloma").  Una formulación y demostración del Teorema de Ramsey puede encontrarse (entre otros) en el texto "Teoría de Conjuntos" de Carlos Di Prisco, dicho libro se encuentra en la biblioteca digital de este blog y se puede bajar. Por ejemplo, un caso particular del Teorema de Ramsey es el siguiente Teorema:

Teorema: Si se parte en dos clases el conjuntos de subconjuntos de dos elementos de un conjunto infinito A, siempre existe un subconjunto infinito H incluido en A cuyos subconjuntos de dos elementos están todos en la misma clase. (El conjunto H se llama homogéneo)

El teorema anterior se puede re-expresar usando la siguiente notación:  Dado un conjuntos A, se denota [A]^n  la colección de subconjuntos de A  que tienen exactamente n elementos. Entonces el teorema anterior se puede escribir  así:

Teorema: Dado un conjunto infinito A, y dada una función F: [A]^2 en {0,1}, existe un conjunto infinito H incluido en A y existe un i que pertenece a {0,1} tales que F''[H]^2={i}.

El Teorema de Ramsey se puede enunciar de la siguiente manera:

Teorema de RamseyPara todo  par  de números naturales n y k, y para toda partición  F: [N]^n en {1,2,...,k}  existe un conjunto H incluido   N, H  de cardinal  Alef_0,  y existe un i que pertenece a {1,2,...,k} tal que F''[H]^n={i}.

Es decir, el Teorema de Ramsey afirma que:  Para toda partición  en k partes del conjunto de subconjuntos de n elementos del conjunto de números naturales N, existe un subconjunto H de N, H de cardinalidad Alef_0, cuyos subconjuntos de n elementos están todos en la misma parte.  

Una consecuencia muy útil de Teorema de Ramsey es el Teorema de Ramsey finito, el cual afirma lo siguiente:

Teorema de Ramsey finito: Dados números enteros positivos k, r y m existe un entero positivo n tal que: Para toda partición F: [n]^r en {1,2,...,k} existe un conjunto H encluido en n, H de cardinal m, y existe un i que pertenece a {1,2,...,k} tal que F''[H]^r={i}.

Una demostración del  Teorema de Ramsey finito a partir del Teorema de Ramsey puede encontrarse (entre otros) en el texto antes mencionado de Teoría de conjuntos de Carlos Di Prisco.

Vale la pena resaltar que para facilitar la investigación de generalizaciones (o versiones finitas) del Teorema de Ramsey es común encontrar  el uso de la siguiente  "notación de flecha" en la bibliografía:


donde alfa, beta y gama son cardinales. Por ejemplo para escribir el   Teorema de Ramsey con esta notación se sustituye alfa y beta por Alef_0 y gama por k. Y para escribir el Teorema de Ramsey finito con esta notación se sustituye alfa por n, beta por m, gama por k y n por r.

Es conocido (Sierpinski, 1933) que para el caso alfa=beta=Alef_1  y gama=n=2, el teorema no se cumple, es falso. Una prueba de ello puede encontrarse  en el texto antes mencionado de Teoría de conjuntos de Carlos Di Prisco. Hay otras maneras de generalizar el  Teorema de Ramsey, distintas a la que se está mencionando, que se pueden conseguir en la bibliografía, ver (entre otros) el texto "Set Theory"  de Jech (2002) el cual se puede encontrar  (y bajar) en la biblioteca digital de este  blog. O también ver el siguiente texto de Erdös, P., Hajnal, A., A. Mate y R. Rado: "Combinatorial Set Theory: Partition relations for Cardinals". North Holland. 1984.






Stevo Todorčević. Uno de los destacados matemáticos actuales que investiga Combinatoria infinita, Teoría de conjuntos, Topología, Análisis, etc.





Carlos Di Prisco. Otro destacado matemático actual que investiga Combinatoria infinita y Teoría de conjuntos.

