Los Teoremas de Incompletitud de Gödel (1931): Algunas de las principales ideas utilizadas en su demostración.

(14-06-2019)

-----------------------------------KURT GÖDEL. 1906-1978.----------------------

Es conocida la gran importancia clásica y contemporánea que tienen los Teoremas de Incompletitud de Gödel (1931) en Lógica matemática (Teoría de conjuntos, Teoría de modelos, Teoría de la demostración y  computabilidad), Filosofía de las matemáticas, etc. Los teoremas de incompletitud de Gödel son dos: El "Primer teorema de incompletitud" y el "Segundo teorema de incompletitud". Algunas entradas de este blog tratan (implícita o explícitamente) sobre la relevancia de tales teoremas. En esta entrada se realiza una formulación informal de dichos teoremas y se mencionan algunas de las principales ideas matemáticas que utilizó Gödel para hacer la demostración de los mismos. Además se ofrece una bibliografía para estudiar intuitiva y rigurosamente tales ideas, dicha bibliografía se puede encontrar (mayoritariamente) en la biblioteca digital de este blog. Dos corolarios muy importantes de los teoremas de incompletitud de Gödel (que también están en la bibliografía referida) son el "Teorema de indecibilidad de Church" (1936) y el "Teorema de Indefinibilidad de Tarski" (1936), ambos corolarios evidencian - junto con los teoremas de incompletitud de Gödel - los límites del método axiomático, y detrás de estos cuatro resultados mencionados está presente un manejo sofísticado (usando funciones recursivas) de la idea de la "autorreferencia", idea clave del descomunal desarrollo de la lógica matemática en el siglo XX. Al final del escrito se formulan los Axiomas de Peano y se colocan dos ejemplos de proposiciones aritméticas (concretas) que son verdaderas y que no se pueden demostrar de la Aritmética de Peano, las cuales se descubrieron años después (1977 y 1982) de que Gödel probara sus teoremas (1931) construyendo una proposición abstracta indecidible, dichas proposiciones aritméticas concretas son: (i) una modificación  del Teorema de Ramsey finito, y (ii) El Teorema de Goodstien (sobre sucesiones de Goodstien). También, al final del escrito, se coloca una nota que conecta los teoremas de incompletitud de Gödel con la axiomática para teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC) y los grandes cardinales.

FORMULACIÓN (INFORMAL) DE LOS TEOREMAS DE INCOMPLETITUD DE GÖDEL:

Sea S un sistema axiomático recursivo y suficientemente fuerte como para deducir de él la Aritmética de Peano. Entonces: 

(1) Primer Teorema: Si S es consistente, entonces S es incompleto, es decir, S tiene proposiciones indecidibles, es decir, existe al menos una proposición A tal A y "no A" no son teoremas de S. 

(2) Segundo Teorema: Si S es consistente, entonces la fórmula "S es consistente" no es un teorema de S.

ALGUNAS DE LAS PRINCIPALES IDEAS MATEMÁTICAS UTILIZADAS EN LA DEMOSTRACIÓN DE LOS TEOREMAS DE INCOMPLETITUD DE GÖDEL SON LAS SIGUIENTES:

(a) LA NUMERACIÓN DE GÖDEL : A cada símbolo primitivo de S, término de S, fórmula de S, sucesión finita de formulas de S, etc, se le asigna de una manera efectiva un único (y distinto) número natural m ( su número de Gödel, su código), de una manera tal que dado un número natural n cualquiera se puede determinar de una manera efectiva cuál es su pre-imagen en el sistema S, es decir, se puede determinar efectivamente a que entidad del lenguaje de S (término, fórmula, sucesión finita de fórmulas, etc) corresponde o si no corresponde a ninguna. En este procedimiento efectivo es fundamental usar el hecho de que todo número natural mayor que uno se puede expresar de una manera única como un producto de potencias de números primos.

Definición: (Ver definiciones rigurosas en los textos referidos más abajo en esta entrada)

Sea B una fórmula cualquiera del lenguaje de la aritmética en primer orden. El número de Gödel de B se define mediante el siguiente esquema  general:

Número de Gödel (B) =  1.^er primo ^carácter × 2º primo ^carácter × 3.^er primo ^carácter etc.

Donde la expresión "carácter" se refiere a cada símbolo de B, de izquierda a derecha. 

Ejemplo:  Número de Gödel  de la fórmula z Q (z).

