¿ Cuál es el cardinal del continuo? ¿ Cuál es el cardinal del conjunto de los números reales?

¿ Cuál es el cardinal del continuo? ¿ Cuál es el cardinal del conjunto de los números reales?
¿ (En la actualidad) Estamos cerca de una solución del problema del cardinal del conjunto de los números reales ? ¿Estamos cerca de saber cuál es dicho cardinal o falta mucho todavía o nunca lo sabremos? Los intentos por determinar la cardinalidad del conjunto de los números reales (el cardinal del continuo) han contribuido sustancialmente con el desarrollo de la Teoría de Conjuntos. Hacia 1878 G. Cantor conjeturó que tal cardinal es el menor cardinal mayor que el cardinal de los números naturales (Alef_0), es decir, Alef_1. Esta hipótesis se denomina Hipótesis del continuo (HC) y Cantor no pudo demostrar la misma. Para David Hilbert la HC era tan importante que la colocó de primera en la lista de problemas presentada al Congreso Internacional de Matemáticas realizado en París en 1900; y uno de los resultados más destacados al respecto es la prueba de su independencia de los axiomas estándar de la Teoría de Conjuntos, la cual se debe a K. Gödel (1938) y a P. Cohen (1963-64), es decir, tales autores demostraron que si los axiomas estándar de la Teoría de Conjuntos son consistentes, entonces no se puede deducir de ellos la HC, ni la negación de la HC. Considerando esta independencia y además que (desde un punto de vista platonista) la HC es una proposición significativa la cual es verdadera o falsa, una de las investigaciones actuales más relevantes sobre el tema consiste en la búsqueda de nuevos axiomas que permitan decidir el cardinal del continuo. Vale la pena destacar que algunos de los candidatos a nuevos axiomas (propuestos recientemente) dicen que Cantor estaba equivocado, pues ellos implican que el cardinal del continuo es Alef_2, el menor cardinal mayor que Alef_1 (Gödel había intuido este resultado años antes). ¿ Qué ha pasado con el problema del cardinal del continuo después de Gödel (1938) y Cohen (1964) ? Intentos de responder esta pregunta pueden encontrarse en los artículos del Prof. José Alfredo Amor (1946-2011), del Prof. Carlos Di Prisco y del Prof. Joan Bagaria que se encuentran en la biblioteca digital de este blog que aparecerá al hacer clic en la imagen. También se puede encontrar más información al respecto en dicha biblioteca, en las otras bibliotecas digitales referidas en este blog y en una entrada específica de este blog dedicada al tema.

martes, 4 de noviembre de 2014

Textos: SET THEORY, autor: K. Kunen, SET THEORY, autor: T. Jech, y MODEL THEORY, autores: C. Chang y H. Keisler. .

(Última actualización de esta entrada 25-03-2016)

Texto: SET THEORY. Autor:Kenneth Kunen. College Publications. Nueva versión (2011) de este extraordinario libro de Teoría de Conjuntos avanzada. Se puede encontrar (y bajar) en el buscador http://en.bookfi.org/ o en la biblioteca digital de este blog.

Es conocido que otro libro de Teoría de Conjuntos avanzada complementario a este de Kunen es el de Thomas Jech, SET THEORY, Springer, 2002, una versión digital de este hermoso texto también puede conseguirse y bajarse en la biblioteca digital de este blog.

También es conocido que los dos libros anteriores presuponen conocimientos de Teoría de Modelos (además de Aritmética Transfinta ordinal y cardinal, y de Teoría axiomática de conjuntos, entre otros pre-requisitos), un libro clásico sobre Teoría de Modelos es MODEL THEORY de Chen Chung Chang y H. Jerome Keisler, Dover Books on Mathematics, 2012. Una versión de este maravilloso texto puede encontrarse en la biblioteca digital de este blog.

A continuación se agrega una imagen de los libros mencionados de Kunen, Jech y Chang-Keisler, además se agregan dos imágenes que aluden a las pruebas de independencia del Axioma de elección, de la Hipótesis del continuo y de la Hipótesis de Suslin de los axiomas estándar de la teoría de conjuntos las cuales se deben a Gödel (1938-40), Cohen (1963-64), Kurepa (1935), Tennenbaum (1968), Jech (1967), Martin (1970), Solovay-Tennenbaum (1971), Jensen (1968,1972), respectivamente. Los conceptos, principios combinatorios y métodos de construcción de modelos de la teoría de conjuntos utlizados para realizar las mismas ("ZF", "Axioma de elección", "Relativización", "Modelo transitivo", "Absoluticidad", "Hipótesis del continuo", "Línea (Recta) de Suslin", "Árboles de Suslin", "Axioma de constructibilidad", "Principio diamante", "Axioma de Martin", "Definibilidad", "los constructibles de Gödel", "HOD(A)", "forcing", "forcing producto","forcing iterado", etc) son expuestos rigurosamente en dichos textos ("Set Theory" de Kunen y "Set Theory" de Jech), algunos de ellos en dos presentaciones distintas pero equivalentes, ambas muy lindas (por ejemplo los constructibles y el forcing):