La COMBINATORIA INFINITA  juega un papel muy importante en las investigaciones sobre los fundamentos de la matemática (en particular en las investigaciones llamadas "Metamatemáticas") ya que  se han usado resultados de combinatoria infinita para resolver problemas de independencia o consistencia relativa en la Teoría de conjuntos (en el área de Álgebra, Análisis, Topología, etc) y problemas de decibilidad de fragmentos de la Lógica de Primer Orden, entre otras aplicaciones. Y a su vez las  investigaciones Metamatemáticas han sido fuente para el descubrimiento de sobresalientes principios de combinatoria infinita  como por ejemplo el Teorema de Ramsey.

A continuación se mencionan cinco ejemplos clásicos sobre la relación entre la Combinatoria infinita (Matemática) y el estudio de los fundamentos de la matemática (Metamatemática)  entre los cuales se encuentra el famoso Problema de Suslin sobre la caracterización de la Recta real (1920) , es decir, ¿ Es posible sustituir la propiedad de "separable" por otra propiedad más débil llamada "condición de cadena contable" en la conocida caracterización de la Recta real como un "orden total, denso, no acotado, completo y separable"?. Se ofrecerá alguna referencia bibliografía sobre cada uno de los cinco ejemplos, alguna de las cuales se encuentra en la biblioteca digital de este blog, en estas referencias se pueden encontrar definiciones y demostraciones rigurosas de los conceptos y resultados que se mencionarán. Antes de escribir los cinco ejemplos vale la pena resaltar que existe un interesante artículo divulgativo sobre la relación entre la Combinatoria infinita y la Metamatemática cuyo autor es el Profesor Carlos Di Prisco (Instituto Venezolano de Investigaciones Científicas (IVIC)- Escuela de Matemáticas Universidad Central de Venezuela (UCV)) que se llama "Mathematics versus Metamathematics in Ramsey theory of real numbers" (2005) el cual se encuentra en la biblioteca digital de este blog y se puede bajar, también el mismo profesor Di Prisco tiene un libro específicamente sobre combinatoria infinita titulado "Combinatoria: Teoría de Ramsey" (2006) que también esta en la biblioteca digital de este blog y se puede bajar:

CINCO EJEMPLOS CLÁSICOS:

Ejemplo 1: La prueba de Halpern y Lévy (1971 ) de que "EL TEOREMA DEL IDEAL PRIMO NO IMPLICA AL AXIOMA DE ELECCIÓN", o dicho de otra manera equivalente, de que "EL TEOREMA DEL ULTRAFILTRO NO IMPLICA AL AXIOMA DE ELECCIÓN", usa un resultado combinatorio: El TEOREMA DE HALPERN-LÄUCHLI (1966), el cual es una versión para árboles del TEOREMA DE RAMSEY. Vale la pena resaltar que la prueba de Halpern y Lévy también usa el método de forcing de Cohen, con automorfismos, porque dichos autores construyen el Modelo Básico de Cohen, modelo donde no vale el Axioma de elección (esto ya lo había probado Cohen en 1963-64), la idea es que ellos prueban que en tal modelo sí vale el Teorema del Ideal Primo utilizando el Teorema de Halpern-Läuchli.

(Halpern y Lévy. (1971) The Boolean prime ideal theorem does not imply the axiom of choice. Proc. Symp. in Pure Math., 13 AMS, 83-134.)

Ejemplo 2: La demostración de Cohen (1963-64) de que "LA NEGACIÓN DE LA HIPÓTESIS DEL CONTINUO ES CONSISTENTE CON ZFC" usa un resultado combinatorio: EL LEMA DELTA-SISTEMA o DELTA-LEMA (Shanin, 1946. Y Erdös-Rado, 1960).

DELTA-LEMA: Sea W  una colección no numerable de conjuntos finitos. Entonces existe un subconjunto no numerable Z de W tal que Z es un Delta-sistema (es decir, existe un conjunto finito S tal que   S= X intersectado con Y, para cualesquiera X, Y distintos de Z).

Una prueba del Delta-Lema puede encontrarse (entre otros) en el texto Set Theory de Jech (2002).