"Si el cuantificador universal tiene número de Gödel 2, la variable z tiene número de Gödel 16, el símbolo de predicados Q tiene número de Gödel 12, el paréntesis izquierdo tiene número de Gödel 6 y el paréntesis derecho tiene número de Gödel 7, entonces el número de Gödel de la fórmula  z Q (z) es el el siguiente: 2² × 3¹⁶ × 5¹² × 7⁶ × 11¹⁶ × 13⁷, porque {2, 3, 5, 7, 11,13,...} es la serie de primos, y 2, 16, 12, 6, 16, 7 son los códigos de los caracteres. Este es un número bastante grande, pero esta perfectamente determinado: 14259844433335185664666562849653536301757812500. "

(b) LA REPRESENTACIÓN Y LA EXPRESABILIDAD : Se usa en la demostración de Gödel ideas anáĺogas a lo que se hace en matemáticas en (por ejemplo) geometría y álgebra, es usual representar rectas en el plano por su ecuación y viceversa, y se resuelven problemas usando la perspectiva que más convenga.

(c) LAS FUNCIONES Y RELACIONES RECURSIVAS : Se define "función recursiva" a los fines de modelar matemáticamente la noción de "procedimiento efectivo", luego con la definición de "función recursiva" se define "relación recursiva". Un resultado fundamental que  demuestra Gödel es que sólo son representables en S las funciones y relaciones en los números naturales que son recursivas, y este resultado es clave para la demostración de los teoremas de incompletitud.

Una "función recursiva" se define en dos etapas como sigue (Ver definición rigurosa en la bibliografía que se menciona más abajo en esta entrada):

(1) Las siguientes son "funciones iniciales":

(1.1) La función  constantemente 0, Z(x) = 0, para toda x.
(1.2) La función sucesor, N(x) = x+1, para toda x.
(1.3) Las funciones proyección, U_i(x_1,...,x_i,...,x_n) = x_i

(2) Las siguientes reglas para obtener funciones a partir de las funciones dadas:

(2.1) Sustitución (composición). Ver definición en la bibliografía  que se refiere más abajo.
(2.2) Recursión. Ver definición en la bibliografía  que se refiere más abajo.
(2.3) Operador minimización. Ver definición en la bibliografía  que se refiere más abajo.

Una función f es "recursiva primitiva" si sólo si se puede obtener a partir de las funciones iniciales aplicando un número finito de veces las reglas (2.1) y (2.2).
Una función f es  "recursiva"  si sólo si se puede obtener a partir de las funciones iniciales aplicando un número finito de veces las reglas (2.1), (2.2) y (2.3).

Dos ejemplos de función recursiva es la suma y el producto sobre los naturales, la suma se define así:

x+0 = x
x+ (y+1) = N(x+y)

o más rigurosamente así:

f(x,0) = U_1(x)
f(x, y+1) = N(f(x,y))


(d) LA ARITMÉTIZACIÓN DE LA METAMATEMÁTICA DEL SISTEMA AXIOMÁTICO S : Afirmaciones metamatemáticas sobre S ("A es un a axioma de S", "B es un teorema en S", "S es consistente", etc) se re-escriben como relaciones sobre los naturales usando la numeración de Gödel, y tales relaciones en los naturales serán recursivas y por lo tanto serán representables en S, es decir, S podrá referirse a sí mismo ("auto-referencia"), pero hasta cierto punto matemáticamente permitido: Relativo a la recursividad.

(e)  LA DIAGONALIZACIÓN DE CANTOR, LA "AUTO-REFERENCIA" Y LA PARADOJA DE RICHARD : Para fabricar una fórmula indecidible de S y demostrar que efectivamente dicha fórmula, y su negación,  NO son teoremas de S (bajo la hipótesis de que S es consistente), Gödel usa un método análogo al utilizado por Cantor para probar que el conjunto de los números reales no es numerable, tal método se conoce como método de la diagonal, Gödel logra hacer esto apoyándose en un nivel matemáticamente permitido de "auto-referencia" de una manera bastante genial que realiza gracias a la numeración (codificación) y las demás ideas mencionadas anteriormente [(a), (b), (c) y (d)], favor leer la "paradoja de Richard" más adelante en esta entrada  y relacionar dicha lectura con lo que estoy diciendo, quizás se pueda decir que la idea medular de la prueba de la indecibilidad de S (si S es consistente) que realiza  Gödel está sugerida heurísticamente en la "paradoja de Richard".

