Matemáticas

Frase célebre 1: "Después de todo, ¿qué es la matemática sino la poesía de la mente, y qué es la poesía sino la matemática del corazón?". DAVID EUGENE SMITH. (1860—1944). Matemático estadounidense, educador, coleccionista, editor e historiador de las matemáticas. Frase célebre 2 : "Quizá lo más extraño de la ciencia moderna sea su regreso al Pitagorismo". Bertrand RUSSELL. (1872-1970). Matemático, Lógico, Filósofo, etc. Frase célebre 3: "Las Matemáticas son tanto un aspecto de la Cultura como una colección de algoritmos". C.B. BOYER (1906-1976). History of the Calculus and its conceptual development. Dover, New York. 1949. Frase célebre 4: "Conferimos a las ciencias matemáticas el poder dialéctico de ascender de la caverna a la luz, de lo visible a lo inteligible, de los sentidos a la esencia, por medio de la inteligencia". PLATÓN. República (532c). Frase célebre 5: "El poder que mueve la invención matemática no es (solo) el razonamiento sino la imaginación". AUGUSTUS DE MORGAN (1806−1871). Matemático y lógico británico nacido en la India. Frase célebre 6: "EL LIBRO DE LA NATURALEZA ESTÁ ESCRITO EN LENGUAJE MATEMÁTICO". GALILEO GALILEI (1564–1642), EL PADRE DEL MÉTODO CIENTÍFICO. Frase célebre 7: “Muchas personas que no han estudiado MATEMÁTICAS las consideran una ciencia árida e infructuosa. En realidad, sin embargo, es una CIENCIA que requiere un gran dosis de IMAGINACIÓN.” Sofia Kovalévskaya (1850-1891). Matemática rusa. Frase célebre 8: "La Matemática es la reina de las ciencias y la Aritmética es la reina de las Matemáticas". JOHANN CARL FRIEDRICH GAUSS (1777–1855). Matemático, Astrónomo, Geodesta, y Físico alemán. Frase célebre 9: "El número es el lazo de unión de la eterna persistencia de las cosas". PLATÓN. Timeo. Frase célebre 10: "La matemática ha avanzado más por aquellos que se distinguieron por su intuición que por pruebas rigurosas". Félix KLEIN. (1849-1925). Matemático alemán de gran trascendencia teórica, histórica y metodológica. Frase célebre 11: "Las matemáticas puras son, a su manera, la poesía de las ideas lógicas". Albert EINSTEIN (1879–1955).

La Hipótesis del Continuo de Cantor ¿Cuál es el cardinal del continuo?

La Hipótesis del Continuo de Cantor ¿Cuál es el cardinal del continuo?
¿ (En la actualidad) Estamos cerca de una solución del problema del cardinal del conjunto de los números reales ? ¿Estamos cerca de saber cuál es dicho cardinal o falta mucho todavía? Los intentos por determinar la cardinalidad del conjunto de los números reales (el cardinal del continuo) han contribuido sustancialmente con el desarrollo de la Teoría de Conjuntos. Hacia 1878 G. Cantor conjeturó que tal cardinal es el menor cardinal mayor que el cardinal de los números naturales (Alef_0), es decir, Alef_1. Esta hipótesis se denomina Hipótesis del continuo (HC) y Cantor no pudo demostrar la misma. Para David Hilbert la HC era tan importante que la colocó de primera en la lista de problemas presentada al Congreso Internacional de Matemáticas realizado en París en 1900; y uno de los resultados más destacados al respecto es la prueba de su independencia de los axiomas estándar de la Teoría de Conjuntos, la cual se debe a K. Gödel (1938) y a P. Cohen (1963-64), es decir, tales autores demostraron que si los axiomas estándar de la Teoría de Conjuntos son consistentes, entonces no se puede deducir de ellos la HC, ni la negación de la HC. Considerando esta independencia y además que (desde un punto de vista platonista) la HC es una proposición significativa la cual es verdadera o falsa, una de las investigaciones actuales más relevantes sobre el tema consiste en la búsqueda de nuevos axiomas que permitan decidir el cardinal del continuo. Vale la pena destacar que algunos de los candidatos a nuevos axiomas dicen que Cantor estaba equivocado, pues ellos implican que el cardinal del continuo es Alef_2, el menor cardinal mayor que Alef_1 (Gödel había intuido este resultado años antes). ¿ Qué ha pasado con el problema del cardinal del continuo después de Gödel (1938) y Cohen (1964) ? Intentos de responder esta pregunta pueden encontrarse en los artículos del Prof. José Alfredo Amor (1946-2011), "El Problema del continuo después de Cohen (1964-2004)", del Prof. Carlos Di Prisco , "Are we closer to a solution of the continuum problem", y del Prof. Joan Bagaria, "Natural axioms of set and the continuum problem" , que se encuentran en la biblioteca digital de este blog que aparecerá al hacer clic en la imagen. También se puede encontrar más información al respecto en dicha biblioteca, en las otras bibliotecas digitales referidas en este blog y en una entrada específica de este blog dedicada al tema (por favor leer esta entrada de primero). Y también en la siguiente entrada web ("The Continuum Hypothesis") de la Enciclopedia de Filosofía de la Universidad de Stanford existe información importante y actualizada al respecto: https://plato.stanford.edu/entries/continuum-hypothesis/