Vale la pena resaltar que la demostración de Cohen de que "LA NEGACIÓN DE LA HIPÓTESIS DEL CONTINUO ES CONSISTENTE CON ZFC"  también usa el método de forcing (en este caso sin automorfismos) para construir un modelo (la extensión genérica M[G] del modelo base M, la cual es un modelo de ZFC) donde existen una cantidad de números reales igual o mayor que Alef_2, es decir, en M[G] no vale la Hipótesis del continuo, y la importancia del DELTA-LEMA en dicha prueba es crucial porque con dicho DELTA-LEMA es que se puede demostrar que el orden parcial particular (llamado "forcing de Cohen") con el cual se construye el modelo genérico (la extensión genérica) específico M[G] tiene la condición de cadena contable (c.c.c), y por lo tanto tal orden parcial "no colapsa cardinales", PRESERVA CARDINALES, en especial no colapsa al cardinal Alef_2, es conocido que puede pasar que un cardinal en un modelo base W sea destruído en la extensión genérica W[G], es decir, el puede dejar dejar de ser un cardinal en W[G], él sí sigue siendo un número ordinal pero deja de ser un número cardinal pues es "colapsado" como tal al agregarse en la extensión genérica W[G] una función biyectiva entre él y un ordinal menor, existen forcing que colapsan cardinales, por ejemplo el "Colapso de Lévy", por eso el DELTA-LEMA es fundamental en esta prueba de Cohen.

(Kunen, K. (2006) Set Theory. An Introduction to Independence Proofs. Elseivier, Amsterdam. Una versión digital de este libro se puede encontrar en la biblioteca digital de este blog, y se puede descargar.)

Nota: He escrito una versión propia de este teorema de Cohen siguiendo los textos "Set Theory" de Kunen y "Set Theory" de Jech. Está en unas notas que realicé en el 2015 llamada: "El Método de Forcing: Algunas Aplicaciones y una apróximación a sus fundamentos metamatemáticos", las cuales son una re-edición ampliada de mi tesis de maestría (2003). Tales notas se pueden encontrar y bajar de la web de "Saber UCV", ellas están en el siguiente enlace: http://saber.ucv.ve/handle/123456789/16262 . Resumen de las notas: "Es conocido que el método de forcing es una de las técnicas de construcción de modelos más importantes de la Teoría de conjuntos en la actualidad, siendo el mismo muy útil para investigar problemas de matemática y de fundamentos de la matemática. El objetivo del siguiente trabajo es estudiar tal método, describir algunas de sus aplicaciones y ofrecer una aproximación a sus fundamentos metamatemáticos. Se aspira que este texto sirva de apoyo para aprender dicho método".

Ejemplo 3: La demostración de Tennenbaum (1968), Jech (1967), Solovay-Tennenbaum (1971), Jensen (1968,1972) de que "LA HIPÓTESIS DE SUSLIN (HS) ES INDEPENDIENTE DE ZFC" usa dos principios combinatorios: El AXIOMA DE MARTIN (Martin, 1970) y el PRINCIPIO DIAMANTE (Jensen, 1972).

AXIOMA DE MARTIN (AM): Para todo cardinal k < 2^Alef_0 se cumple AM(k).

Donde AM(k) es la siguiente sentencia: Sea (P, <) un orden parcial con la condición de cadena contable (c.c.c), y  sea D una familia de subconjuntos densos de (P, <) de cardinal menor o igual que k. Entonces existe un filtro G de (P, <) tal que la intersección de G con cada miembro de la familia D es distinta del conjunto  vacío.

Teorema: El Axioma de Martin implica  a la Hipótesis de Suslin (Más adelante se define a la HS).

PRINCIPIO DIAMANTE:  Existe una Alef_1 secuencia de conjuntos  < A_alfa : alfa < Alef_1 >,  donde  para cada alfa  A_alfa está incluido en alfa,  que cumple la siguiente propiedad:   

Para cada A incluido en Alef_1 ({alfa < Alef_1: A intersectado con alfa= A_alfa} es estacionario).

Teorema: El Principio Diamante implica a la negación de la Hipótesis de Suslin.