(Última actualización de esta entrada 25-03-2016.)

viernes, 28 de marzo de 2014

INTERESANTES ARTÍCULOS SOBRE LA TEORÍA DE CONJUNTOS DE JOAN BAGARÍA, THOMAS JECH Y GREGORY MOORE.

(1) Artículo: "LA TEORÍA DE CONJUNTOS". Autor: Profesor Joan Bagaría. ICREA-Universidad de Barcelona.España. La Gaceta de la RSME, Vol.15 (2012), Núm. 2, Págs.1-20. ¿Cuáles son los principales retos de dicha disciplina en la actualidad? Una exposición realizada por el destacado conjuntista Profesor Joan Bagaria. Dicho artículo puede encontrarse y bajarse en la biblioteca digital de este blog.

(2) Otro de los tantos artículos interesantes sobre la Teoría de conjuntos es el que tiene por título "EL INFINITO", del gran conjuntista Profesor Thomas Jech. Dicho artículo fue publicado en español por LA GACETA DE LA RSME, Vol. 8.2 (2005), Págs. 369-377. Se puede encontrar y bajar en la biblioteca digital de este blog.

(3) Extraordinario artículo del Profesor Gregory Moore sobre la Lógica de primer orden, la teoría de conjuntos y los fundamentos de las matemáticas: "THE EMERGENCE OF FIRST-ORDER LOGIC". ¿Cómo se consolidó la lógica de primer orden como la lógica base de las matemáticas, a pesar de sus limitaciones expresivas? Una respuesta a esta interrogante puede encontrarse en dicho artículo que se encuentra en el siguiente enlace http://duport.com/files/77792424.pdf o en la biblioteca digital de este blog. Vale la pena destacar que el Profesor Gregory Moore es el autor del sobresaliente texto clásico sobre el Axioma de elección: "Zermelo's Axiom of Choice: Its Origins, Development, and Influence", Springer-Verlag, 1980.

martes, 22 de octubre de 2013

Texto: "¿CÓMO ENTENDER Y HACER DEMOSTRACIONES EN MATEMÁTICAS?". Autor: Daniel Solow.

Texto clásico: ¿CÓMO ENTENDER Y HACER DEMOSTRACIONES EN MATEMÁTICAS? Autor: Daniel Solow. Limusa. México. 1993.

Una versión digital del mismo puede encontrarse en la biblioteca digital de este blog o en el siguiente enlace:

http://home.comcast.net/~729FSC/SolowDanielComoEntenderYHacerDemostraciones.pdf



sábado, 24 de agosto de 2013

Un breve comentario sobre el gran aporte de la Combinatoria Infinita a las investigaciones sobre los fundamentos de las matemáticas (por ejemplo con el Problema de Suslin). Autor: Franklin Galindo.

(Última actualización de esta entrada 15-05-2016)



Frank Plupton Ramsey (1903–1930). Matemático, Filósofo, etc. Pionero en la investigación de la Combinatoria infinita y sus aplicaciones en el estudio de los fundamentos de las matemáticas, a dicho autor se debe la demostración del conocido TEOREMA DE RAMSEY (1929/30), una generalización del famoso PRINCIPIO DEL CASILLERO (Principio del casillero: "Si se parte el conjunto de los números naturales N en un número finito de partes, necesariamente al menos una de las partes es infinita". Otra versión: PRINCIPIO DEL PALOMAR: "Si n palomas se distribuyen en m palomares, y si n > m, entonces al menos habrá un palomar con más de una paloma").





Stevo Todorčević. Uno de los destacados matemáticos actuales que investiga Combinatoria infinita, Teoría de conjuntos, Topología, Análisis, etc. (Existen otros destacados investigadores actuales sobre el tema).





Carlos Di Prisco. Otro destacado matemático actual que investiga Combinatoria infinita y Teoría de conjuntos. (Existen otros destacados investigadores actuales sobre el tema).