Una presentación y explicación intuitiva de dichas ideas (por separado y de cómo se utilizan en conjunto las mismas para la demostración de los teoremas) puede encontrarse en los siguientes dos textos (entre otros): (1) A. Hamilton. LOGICA PARA MATEMATICOS.Paraninfo. 1981; y (2) E. Nagel y J. Newman. EL TEOREMA DE GÖDEL. Tecnos. 2005. Una presentación y explicación de las demostraciones rigurosas de los teoremas usando dichas ideas puede encontrarse en los siguientes dos textos (entre otros): E. Mendelson. INTRODUCTION TO MATHEMATICAL LOGIC. Chapman & Hall/CRC. 1997. Y (2) H. Enderton. UNA INTRODUCCION MATEMATICA A LA LOGICA. Elseiver Inc- UNAM. México 2004. Y una versión en español del artículo original de Gödel sobre estos teoremas ("Sobre sentencias formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas afines") puede encontrarse en el texo "KURT GÖDEL: OBRAS COMPLETAS", Alianza, 1981.   La mayoría de estos libros pueden conseguirse en la biblioteca digital de este blog.

Nota adicional sobre un aspecto del  item "e" presentado anteriormente, es decir, nota adicional sobre  la "AUTO-REFERENCIA"  como una idea importante (clave) en las pruebas de incompletidud Gödel :

(Como se dijo anteriormente) Una idea que según algunos autores utilizó Gödel para hacer su demostración es la "auto-referencia". A continuación se presenta una imagen de la fórmula "auto-referente" creada por Gödel para demostrar su Primer Teorema de Incompletitud (1931), dicha fórmula dice sobre si misma " Yo no soy demostrable en el sistema axiomático de la aritmética" (Nota: En la imagen, el número (o código) de Gödel de TODA la fórmula que aparece es nombrado por la expresión "sust(n,13,n)").

¿ Y cuál es la relación de esta fórmula "auto-referente" de Gödel (1931) con la "paradoja de Richard" (1905)? ¿Qué papel juegan la "auto-referencia" y la "paradoja de Richard" en el argumento de Gödel? ¿juegan un papel importante o es irrelevante? En el Texto "EL TEOREMA DE GÖDEL" de Ernest Nagel y James Newman (el cual se puede encontrar y bajar en la biblioteca digital de este blog) se sugiere que la "auto-referencia" y la "paradoja de Richard" juegan un importante papel en el argumento de Gödel (esto también se sugiere en todos los textos de Lógica Matemática que he leído), considero personalmente que juegan un papel importante (clave) en la heurística de la demostración (notar la relación de esta paradoja con la prueba de la diagonal de Cantor, la cual realizó para demostrar que el conjunto de los números reales no es numerable), a continuación se presentan textualmente lo que expresan Nagel y Newman sobre el asunto, y luego de la cita textual-como apéndice-se enunciarán los Axiomas de Peano para la aritmética, se presentarán dos ejemplos de proposiciones indecidibles concretas de la Aritmética de Peano que se descubrieron años más tarde de que Gödel realizará su prueba (1931) construyendo una proposición aritmética abstracta indecidible, dichas proposiciones aritméticas concretas son: (i) una modificación  del Teorema de Ramsey finito, y (ii) El Teorema de Goodstien (sobre sucesiones de Goodstien), y el tercer apéndice se refiere a una consecuencia del Segundo Teorema de incompletitud de Gödel en la teoría de conjuntos, esta consecuencia es: De ZFC no se puede probar que existen cardinales inaccesibles. Continuamos este artículo entonces  con la cita textual de Nagel y Newman y luego pasamos a los apéndices:

“ ¿Cómo demostró Gödel estas conclusiones? Hasta cierto punto, la estructura de su argumentación está moldeada, como él mismo hizo notar, sobre el razonamiento implicado en una de las antinomias lógicas conocida como la “paradoja richardiana”, propuesta por el matemático francés Jules Richard en 1905. Explicaremos en qué consiste esta paradoja. Considérese un lenguaje (por ejemplo, el español) en el que se puedan formular y definir las propiedades puramente aritméticas de los números cardinales. Examinemos las definiciones que pueden ser expresadas en dicho lenguaje. Resulta claro que, so pena de caer en círculo vicioso o regreso al infinito, no pueden definirse explícitamente algunos términos que hacen referencia a propiedades aritméticas —ya que no podemos definirlo todo y debemos empezar en alguna parte—, aunque, presumiblemente, pueden ser comprendidos de alguna otra manera. Para el objeto que nos ocupa, es indiferente cuáles sean los términos no definidos o “primitivos”; podemos, por ejemplo, dar por supuesto que comprendemos lo que se quiere decir con “un número entero es divisible por otro”, etc. La propiedad de ser un número primo puede ser definida como “no divisible por ningún otro número entero más que por sí mismo y la unidad”; la propiedad de ser un cuadrado perfecto puede ser definida como “ser el producto de algún número entero por sí mismo”, etc. Fácilmente podemos ver que cada una de tales definiciones contendrá solamente un número finito de palabras y, por consiguiente, sólo un número finito de letras del alfabeto. Siendo esto así, las definiciones pueden ser ordenadas en una serie: una definición precederá a otra si el número de letras de la primera es menor que el número de letras de la segunda; y si dos definiciones tienen el mismo número de letras, una de ellas precederá a la otra atendiendo al orden alfabético de las letras contenidas en cada una. Sobre la base de este orden, a cada definición corresponderá un único número entero, que representará el lugar que ocupa la definición en la serie. De este modo, la definición que menos letras tenga corresponderá al número 1, la siguiente definición de la serie correspondería al 2, y así sucesivamente. Dado que cada definición está asociada a un único número entero, puede ocurrir en algunos casos que un número entero posea la misma propiedad expresada por la definición con la cual está asociado. Supongamos, por ejemplo, que la expresión definidora “no divisible por ningún número entero más que por sí mismo y por la unidad” se halla en correlación con el número de orden 17; evidentemente, el 17 tiene la propiedad designada por esa expresión. Por otra parte, supongamos que la expresión definidora “ser el producto de algún número entero por sí mismo” se halla en correlación con el número de orden 15; está claro que 15 no posee la propiedad designada por la expresión. Describiremos la situación existente en el segundo ejemplo diciendo que el número 15 tiene la propiedad de ser richardiano, y la del primer ejemplo, diciendo que el número 17 no tiene la propiedad de ser richardiano. Hablando en términos más generales, definimos “x es richardiano” como una forma abreviada de declarar “x no tiene la propiedad designada por la expresión definidora con la que se halla relacionado en la serie ordenada de definiciones”. Llegamos ahora a un punto curioso, pero característico, de la proposición en que consiste la paradoja richardiana. La expresión definidora de la propiedad de ser richardiano describe ostensiblemente una propiedad numérica de los enteros. La expresión misma pertenece, por tanto, a la serie de definiciones ya enunciadas antes. De aquí se desprende que la expresión está relacionada con un número entero determinador de su posición. Supongamos que este número es n. Y ahora planteamos la cuestión, con ciertas reminiscencias de la antinomia de Russell: ¿Es n richardiano? El lector puede, sin duda alguna, anticipar la fatal contradicción que amenaza ahora. Porque n richardiano si, y solamente si, n carece de la propiedad designada por la expresión (definidora) con la que está relacionado (esto es, si carece de la propiedad de ser richardiano). En resumen, n es richardiano si, y solamente si, n no es richardiano; de modo que la declaración “n es richardiano” es verdadera y falsa a la vez. Debemos hacer notar ahora que la contradicción es, en cierto sentido, una consecuencia derivada de no jugar del todo limpio. Se ha deslizado, por ser útil, una esencial pero tácita hipótesis subyacente bajo la ordenación sucesiva de las definiciones. Se había acordado considerar las definiciones de las propiedades estrictamente aritméticas de los números enteros, es decir, propiedades que pueden formularse con ayuda de nociones tales como las de adición aritmética, multiplicación, etc. Pero entonces, sin previo aviso, se nos invita a que metamos dentro de la serie una definición que se refiere a la notación utilizada para formular las propiedades aritméticas. Más concretamente, la definición de la propiedad de ser richardiano no pertenece a la serie inicialmente proyectada, porque esta definición implica nociones metamatemáticas tales como el número de letras (o signos) que se dan en las expresiones. Podemos soslayar la paradoja de Richard distinguiendo cuidadosamente entre las proposiciones que se producen dentro de la aritmética (que no hacen ninguna referencia a sistema alguno de notación) y las proposiciones acerca de algún sistema de notación en el que se codifica la aritmética. Existe una evidente falacia en el razonamiento empleado para la construcción de la paradoja de Richard. La construcción sugiere, no obstante, la idea de que cabe la posibilidad de “representar” o “reflejar” declaraciones metamatemáticas acerca de un sistema formal suficientemente amplio dentro del sistema mismo. La idea de la “representación” es sobradamente conocida y desempeña un papel fundamental en muchas ramas de las matemáticas. Se utiliza para la construcción de los mapas ordinarios, en la que las formas existentes en la superficie de una esfera se proyectan sobre un plano, de tal modo que las relaciones entre las figuras del plano reflejan las relaciones entre las figuras de la superficie esférica. Se utiliza en la geometría de coordenadas, que traduce la geometría al álgebra de modo que la relaciones geométricas quedan representadas por otras algebraicas.”. El TEOREMA DE GÖDEL. Ernest Nagel y James Newman. Páginas 78-82.