También la prueba de que "LA HIPÓTESIS DE SUSLIN (HS) ES INDEPENDIENTE DE ZFC" usa el método de forcing iterado (caso de Solovay-Tennenbaum con el Axioma de Martin. Ellos construyeron un modelo donde vale el Axioma de Martin), y el Universo constructible de Gödel (caso de Jensen con el Principio Diamante. Se prueba que el Principio Diamante vale en L ¿de qué forma?  Se prueba el Teorema: Si V=L, entonces vale el Principio Diamante. Pero también se puede probar directamente que el Principio Diamante vale en L, ver texto "Set Theory" de Kunen, pág 179). Tennenbaum (1968) y Jech (1967) probaron una dirección de la independencia usando sólo la técnica de forcing. Vale la pena resaltar que para este resultado de independencia también juega un papel muy importante el uso del concepto de "Árbol",  en especial "Árboles de Suslin" y "Árbol bien podado", conceptos de la combinatoria infinita. La demostración de la equivalencia, "Existe una linea de Suslin si y sólo si existe un árbol de Suslin", que permite tratar del Problema de Suslin en términos de árboles de Suslin fue realizada por Kurepa en 1935. Una linea (recta) de Suslin es un orden total (P, <) denso, no acotado, completo, con la condición de cadena contable, pero no separable. LA HS es la siguiente afirmación: NO EXISTEN LÍNEAS DE SUSLIN. Un árbol es un orden parcial (X, <) tal que para cada z que pertenece a X, el conjunto de sus predecesores según < está bien ordendo. Un arbol (T, <) es un árbol de Suslin si: (i) La altura de T es Alef_1, (ii) Cada rama de T es a lo sumo numerable y (iii) Cada anticadena de T es a lo sumo numerable. Un árbol (T, <) es bien podado si (i) y (ii): (i) T tiene un tallo y (ii) Para x en T el conjunto de los sucesores y de x (y > x) intersecta a cada uno de los niveles de T. Se cumple que si k es un cardinal regular y T es un k-árbol, entonces T tiene un k-subárbol T' que es bien podado. (Sea k un cardinal regular. T es un k-árbol si T es un árbol de altura k y cada uno de los niveles de T tiene cardinal menor que k).

("Set Theory" de Jech (2002) o "Set Theory" (2006) de Kunen.)

Ejemplo 4: La demostración de Ramsey (1929/30) de que "UN FRAGMENTO ESPECÍFICO DE LA LÓGICA DE PRIMER ORDEN CON PREDICADOS POLIÁDICOS + IDENTIDAD ES DECIDIBLE" usa un resultado combinatorio:  EL TEOREMA DE RAMSEY (1929/30), específicamente usa el  TEOREMA DE RAMSEY FINITO, el cual demuestra a partir del Teorema de Ramsey. Vale la pena resaltar que en el artículo original donde aparece esta prueba de Ramsey (citado más abajo) dicho autor resalta que el resultado combinatorio que va a demostrar (ahora llamado "TEOREMA DE RAMSEY") tiene valor en sí mismo con independencia de la aplicación que él va a realizar para probar el resultado de decibilidad de un fragmento específico de la Lógica de primer orden con identidad. Quizá se pueda decir que Ramsey intuía el enorme potencial de su (s) resultado (s) combinatorio (s).

(Ramsey. On a problem of formal logic. Proc. London Math. Soc. 30 (1929/30), 264-286)

Ejemplo 5: La prueba de Halpern (1964) de que "EL TEOREMA DEL IDEAL PRIMO NO IMPLICA AL AXIOMA DE ELECCIÓN", que se hace en la Teoría de conjuntos con átomos (ZFA), específicamente usando el "Modelo Ordenado de Mostowski" (un modelo de permutaciones donde no vale el Axioma de elección) utiliza el Teorema de Ramsey finito para probar que el Teorema del Ideal Primo vale en dicho modelo.

(Thomas Jech. The Axiom Choice. North-Holland, 1973. Páginas: 97-100.)