Es conocido que la COMBINATORIA INFINITA juega un papel muy importante en las investigaciones sobre los fundamentos de la matemáticas (en particular en las investigaciones llamadas "Metamatemáticas"), por ejemplo se han usado resultados de combinatoria infinita para resolver problemas de independencia o consistencia realtiva en la Teoría de conjuntos (en el área de Álgebra, Análisis, Topología, etc) y problemas de decibilidad de fragmentos de la Lógica de Primer Orden, entre otras aplicaciones. A continuación se mencionan cinco ejemplos clásicos entre los cuales se encuentra el famoso Problema de Suslin sobre la caracterización de la Recta real (1920) , es decir, ¿ Es posible sustituir la propiedad de "separable" por otra propiedad más débil llamada "condición de cadena contable" en la conocida caracterización de la Recta real como un "orden total, denso, no acotado, completo y separable"?. Se ofrecerá alguna referencia bibliografía sobre cada uno de los cinco ejemplos, alguna de las cuales se encuentra en la biblioteca digital de este blog, en estas referencias se pueden encontrar definiciones y demostraciones rigurosas de los conceptos y resultados que se mencionarán. Antes de escribir los cinco ejemplos vale la pena resaltar que existe un interesante artículo divulgativo sobre la relación entre la Combinatoria infinita y la Metamatemática cuyo autor es el Profesor Carlos Di Prisco (Instituto Venezolano de Investigaciones Científicas (IVIC)- Escuela de Matemáticas Universidad Central de Venezuela (UCV)) que se llama "Mathematics versus Metamathematics in Ramsey theory of real numbers" (2005) el cual se encuentra en la biblioteca digital de este blog y se puede bajar, también el mismo profesor Di Prisco tiene un libro específicamente sobre combinatoria infinita titulado "Combinatoria: Teoría de Ramsey" (2006) que también esta en la biblioteca digital de este blog y se puede bajar:

CINCO EJEMPLOS CLÁSICOS:

Ejemplo 1: La prueba de Halpern y Lévy (1971 ) de que "EL TEOREMA DEL IDEAL PRIMO NO IMPLICA AL AXIOMA DE ELECCIÓN", o dicho de otra manera equivalente, de que "EL TEOREMA DEL ULTRAFILTRO NO IMPLICA AL AXIOMA DE ELECCIÓN", usa un resultado combinatorio: El TEOREMA DE HALPERN-LÄUCHLI (1966), el cual es una versión para árboles del TEOREMA DE RAMSEY. Vale la pena resaltar que la prueba de Halpern y Lévy también usa el método de forcing de Cohen, con automorfismos, porque dichos autores construyen el Modelo Básico de Cohen, modelo donde no vale el Axioma de elección (esto ya lo había probado Cohen en 1963-64), la idea es que ellos prueban que en tal modelo sí vale el Teorema del Ideal Primo utilizando el Teorema de Halpern-Läuchli.

(Halpern y Lévy. (1971) The Boolean prime ideal theorem does not imply the axiom of choice. Proc. Symp. in Pure Math., 13 AMS, 83-134.)

Ejemplo 2: La demostración de Cohen (1963-64) de que "LA NEGACIÓN DE LA HIPÓTESIS DEL CONTINUO ES CONSISTENTE CON ZFC" usa un resultado combinatorio: EL LEMA DELTA-SISTEMA o DELTA-LEMA (Shanin, 1946. Y Erdös-Rado, 1960). Vale la pena resaltar que la demostración de Cohen también usa del método de forcing (en este caso sin automorfismos) para construir un modelo (la extensión genérica M[G] del modelo base M, la cual es un modelo de ZFC) donde existen una cantidad de números reales igual o mayor que Alef_2, es decir, en M[G] no vale la Hipótesis del continuo, y la importancia del DELTA-LEMA en dicha prueba es crucial porque con dicho DELTA-LEMA es que se puede demostrar que el orden parcial particular (llamado "forcing de Cohen") con el cual se construye el modelo genérico (la extensión genérica) específico M[G] tiene la condición de cadena contable (c.c.c), y por lo tanto tal orden parcial "no colapsa cardinales", PRESERVA CARDINALES, en especial no colapsa al cardinal Alef_2, es conocido que puede pasar que un cardinal en un modelo base W sea destruído en la extensión genérica W[G], es decir, el puede dejar dejar de ser un cardinal en W[G], él sí sigue siendo un número ordinal pero deja de ser un número cardinal pues es "colapsado" como tal al agregarse en la extensión genérica W[G] una función biyectiva entre él y un ordinal menor, existen forcing que colapsan cardinales, por ejemplo el "Colapso de Lévy", por eso el DELTA-LEMA es fundamental en esta prueba de Cohen.