Cardinales grandes

Cardinales grandes
En este blog existe una entrada referida a este tema donde se colocan algunas referencias clásicas. Hacer clic sobre la imagen para tener acceso a dicha entrada.

Matemática aplicada

Matemática aplicada
Matemática Aplicada. Esquema del "Proceso de Modelación Matemática". Es muy interesante el tema de las aplicaciones de la matemática (en todas sus ramas) a las ciencias naturales y sociales. Hacer clic sobre la imagen para ver un video de youtube que presenta un resumen de diversas aplicaciones de la matemática a las ciencias, el video es del canal "EduMates". También en el siguiente video de youtube se puede ver una interesante entrevista al profesor de matemáticas Marcus du Sautoy realizada por Eduar Punset, en la cual el profesor Marcus habla sobre el tema de la aplicación matemática, el video se llama "Las Simetrías del Universo": https://www.youtube.com/watch?v=jegmxU9YS-s Un ejemplo de cómo crear un modelo matemático usando Ecuaciones Diferenciales (video de youtube del canal "MateFacil") es el siguiente: https://www.youtube.com/watch?v=V9UE2QmnDjw Otro ejemplo se puede ver en el siguiente video de youtube de "MateFacil": https://www.youtube.com/watch?v=WgWcxansYCs&t=18s Y otro ejemplo se puede ver en el siguiente video de youtube del canal "Matemáticas y física con tilde": https://www.youtube.com/watch?v=jXVJJoFTbeQ Es conocido que en internet (por ejemplo en "youtube") se pueden encontrar muchos otros videos tutoriales con ejemplos de aplicaciones matemáticas (de todas las ramas de las matemáticas). En el siguiente video de youtube se puede ver dos ejemplos de modelos (o fenómenos) estocásticos o probabilísticos: https://www.youtube.com/watch?v=8hHevhITp-c . En la biblioteca digital de este blog se pueden conseguir algunos libros con diferentes aplicaciones matemáticas.

domingo, 19 de diciembre de 2010

Dos demostraciones clásicas del Teorema de Completitud de Gödel: Una que usa los procedimientos efectivos de Forma normal prenexa y Forma normal de Skolem, y otra que se hace para lenguajes de cualquier cardinalidad que utiliza la técnica de construcción de modelos a partir de constantes.

(Diciembre 2017)

He escrito unas notas que contienen dos  demostraciones (clásicas) detalladas del Teorema de Completitud de Gödel: Una que usa los procedimientos efectivos de Forma normal prenexa y Forma normal de Skolem, y otra que se hace  para lenguajes de cualquier cardinalidad que  utiliza la técnica de construcción de modelos a partir de constantes. Las notas se llaman así:

El Teorema de completitud de Gödel, el Teorema del Colapso Transitivo de Mostowski y el Principio de Reflexión.

Resumen de las notas: "Es conocido que el Teorema de Completitud de Gödel, el Teorema del Colapso Transitivo de Mostowski y el Principio de Reflexión son resultados muy útiles en las investigaciones de Lógica matemática y/o los Fundamentos de la matemática. El objetivo de este trabajo es presentar algunas demostraciones clásicas de tales resultados: Dos del Teorema de Completitud de Gödel, una del Teorema del Colapso Transitivo de Mostowski y una del Principio de Reflexión. Se aspira que estas notas sean de utilidad para estudiar dichas pruebas. Vale la pena resaltar que entre los métodos matemáticos que se utilizan en tales demostraciones se encuentran: (1) La técnica de construcción de modelos a partir de constantes (o  "método del conjunto maximal consistente  con un conjunto de testigos" de Henkin) y (2) el Principio de inducción matemática en varias versiones [ (2.1) Inducción matemática sobre los números naturales y (2.2) Inducción transfinita ((2.2.1) Inducción transfinita sobre conjuntos bien ordenados cualesquiera, por ejemplo sobre un cardinal infinito Alef_alfa, (2.2.2) Inducción transfinita sobre una clase de conjuntos bien ordenada, por ejemplo  sobre la "clase de todos los ordinales, finitos o infinitos", y (2.2.3) Inducción transfinita sobre relaciones bien fundamentadas, por ejemplo sobre la "relación de pertenencia" entre conjuntos)]".