                                                    Jules Richard (1862-1956)

(Parodoja de Richard, versión original: "Si se numeran los números reales que se pueden definir con un número finito de palabras, se puede construir, usando el "Argumento diagonal de Cantor", un número real fuera de esta lista. Sin embargo, este número ha sido definido con un número finito de palabras.")

Nota: En el texto "Introduction to Mathematical Logic" de Mendelson antes mencionado  la proposición indecidible y auto-referente que afirma su propia indemostrabilidad (llamada a veces "G"), se consigue usando un lema llamado "Lema de Diagonalización" (páginas 203-204) y el "Teorema del Punto fijo (páginas 204-205)". En ambos resultados la idea de AUTOREFERENCIA  es clave. Otras pruebas del interesante Teorema del punto fijo se pueden encontrar en el texto "Mathematical Logic" de Ebbinghaus, Flum y Thomas, Springer, 1980, página 174. Y en el libro "Una introducción matemática a la lógica" de Enderton, UNAM, 2004, páginas 337-338. Entre otros textos. Ver. Vale la pena resaltar que el Lema de diagonalización y el Teorema del punto fijo expresan el mismo resultado lógico-matemático, por esa razón los términos "Lema de Diagonalización" y "Teorema del punto fijo" son usados a menudo de forma intercambiable, indistinguible.

APÉNDICE 1: LOS AXIOMAS DE PEANO. 

Giuseppe Peano (1858-1932)

                                                      

Se presenta a continuación una formulación de "LOS AXIOMAS DE PEANO" para la Aritmética que se ha conseguido en internet (notar que en la versión de los axiomas de la parte de abajo de la lámina existen  tres  conceptos primitivos: "cero", "número" y "sucesor"). Vale la pena resaltar que "LA TEORÍA FORMAL DE NÚMEROS EN PRIMER ORDEN" con que se trabaja (por ejemplo) en el texto de Mendelson para demostrar que la misma es incompleta (El Teorema de Incompletitud de Gödel), es una modificación rigurosa de esta axiomática para convertirla en una teoría axiomática de primer orden rigurosa, para ello se modifican tales axiomas de la siguiente manera: (i) El Principio de Inducción Matemática se re-escribe en primer orden como un esquema de axioma (notar que esta formulado-informalmente-en segundo orden), (ii) se agregan cuatro axiomas para definir de manera inductiva (recursiva) a la "operación suma" y a la "operación producto", dos axiomas para cada operación (caso base y caso inductivo), (iii) se agregan los axiomas lógicos y las reglas de inferencia del Cálculo de Predicados de Primer Orden, etc. Para ver los detalles (símbolos no lógicos utilizados, forma específica de los axiomas, etc) de lo que se esta afirmando puede consultarse el libro de Hamilton ("LÓGICA PARA MATEMÁTICOS") o de Mendelson ("INTRODUCTION TO MATHEMATICAL LOGIC"), citados anteriormente. 

APÉNDICE 2: DOS EJEMPLOS DE PROPOSICIONES ARITMÉTICAS CONCRETAS (NO TAN ABSTRACTAS COMO LA SENTENCIA INDECIDIBLE CREADA POR GÖDEL) VERDADERAS QUE NO SE PUEDEN DEMOSTRAR CON LOS AXIOMAS DE PEANO.