(Kunen, K. (2006) Set Theory. An Introduction to Independence Proofs. Elseivier, Amsterdam. Una versión digital de este libro se puede encontrar en la biblioteca digital de este blog, y se puede descargar.)

Ejemplo 3: La demostración de Tennenbaum (1968), Jech (1967), Solovay-Tennenbaum (1971), Jensen (1968,1972) de que "LA HIPÓTESIS DE SUSLIN ES INDEPENDIENTE DE ZFC" usa dos principios combinatorios: El AXIOMA DE MARTIN (Martin, 1970) y el PRINCIPIO DIAMANTE (Jensen, 1972). También la prueba usa el método de forcing iterado (caso de Solovay-Tennenbaum con el Axioma de Martin), y el Universo constructible de Gödel (caso de Jensen con el Principio Diamante). Tennenbaum (1968) y Jech (1967) probaron una dirección de la independencia usando sólo la técnica de forcing. Vale la pena resaltar que para este resultado de independencia también juega un papel muy importante el uso del concepto de "Árbol", "Árboles finitos" y "Árboles infinitos", en especial "Árboles de Suslin" y "Árbol bien podado", conceptos de la combinatoria infinita. La demostración de la equivalencia, "Existe una linea de Suslin si y sólo si existe un árbol de Suslin", que permite tratar del Problema de Suslin en términos de árboles de Suslin fue realizada por Kurepa en 1935. Una linea de Suslin es un orden total (P,<) denso, no acotado, completo, con la condición de cadena contable, pero no separable. Un árbol es un orden parcial (X,<) tal que para cada z que pertenece a X, el conjunto de sus predecesores según < está bien ordendo. Un arbol (T,<) es un árbol de Suslin si: (i) La altura de T es Alef_1, (ii) Cada rama de T es a lo sumo numerable y (iii) Cada anticadena de T es a lo sumo numerable. Un árbol (T,<) es bien podado si (i) y (ii): (i) T tiene un tallo y (ii) Para x en T el conjunto de los sucesores y de x (y > x) intersecta a cada uno de los niveles de T. Se cumple que si k es un cardinal regular y T es un k-árbol, entonces T tiene un k-subárbol T' que es bien podado. (Sea k un cardinal regular. T es un k-árbol si T es un árbol de altura k y cada uno de los niveles de T tiene cardinal menor que k).

("Set Theory" de Jech (2000) o "Set Theory" de Kunen. Una versión digital del libro de Jech se puede encontrar en la biblioteca digital de este blog, y se puede descargar.)

Ejemplo 4: La demostración de Ramsey (1929/30) de que "UN FRAGMENTO ESPECÍFICO DE LA LÓGICA DE PRIMER ORDEN CON PREDICADOS POLIÁDICOS + IDENTIDAD ES DECIDIBLE" usa un resultado combinatorio: EL TEOREMA DE RAMSEY (1929/30). Vale la pena resaltar que en el artículo original donde aparece esta prueba de Ramsey (citado más abajo) dicho autor resalta que el resultado combinatorio que va a demostrar (ahora llamado "TEOREMA DE RAMSEY") tiene valor en sí mismo con independencia de la aplicación que él va a realizar para probar el resultado de decibilidad de un fragmento específico de la Lógica de primer orden con identidad. Quizá se pueda decir que Ramsey intuía el enorme potencial de su resultado combinatorio.

(Ramsey. On a problem of formal logic. Proc. London Math. Soc. 30 (1929/30), 264-286)

Ejemplo 5: La prueba de Halpern (1964) de que "EL TEOREMA DEL IDEAL PRIMO NO IMPLICA AL AXIOMA DE ELECCIÓN", que se hace en la Teoría de conjuntos con átomos (ZFA), específicamente usando el "Modelo Ordenado de Mostowski" (un modelo de permutaciones) usa el Teorema de Ramsey (finito) para probar que el Teorema del Ideal Primo vale en dicho modelo.

(Thomas Jech. The Axiom Choice. North-Holland, 1973. Páginas: 97-100.)



(Última actualización de esta entrada 15-05-2016.)

miércoles, 31 de julio de 2013

Un breve comentario sobre algunos métodos de construcción de modelos en Teoría de modelos y Teoría de conjuntos de gran utilidad para la investigación de los fundamentos de las matemáticas y para probar teoremas matemáticos. Autor: Franklin Galindo.