Las notas se pueden conseguir y bajar en el siguiente enlace de "Saber UCV": 


También las notas se pueden conseguir (y bajar)  en la biblioteca digital de este blog.

Asesorías y clases particulares de TEORÍA DE MODELOS. Teoría de Modelos = Álgebra Universal + Lógica.

(20-03-2022)
Se ofrecen asesorías y clases particulares de TEORÍA DE MODELOS para investigadores en Matemática, Lógica, Computación, Filosofía de la Ciencia, etc. Vía web o presencial. (Teoría de Modelos = Álgebra Universal + Lógica). Prof. Dr. en Matemática Franklin Galindo, especialista en Lógica Matemática y Fundamentos de la Matemática. El código de "Teoría de Modelos" de la AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY 2020 es: 03Cxx. Temas que más he trabajado: Álgebra universal (estructuras: Grupo, Anillo, Cuerpo, Orden, Buen orden, Sistema de Peano, Álgebra de Boole, Retículo, Filtro, Ideal, Grafos, etc. Relaciones entre estructuras: subestructura, homomorfismo, inmersión, Isomorfismo, etc), Lógica de primer orden: Sintaxis y Semántica, El teorema de completitud de Gödel para la lógica de primer orden, relaciones entre estructuras que involucran al lenguaje de primer orden (equivalencia elemental, subestructura elemental, inmersión elemental, etc), teorías, el teorema de compacidad y sus implicaciones matemáticas, los teoremas de Löwenhein-Skolem-Tarski (hacia bajo y hacia arriba) y sus consecuencias, teorías completas y categóricas, Ultraproductos, Modelos no estándar, Principio de transferencia, más métodos de construcción de modelos, Teoremas de Lindström, y otros tópicos de la teoría de modelos. Más información por los correos electrónicos: logicamatematica.gb@gmail.com o franklingalindo178@gmail.com. O por el teléfono +584129953888 (whatsapp). Se le responderá con prontitud. Se garantiza experiencia docente y vocación académica para enseñar y aprender. También se dictan clases particulares de CÁLCULO. (Cálculo Diferencial y Cálculo Integral).



                                         Howard Jerome Keisler (nació en en 1936)
                                         


                                                  Chen Chung Chang (1927-2014)
                                         


                                                          Alfred Tarski (1902-1983)

                                          María Manzano

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También se dictan clases particulares de CÁLCULO. (Cálculo Diferencial y Cálculo Integral).

Algunos libros o artículos sobre Lógica Matemática

(1) C. Di Prisco. INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA. Amalca Amazonia. 2009.
(2) E. Mendelson. INTRODUCTION TO MATHEMATICAL LOGIC. Chapman & Hall/CRC. 1997.
(3) H. Enderton. UNA INTRODUCCION MATEMÁTICA A LA LÓGICA. Elseiver inc- UNAM.Mèxico 2004.
(4) A. Nerode-R.Shore. LOGIC FOR APPLICATIONS. Springer-Verlag. 1993. (Vale la pena resaltar que este texto tiene en la parte final una extensa bibliografía sobre diversos tópicos lógica matemática).
(5) A. Hamilton. LOGICA PARA MATEMATICOS.Paraninfo. 1981.
(6) J. Mosterín. LÓGICA DE PRIMER ORDEN. Editorial Ariel. 1983.
(7) http://plato.stanford.edu/search/searcher.py?page=10&query=logic .
(8) H. Ebbinghaus-J.Flum-W. Thomas. MATHEMATICAL LOGIC. Springer-Verlag. New York. 1983.
(9) Alonzo Church. INTRODUCTION TO MATHEMATICAL LOGIC. Princeton University Press, 1956.
(10) D. Hilbert y W. Ackermann. ELEMENTOS DE LÓGICA TEÓRICA. Tecnos. 1962.
(11) S. Kleene. INTRODUCCIÓN A LA METAMATEMÁTICA. Tecnos. 1974.
(12) C. Ivorra. LÓGICA Y TEORÍA DE CONJUNTOS. PDF en internet.
(13) C. Ivorra. LÓGICA MATEMÁTICA. PDF en internet.
(14) R. Grimaldi. MATEMÁTICAS DISCRETA Y COMBINATORIA. UNA INTRODUCCIÓN CON APLICACIONES. Addison Wesley Longman de México, S.A. de C.V. .  1998. 
(15) M. Manzano. TEORÍA DE MODELOS. Alianza. 1988.
(16) C. Chang-H. Keisler. MODEL THEORY. North-Holland. 1992.
(17) G., Hughes-M., Cresswell.  INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MODAL. Tecnos. 1973.  