Ejemplo 1 : Una modificación del Teorema de Ramsey finito. Tal proposición fue descubierta por Paris y Harrington en 1977, y ellos también demostraron que la misma no es demostrable de la Aritmética de Peano. Una definición y demostración rigurosa de dicha proposición ("la modificación del Teorema de Ramsey finito") se puede encontrar en el texto "Teoría de conjuntos" de Carlos Di Prisco (página 109), el cual esta en la biblioteca digita de este blog. En tal  texto también esta una referencia de la prueba de que dicha proposición ("la modificación del teorema de Ransey finito") no se puede demostrar de la Aritmética de Peano.

Ejemplo 2: El Teorema de Goodstien (sobre sucesiones de Goodstien). Para una formulación y demostración rigurosa de dicho teorema puede consultarse el texto "Introduction to set theory" de Hrbacek y Jech (páginas 124-127), el cual se encuentra en la biblioteca digital de este blog. Vale la pena resaltar que la demostración de tal teorema utiliza el resultado conocido y muy hermoso sobre los números ordinales (transfinitos) llamado "Forma normal de Cantor" (Forma normal de Cantor: "Todo número ordinal se puede expresar de una manera única como una suma de potencias del ordinal omega,con algunas características específicas, es decir, se puede representar con un omega-polinomio"). La prueba de que dicho Teorema (el de Goodstien) no es demostrable con al Aritmética de Peano es de Kirby y Paris en 1982. Sobre el tema también se puede consultar el artículo "Hércules contra la hidra y la muerte del internet" de Eduardo Piza Volio, el cual también esta en la biblioteca digital de este blog; y la entrada de la web de Gaussianos: http://gaussianos.com/la-sucesion-de-goodstein/.

A continuación se presenta una imagen del "Teorema de la Forma normal de Cantor", y también se presenta una imagen del texto "Introduction to set theory" de Hrbacek y Jech:

APÉNDICE 3: DE ZFC NO SE PUEDE PROBAR QUE EXISTEN CARDINALES INACCESIBLES COMO CONSECUENCIA DEL SEGUNDO TEOREMA DE INCOMPLETITUD DE GÖDEL.

En efecto,   una consecuencia del segundo teorema de incompletitud de Gödel en la teoría de conjuntos es que de  ZFC no se puede probar que existen cardinales inaccesibles, esto se debe a que si existe un cardinal inaccesible k, entonces  se puede probar (con ZFC)  que V_k es un modelo de ZFC, lo cual es equivalente a afirmar que de ZFC se deriva la proposición "ZFC es consistente", contradiciendose el Segundo Teorema de incompletitud de Gödel. Ver los detalles de la demostración en la página 167 del texto "Set Theory" de Thomas Jech (Springer, 2002), dicho texto está en la biblioteca digital de este blog y se puede bajar. A continuación se presenta una imagen del texto mencionado:

OBSERVACIÓN FINAL:

(a) Dos notas importantes sobre las demostraciones de los Teoremas de incompletitud que hizo Gödel pueden leerse en los textos "INTRODUCTION TO MATHEMATICAL LOGIC" .Cuarta edición. Autor: Elliott Mendelson. Chapman & Hall. 1997. Y "EL TEOREMA DE GÖDEL" de Nagel y J. Newman. Tecnos. 2005. Páginas 213 y 117-121, respectivamente. La nota del texto de Mendelson tiene que ver con las investigaciones lógico-matemáticas del destacado filósofo y matemático Solomon Feferman (1928-2016) sobre la prueba del Segundo Teorema de incompletitud de Gödel, y la nota de Nagel y Newman son reflexiones finales sobre los alcances y consecuencias de los teoremas. Es muy importante leer ambas (en mi opinión) para reflexionar sobre los alcances reales de tan importantes resultados. 

(b) Para culminar con esta entrada les digo a los  lectores que [además de la demostraciones matemáticas] también estén interesados  en estudiar  la relación de los Teoremas de incompletitud de Gödel con la Filosofía de la matemática que pueden escribirme al correo electrónico  franklingalindo178@gmail.com para recomendarles algunos artículos y textos a los fines de que profundicen al respecto. Para estudiar las demostraciones matemáticas  rigurosas de los Teoremas de incompletitud de Gödel  la bibliografía   que se ofreció aquí en esta entrada con anterioridad es suficiente.