(Última actualización de esta entrada 15-05-2016)

Hablando de “Teoría de Conjuntos” y “Teoría de Modelos” existen varios métodos de construcción de modelos que han contribuido con el desarrollo de la matemática y con el estudio de sus fundamentos. Tales métodos, en sí mismos, son muy hermosos. A continuación se mencionan algunos de ellos y se ofrece alguna referencia bibliográfica al respecto, la mayoría de dichas las referencias se pueden conseguir (y bajar) en la biblioteca digital de este blog:

(1) El método de construcción de modelos a partir de constantes: Con el cual se demuestra el Teorema de Completitud para la Lógica de Primer Orden con lenguajes de cualquier cardinalidad. Una exposición del mismo puede encontrarse (entre otros) en el texto "Model Theoy" de Chang y Keisler (1992), el cual se encuentra en la bibliteca digital de este blog y se puede bajar.

(2) El método de construcción de modelos usando funciones de Skolem: Con el cual se prueba (entre otros) el Teorema de Löwenheim-Skolem-Tarski hacia bajo. Una exposición del mismo puede encontrarse (entre otros) en el texto "Teoría de Modelos" de María Manzano y "Model Theory" de Chang y Keysler.

Pequeña nota al respecto:

Dos aplicaciones en lógica de la cerradura de un conjunto bajo funciones (que se usa a menudo en matemáticas) son las siguientes:

(a) La prueba directa del Teorema de Löwenhein-Skolem-Tarski hacia bajo, usando funciones de Skolem. (Es conocido que usualmente se prueba este teorema como un corolario del Teorema de Completitud de Gödel).

Teorema de Löwenhein-Skolem-Tarski hacia bajo: Si una Teoría T tiene un modelo A' de cardinal kappa, entonces tiene modelos B' de cualquier cardinalidad beta, donde beta es menor que kappa y beta es mayor o igual que el cardinal del lenguaje de T.

Es conocido que esta prueba requiere del Axioma de elección para poder definir las funciones de Skolem a partir de las fórmulas existenciales del lenguaje de la teoría T. El método general para definir las funciones de Skolem es el siguiente:

Sea A' = (A, R_j, f_i, c_k) una estructura para un lenguaje L y sea “Existe x Q(x, z_1,z_2,....,z_n)” una fórmula existencial del lenguaje L que tiene n variables libres. Entonces se define la función de Skolem F correspondiente a dicha fórmula, usando el Axioma de elección, de la siguiente forma (F será una función n-aria):

F(a_1,a_2,...,a_n)= g(a_1,....,a_n) , si “Existe x Q(x, a_1,a_2,....,a_n)” es verdad en A', g es la función selectora correspondiente a dicha fórmula proporcionada por el Axioma de elección y g(a_1,....,a_n) es el elemento de A elegido por g para la n-tupla (a_1,...,a_n).

F(a_1,a_2,...,a_n)=b_0, si “Existe x Q(x, a_1,a_2,....,a_n)” es falsa en A' y b_0 es un elemento de A que se ha fijado con anterioridad y se usará también en cada una de las definiciones de las funciones de Skolem correspondientes a las otras fórmulas existenciales de L, en caso de ser necesario. La cantidad de funciones de Skolem definidas dependerá del cardinal del lenguaje L.

Después de definir las funciones de Skolem la idea de la demostración es considerar un subconjunto D del modelo (la estructura) inicial A' que tenga el cardinal deseado beta y se cierra a dicho conjunto D bajo las fuciones de Skolem en una cantidad numerable de pasos, así que el conjunto cerrado D* tendrá cardinal beta y la estructura D' que el mismo determina (de la cual D* es es su universo) será un submodelo elemental de la estructura inicial A', esta prueba (la de submodelo elemental) se realiza por inducción en el rango de las fórmulas.

Ver dos ejemplos rigurosos de dicha prueba en los textos de “Teoría de Modelos” de María Manzano y “Model Theory” de Chang y Keysler. El libro de Model Theory está en la biblioteca digital de este blog.

(b) La construcción del conjunto Df(A,n) que se necesita para la construcción (por inducción transfinita en los ordinales) del “Universo de los conjuntos constructibles de Gödel”, L:

El conjunto referido Df(A,n), definido simultánemanete para cualquier n, se define informalmente así: Df(A,n)= el conjunto de todas las relaciones n-árias sobre A definidas con una fórmula P(x_1,...,x_n) con n varibles variables y relativizada a A. La idea intuitiva para construir a Df(A,n) es construir primero el conjunto X de todas las relaciones n-árias sobre A definibles con la relación de pertenencia o con la relación de identidad, y luego este conjunto X de relaciones básicas se cierra (en una cantidad numerable de pasos) bajo las operaciones de complemento (correspodiente a la negación), de intersección (correpondiente a la conjunción) y de proyección (correspondiente al cuantificador existencial), la cerradura de X, llamésmola X*, es el conjunto buscado Df(A,n). Luego, con esta definición de Df(A,n), se define la operación D(A), para cualquier conjunto A, de la siguiente manera (intuitivamente D(A)= la colección de todos los subconjuntos de A que se pueden definir con una fórmula P(x,a_1,....,a_n) relativizada a A, con parámetros a_1,...,a_n en A):

D(A)= {X subconjunto de A : Existe un natural n y Existe un s que pertenece en A a la n y Existe una realación R en Df(A, n+1) tal que X={x : s unión {x} pertenece a R}}.