HISTORIA DE LA LÓGICA:

(17) EL DESARROLLO DE LA LÓGICA. William y Marha Kneale. Tecnos. 1980.
(18) LOS LÓGICOS. J., Mosterín. Espasa. 2000.
(19) LÓGICA. Editores Carlos E. Alchourrón, Raúl Orayen, José M Menéndez. Tomo de la Enciclopedia Iberoamericana de Filosofía. Trotta. 2005.

FILOSOFÍA DE LA LÓGICA:

(20) FILOSOFÍA DE LAS LÓGICAS. Susan Haack. Cátedra. 1982.
(21) FILOSOFÍA DE LA LÓGICA. Editores Rául Orayen y Alberto Moreti. Tomo de la Enciclopedia Iberoamerina de Filosofía. Trotta. 2005.
(22) FILOSOFÍA DE LA LÓGICA. Quine. Alianza. 1998. (Nota: Hay otros libros o artículos importantes de Quine sobre Lógica matemática,  filosofía de la Lógica o  filosofía de la matemática, ver la biblioteca digital de este blog y la web).
(23) LA FRONTERA ENTRE LÓGICA Y TEORÍA DE CONJUNTOS. Jesús Mosterín (Universidad de Barcelona, España). 1987.

DICCIONARIO:

(24) DICCIONARIO DE LÓGICA Y FILOSOFÍA DE LA CIENCIA. J., Mosterín y R., Torretti. Alianza. 2002.



Nota: (a) Algunos de los textos mencionados pueden encontrarse en la biblioteca digital de este blog y se pueden bajar, y (b) En varias entradas de este blog pueden encontrarse otras referencias a libros o artículos sobre Lógica Matemática, por ejemplo hay varias entradas con bibliografía sobre teoría de conjuntos.

La Propiedad de Compacidad en Lógica y en Topología

(Febrero 2018)

El Teorema de compacidad en Lógica tiene al menos dos versiones equivalentes:

Teorema de Compacidad (Versión 1): Sea A un conjunto de sentencias. A tiene un modelo si y sólo si cada subconjunto finito de A tiene un modelo.

Teorema de compacidad (Versión 2): Sea A un conjunto de sentencias y p una sentencia. p es una consecuencia Lógica de A si y sólo si existe un subconjunto finito A_0  de A tal que p es una consecuencia lógica de A_0.  

Es conocido que el Teorema de compacidad vale para la Lógica proposicional y para la Lógica de primer orden y que el mismo se  puede demostrar como un corolario del Teorema de completitud de Gödel [Gödel (1930), Henkin (1949]). Pero también dicho Teorema  se puede probar directamente (para ambas lógicas), en el caso de la Lógica proposicional una manera de hacerlo es usando  un método análogo al que utiliza  Henkin para probar completitud, y en el caso de la Lógica de primer orden se puede hacer usando la técnica de construcción de modelos llamada Ultraproductos, el cual a su vez utiliza Ultrafiltros [Skolem (1930), Lós (1955)]. Hay otras versiones de Compacidad que cumplen otros sistemas lógicos, versiones más débiles que la Versión 1 y la Versión 2, como por ejemplo las lógicas con cuantificadores generalizados (Compacidad para conjuntos numerables de sentencias) y las lógicas infinitarias de cardinal medible (Compacidad débil).  

La propiedad  de compacidad en topología es la siguiente:

Un Espacio topológico  (X, t)  se dice compacto si, dado un recubrimiento abierto de X cualquiera, existe un subrecubrimiento finito del mismo.




Tal vez el antecedente más antiguo de la propiedad de compacidad en topología es el conocido Teorema de Heine-Borel:  Sea [a,b]  un intervalo cerrado y acotado y sea {G_i} una clase de conjuntos abiertos tales que [a,b] está incluido en la unión de los G_i. Entonces, es posible escoger un número finito de conjuntos abiertos, por ejemplo G_i1, G_i2,..., G_in, de modo que el intervalo [a,b] está incluido en dichos conjuntos abiertos.  Una demostración de este teorema  puede encontrarse en el texto de  H., Royden, "Real Analysis", Macmillan Publishing Company, 1998.  Este libro está en la biblioteca digital de este blog y se puede bajar. Vale la pena resaltar que el Teorema de Heine-Borel  tiene versiones de finales del siglo XIX.