Finalmente se define a L por inducción transfinita en los ordinales así (intuitivamente):

L_0=el conjunto vacío.

L_(alfa+1)= D(L_alfa)

L_lamda = Unión L_beta, para todo beta menor que lamda y lamda un ordinal límite.

L = Unión L_gamma, para todo número ordinal gamma.

Fin de la difinición de L usando (i) a los conjuntos Df(A,n), los cuales se definieron usando cerradura bajo funciones, (ii) a la operación D(A), y (iii) a la inducción transfinita en los ordinales.

Ver esta construcción de L de manera rigurosa en el libro “Set Theory” de Kunen, y también una construcción distinta pero equivalente (tanto por los resultados como en el hecho de que usa cerradura bajo funciones) en el texto de “Set Theory” de Jech. Ambos libros están en la biblioteca digital este blog. Este método de los constructibles de Gödel se mencionará en el siguiente item.

(3) El método de construcción de modelos de los “constructibles de Gödel”: Con el cual se demuestra (entre otros) que el Axioma de Elección y la Hipótesis del continuo son consistentes con los axiomas estándar de la Teoría de Conjuntos (ZF). Una exposición rigurosa del mismo puede encontrarse (entre otros) en los textos "Set Theory" de kunen (2006) y "Set Theory" de Jech (2000). Una descripción intuitiva y resumida de dicho método se realizó en la sección (b) del item anterior.

(4) El método de construcción de modelos llamado “forcing de Cohen”: Con el cual se demuestra (entre otros) que la negación del Axioma de Elección es consistente con ZF y que la negación de la Hipótesis del continuo es consistente con ZFC. También con el mismo se pueden demostrar teoremas de ZFC usando resultados de "absoluticidad".

Una muy pequeña descripción del método puede ser la siguiente:

Sea (M, pertenencia) un modelo transitivo y numerable de ZFC. Sea (P,<) un orden parcial en M y G un filtro P-genérico sobre M (donde G no pertenece a M). Entonces (M{G}, pertenencia), la extensión genérica de (M,pertenencia), es un modelo transitivo y numerable de ZFC que contiene los mismos ordinales que M, (M{G}, pertenencia) es el menor (según la relación de inclusión) modelo transitivo numerable de ZFC que contiene a “M unión {G}”.

Vale la pena destacar que la extensión genérica (M{G}, pertenencia) se puede construir intuitivamente a partir de la estructura de von Neumann (V, pertenencia) usando el Teorema de Lowenheim-Skolen-Tarski hacia bajo y el Teorema del Colapso transitivo de Mostowski, pero para probar rigurosamente (dentro de una teoría axiomática de conjuntos) que él tiene las propiedades deseadas es necesario las definiciones rigurosas de dicha extensión dentro del sistema, esto fué uno de los grandes aportes realizados por Cohen a la Teoría de conjuntos (1963-64), el método de forcing es una enorme belleza matemática y una enorme belleza en general.

Una exposición del método de forcing puede encontrarse (entre otros) en los textos "Set Theory" de kunen y "Set Theory" de Jech. En el primer texto mencionado se presenta el método con ordenes parciales y en el segundo con álgebras booleanas.

"Paul Cohen y la técnica del forcing" (1999): Un excelente artículo divulgativo escrito por el Profesor Joan Bagaria sobre el método de forcing (Departament de Lógica, História i Filosofía de la Ciéncia. Universitat de Barcelona-Institució Catalana de Recerca i Estudis Avacats (ICREA)),está en nuestra biblioteca digital y se puede bajar.

(5) El método de construcción de modelos llamado “Ultraproductos”: Con el cual se puede hacer una prueba directa del Teorema de Compacidad para la Lógica de Primer Orden (con Compacidad a su vez se pueden construir (por ejemplo) modelos "no estándar" para la aritmética y también probar el Teorema de Löwenheim-Skolem-Tarski hacia arriba que impide que existan teorías categóricas con modelos infinitos), y (con Ultraproductos) se puede demostrar (entre otros) resultados sobre cardinales inaccesibles (cardinales medibles) en la Teoría de Conjuntos. Una exposición del mismo puede encontrarse (entre otros) en el texto "Model Theory" de Chang y Keisler. Vale la pena resaltar que los "Ultraproductos" se construyen a partir de "Ultrafiltros" y por lo tanto tal método requiere del Axioma de elección.

(6) Otros métodos de construcción de modelos importantes son: "Forcing producto", "Forcing iterado" (con el cual, por ejemplo, se culmina la prueba de la independencia de la Hipótesis de Suslin de ZFC), "Constructibilidad relativizada" (L(A) y L[A]), los modelos HOD(A) (la clase de todos los conjuntos hereditariamente definibles por ordinales sobre A) ,etc. Una exposición de los mismos puede encontrarse (entre otros) en los textos "Set Theory" de Kunen, "Multiple Forcing" de Kunen (1986) y "Set Theory" de Jech.

(7) Modelos que se construyen con la Teoría de conjuntos con átomos (ZFA), "modelos con permutaciones". Como es conocido en tales modelos no vale el Axioma de fundamentación. Los primeros modelos donde no vale el Axioma de elección se construyeron con ZFA y son modelos con permutaciones. Una exposición de algunos de tales modelos ("El Modelo Básico de Fraenkel", "El Segundo Modelo de Fraenkel", "El Modelo Ordenado de Mostowski", etc.) puede encontrarse en los textos "The Axiom of Choice" de Jech (1973) y "Consequences of the Axiom of Choice" de Howard y Rubin (1998). El libro "The Axiom of Choice" de Jech se encuentra en la bibliteca digital de este blog y se puede bajar.

(8) Un resultado muy útil que se utiliza a menudo en la contrucción de modelos de la teoría de conjuntos es El Teorema del Colapso transitivo de Mostowski (1949), a veces se combina con el teorema de Löwenhein-Skolem-Tarski hacia abajo para optener pertenecia-modelos transitivos los cuales son de gran utilidad pues existen muchos resultados demostrados para modelos transitivos que se le pueden aplicar, por ejemplo resultados de absolutez.

Teorema: Sea el par (M, R) donde M es una clase y R es una relacion binaria sobre M que es bien fundamentada y extensional. Entonces existe una clase transitiva N tal que la estructura (N, pertenencia) es isomorfa a (M, R).

Un formulación más rigurosa y una aprueba de dicho teorema puede encontrarse (entre otros) en "Set Theory" de Jech y "Set Theory" de Kunen.

(9) El Teorema de Compacidad, el Teorema de Lowenheim-Skolen-Tarski hacia arriba.

(10) Etc.

(Última actualización de esta entrada 15-05-2016.)

sábado, 13 de julio de 2013

UN BREVE COMENTARIO SOBRE FORMA NORMAL PRENEXA, FORMA NORMAL DE SKOLEM, VALIDEZ, TAUTOLOGÍA, EL TEOREMA DE INDECIBILIDAD DE CHURCH (1936) y COMPUTABILIDAD. Autor: Franklin Galindo.

(Última actualización de esta entrada 04-04-2017)



--------------------------------THORALF AALBERT SKOLEM (1887–1963)-------------



----------------------------------------ALONZO CHURCH (1903-1995)-------------

Un resultado clásico de LÓGICA MATEMÁTICA es el Teorema que relaciona la VALIDEZ de la Lógica de Primer Orden con la TAUTOLOGICIDAD de la Lógica proposicional en el sentido de que permite caracterizar la "validez" en la Lógica de Predicados Poliádicos usando "tautologicidad" en la Lógica Proposicional. Un enunciado de dicho teorema puede leerse en la imagen (escaneada) que se anexa al final de este párrafo, y una prueba del mismo puede hacerse (hay otras pruebas más clásicas, por ejemplo tal resultado se puede obtener como un colorario de Teorema de completitud original de Gödel, la cual usa forma normal de Skolem, ver texto de Church "Introduction to mathematical logic" de 1956) usando resultados sobre FORMA NORMAL PRENEXA, FORMA NORMAL DE SKOLEM y EL TEOREMA DE HERBRAND (1930), así lo demuestran los Profesores Anil Nerode y Richard Shore en su texto LOGIC FOR APPLICATIONS, Springer-Verlag, 1993, libro que se puede encontrar y bajar en la biblioteca digital de este blog.