Nota 1: He realizado un artículo donde presento de manera detallada una prueba directa del Teorema de Compacidad para la Lógica de primer orden usando el método de construcción de modelos llamado de Ultraproductos y también describo detalladamente una demostración del Teorema fundamental de los Ultraproductos (Teorema de Lós), tal vez pueda ser útil dicho artículo, está en el siguiente enlace de la web y se puede bajar: http://biblo.una.edu.ve/ojs/index.php/UNAINV/article/view/1442 . Se llama así: "Una presentación de la demostración directa del teorema de compacidad de la lógica de primer orden que usa el método de ultraproductos". UNA INVESTIG@CIÓN, Vol. VIII, N 15 (2016).


Nota 2: Una prueba directa del Teorema de compacidad para la lógica proposicional  se puede encontrar  en los textos de Carlos Di Prisco, "Introducción a la Lógica Matemática", Emalca Amazonia, 2009. Y también de  H. Enderton. "Una Introducción Matemática a la Lógica". UNAM. 2004. Ambos libros  están en la biblioteca digital de este blog y se puede bajar.


Nota 3¿Cuál es la relación entre Compacidad en Lógica y Compacidad en Topología? 

Una respuesta es la siguiente: 

(*"El teorema de compacidad para una teoría T  (en primer orden) es equivalente a que el espacio topológico de Stone del álgebra booleana de Lindenbaum determinada por  T sea compacto" .  

El espacio topológico de Stone (S, t) tiene como universo al conjunto de todos los ultrafiltros sobre el álgebra  booleana  de Lindembaum determinada por  T y la topología t del mismo es la generada por los abiertos básicos de la forma,

                                              X_b={u pertenece S : b pertenece a u}

para toda b que pertenece al álgebra de Lindenbaum determinada por T
(Ver la demostración del Teorema de Representación de Stone-"Cualquier álgebra booleana es isomorfica a un cuerpo (álgebra) de conjuntos"- en el texto "Set Theory" de Thomas Jech, el cual se encuentra en la biblioteca digital de este blog) 
Para más información leer el enlace: http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=69702.0;wap2 .  
Una prueba del  resultado (*) puede encontrarse en el siguiente enlace: https://math.stackexchange.com/questions/842/why-is-compactness-in-logic-called-compactness . Vale la pena resaltar que he escrito un artículo (en el 2020) que se llama "Tópicos de Ultrafiltros" donde se puede encontrar una demostración más detallada que la que aparece en el enlace anterior, la cual supone muchas cosas importantes. Dicho artículo fue publicado en la revista Divulgaciones Matemáticas y se puede enontrar y bajar de la web, su referencia exacta es: Divulgaciones Matemáticas. Vol. 21, No. 1-2 (2020), pp. 53-76. Un resumen del contenido del mismo es el siguiente: 

Los ultrafiltros son objetos matemáticos muy importantes en la investigación matemática. Existen una gran variedad de teoremas clásicos en diversas ramas de la matemática donde se aplican ultrafiltros en su demostración, y otros teoremas clásicos que  tratan directamente sobre ultrafiltros. El objetivo de este artículo es contribuir (de una manera divulgativa) con la investigación sobre ultrafiltros describiendo las demostraciones de algunos de tales teoremas relacionados (de manera única o combinada) con topología, teoría de la medida, álgebra, combinatoria infinita, teoría de conjuntos y lógica de primer orden, formulando además algunos problemas abiertos actuales de la teoría de conjuntos que se refieren a ultrafiltros no principales sobre N, al Modelo de Mathias y al Modelo de Solovay.

 
Palabras y frases clave: ultrafiltros, aplicaciones de ultralfiltros, ultrafiltros no principales sobre N.

Se puede encontrar y bajar  en el siguiente enlace de la revista:https://docs.google.com/a/demat-fecluz.org/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVtYXQtZmVjbHV6Lm9yZ3xyZXZpc3RhZG0tZGl2dWxnYWNpb25lcy1tYXRlbWF0aWNhc3xneDo3MGUxZDU2MjE0NWFhMmQw








                                                  Eduard Heine (1821-1881)


                                                               
                                                   Émile Borel (1871-1956)



                                                   Marshell Stone (1903-1989)


                                                         
                                                Kurt Gödel (1906-1978)



                                           Adolf Lindenbaum (1904-1941)