¿Y el resultado mencionado arriba no contradice al Teorema de indecibilidad de Alonzo Church ("La Lógica de primer Orden es indecidible", 1936), ya que la lógica proposicional es decidible?: La respuesta es que NO, porque a los n términos mencionados no hay cómo elegirlos de manera efectiva, es decir, se sabe que existen pero no hay un procedimiento mecánico y efectivo que permita determinarlos.

En el siguiente enlace se puede leer (y bajar) un interesante artículo del Profesor Jesús Mosterín sobre el problema de la decisión (un resumen general de su estado actual), en el mismo se presentan varios problemas abiertos sobre fragmentos decidibles o indecidibles de la Lógica de Primer Orden, dicho artículo también se puede encontrar y bajar en la biblioteca digital de este blog, se llama "El Problema de la decisión en la lógica de predicados" (Convivium, Núm. 39, 1973):

http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&ved=0CDUQFjAB&url=http%3A%2F%2Fwww.raco.cat%2Findex.php%2FConvivium%2Farticle%2Fdownload%2F76430%2F98646&ei=Jh4YUsrNGIi92gXO0YHYDQ&usg=AFQjCNExXuJfr4QclWzcHD8zHf_DY0UlTQ&sig2=4mhHkOkEgGSi0gfjI1RWlg&bvm=bv.51156542,d.b2I&cad=rja"

Otras dos conocidas aplicaciones importantes del procedimiento efectivo de Forma Normal de Skolem son las siguientes: (a) Como se dijo anteriormente en la prueba original del Teorema de Completitud de Gödel para la lógica de primer orden (1930) se usó este procedimeto (Ver libro de Church antes mencionado), y (b) En el "Cálculo de Resolución" se usa este procedimiento, tal cálculo es muy importante en PROLOG (Programación con Lógica), es decir, en el campo de la Inteligencia Artificial, ver texto LOGIC FOR APPLICATIONS anteriormente mencionado y el texto "Lógica para principiantes" de María Manzano y Antonia Huertas, el cual está en la biblioteca digital de este blog y se puede bajar. Aunque la versión que está actualmente en la biblioteca digital no es la más actualizada del dicho libro "Lógica para principiantes" y ella no tiene el Cálculo por Resolución, la más actualizada es la que tiene Cálculo por resolución, tal vez se pueda conseguir por la web esta versión, la que está en la biblioteca digital actualmente es sólo de María Manzano, ella tiene una exposición sistemática del Cálculo por Tablas (árboles) semánticas, el cual también es de utilidad en computabilidad y para trabajar manualmente lógica elemental, por ejemplo para decidir la validez o no validez de razonamientos formalizables en primer orden hasta predicados monádicos. Los fundamentos matemáticos del método de Cálculo lógico de Tablas (árboles) semánticas pueden encontrarse en el texto mencionado anteriormente, LOGIC FOR APPLICATIONS, también en dicho texto se extiende tal método (árboles semánticos) a la Lógica Modal y a la lógica intuicionista y se demuestra matemáticamente que todo funciona bien en ambos sistemas lógicos(las estructuras de Kripke juegan un papel fundamental allí para definir la semántica en ambos sistemas lógicos y probar el teorema de completitud del Cálculo referido). Vale la pena resaltar que un Teorema importante para fundamentar matemáticamente el Cálculo por Resolución es el TEOREMA DE HERBRAND (1930), también el "ALGORITMO DE UNIFICACIÓN" es fundamental en tal método de cálculo (y en Tablas-árboles-semáticos también). Por ejemplo los procedimientos efectivamente computables de "Forma normal prenexa, "Forma normal de Skolem", "Forma normal conjuntiva" y "Unificación" permiten pasar todo el lenguaje de la lógica de primer orden a "lenguaje clausular", y así poder aplicar la "Regla de Resolución", única regla del Cálculo por Resolución. Ver texto referido anteriormente "LOGIC FOR APPLICATIONS".

LOGIC FOR APPPLICATIONS. Autores: Anil Nerode, Richard A. Shore. Springer. 1997.



En la bilioteca digital de este blog se puede encontrar y bajar una versión digital de dicho texto.

(Última actualización de esta entrada 04-04-2017)

sábado, 1 de junio de 2013

Consequences of the axiom of choice. Howard y Rubin.

CONSEQUENCES OF THE AXIOM OF CHOICE. Autores: P. Howard y J. Rubin. American Mathematical Soc., 1998.



Metiendo el nombre del texto con sus dos autores en el buscador Google se puede conseguir una versión digital del mismo, sólo para lectura. Y en el buscador http://en.bookfi.org/ se puede encontrar y bajar una versión digital de otro libro de J. Rubin relacionado con este que se llama " Equivalents of the Axiom of Choice II".