LÓGICA MATEMÁTICA, FUNDAMENTOS Y FILOSOFÍA DE LA MATEMÁTICA

¿ Cuál es el cardinal del continuo? ¿ Cuál es el cardinal del conjunto de los números reales?

¿ Cuál es el cardinal del continuo? ¿ Cuál es el cardinal del conjunto de los números reales?
¿ (En la actualidad) Estamos cerca de una solución del problema del cardinal del conjunto de los números reales ? ¿Estamos cerca de saber cuál es dicho cardinal o falta mucho todavía? Los intentos por determinar la cardinalidad del conjunto de los números reales (el cardinal del continuo) han contribuido sustancialmente con el desarrollo de la Teoría de Conjuntos. Hacia 1878 G. Cantor conjeturó que tal cardinal es el menor cardinal mayor que el cardinal de los números naturales (Alef_0), es decir, Alef_1. Esta hipótesis se denomina Hipótesis del continuo (HC) y Cantor no pudo demostrar la misma. Para David Hilbert la HC era tan importante que la colocó de primera en la lista de problemas presentada al Congreso Internacional de Matemáticas realizado en París en 1900; y uno de los resultados más destacados al respecto es la prueba de su independencia de los axiomas estándar de la Teoría de Conjuntos, la cual se debe a K. Gödel (1938) y a P. Cohen (1963-64), es decir, tales autores demostraron que si los axiomas estándar de la Teoría de Conjuntos son consistentes, entonces no se puede deducir de ellos la HC, ni la negación de la HC. Considerando esta independencia y además que (desde un punto de vista platonista) la HC es una proposición significativa la cual es verdadera o falsa, una de las investigaciones actuales más relevantes sobre el tema consiste en la búsqueda de nuevos axiomas que permitan decidir el cardinal del continuo. Vale la pena destacar que algunos de los candidatos a nuevos axiomas dicen que Cantor estaba equivocado, pues ellos implican que el cardinal del continuo es Alef_2, el menor cardinal mayor que Alef_1 (Gödel había intuido este resultado años antes). ¿ Qué ha pasado con el problema del cardinal del continuo después de Gödel (1938) y Cohen (1964) ? Intentos de responder esta pregunta pueden encontrarse en los artículos del Prof. José Alfredo Amor (1946-2011), "El Problema del continuo después de Cohen (1964-2004)", del Prof. Carlos Di Prisco , "Are we closer to a solution of the continuum problem", y del Prof. Joan Bagaria, "Natural axioms of set and the continuum problem" , que se encuentran en la biblioteca digital de este blog que aparecerá al hacer clic en la imagen. También se puede encontrar más información al respecto en dicha biblioteca, en las otras bibliotecas digitales referidas en este blog y en una entrada específica de este blog dedicada al tema (por favor leer esta entrada de primero).

domingo, 17 de junio de 2012

Cardinales grandes

(Noviembre  2017)



Cardinales grandes: (entre otros) Cardinales inaccesibles, cardinales débilmente compactos, cardinales Ramsey, cardinales medibles, cardinales Woodin, cardinales lambda-supercompactos, cardinales supercompactos, cardinales enormes, cardinales super-enormes.

Dos resultados clásicos sobre cardinales grandes muy conocidos son los siguientes acerca de cardinales medibles:

(Nota: He realizado un artículo donde presento de manera detallada el método de contrucción de modelos llamado "Ultraproductos" (el cual usa ultrafiltros) y también describo detalladamente una demostración del Teorema fundamental de los Ultraproductos (Teorema de Lós). Los Ultraproductos y el Teorema de Lós son muy importantes para investigar cardinales grandes. El artículo está en el siguiente enlace de la web y se puede bajar: http://biblo.una.edu.ve/ojs/index.php/UNAINV/article/view/1442 . Se llama así: "Una presentación de la demostración directa del teorema de compacidad de la lógica de primer orden que usa el método de ultraproductos". UNA INVESTIG@CIÓN, Vol. VIII, N 15 (2016). En dicho artículo está también la definición rigurosa de cardinal inaccesible, cardinal débilmente compacto y cardinal medible, VER.)

Definición: Un cardinal alfa > alef_0 se dice que es medible si y sólo si existe un ultrafiltro no principal y alfa-completo sobre alfa.

Teorema: Sea alfa un cardinal medible. Entonces alfa es un cardinal inaccesible y además alfa es el alfa-ésimo cardinal inaccesible, es decir, existen alfa cardinales inaccesibles menores que alfa.

Este teorema se puede demostrar siguiendo (entre otros) el texto "Model Theory" de Chang y Keisler. Tal demostración usa Ultraproductos (especialmente Ultrapotencias) y el Teorema de Lós. También usa lógicas infinitarias y fragmentos de la lógica de segundo orden. La demostración requiere del Axioma de elección. (Ver texto "Model Theory"). He escrito una demostración detallada de este teorema (y del siguiente que se menciona en esta entrada: Teorema de Scott), entre otros, en mi trabajo de investigación  llamado "Algunos tópicos de Lógica matemática y los Fundamentos de la matemática" (30-10-2017). Dicho trabajo se puede encontrar y bajar en el siguiente enlace de la web de "Saber UCV":  http://saber.ucv.ve/handle/123456789/16943 . Un resumen del mismo es el siguiente: "En este trabajo  filosófico-matemático  se estudian cuatro tópicos de la Lógica matemática:  El método de construcción de modelos llamado Ultraproductos, la Propiedad de Interpolación de Craig, las Álgebras booleanas y los Órdenes parciales separativos. El objetivo principal del  mismo  es analizar  la importancia que tienen  dichos tópicos para el estudio de los fundamentos de la matemática, desde el punto de vista del platonismo matemático. Para cumplir con tal objetivo se trabajará  en el  ámbito  de la Matemática, de la Metamatemática y de la Filosofía de la matemática. El desarrollo de la investigación  arrojó como resultado que  tales tópicos son  muy importantes para el estudio de los fundamentos de la matemática, desde el punto de vista del platonismo matemático, y en el trabajo se explica detalladamente con abundantes ejemplos el  porqué (al final de cada sección  y al final del mismo)."


Teorema de Scott: Si existe un cardinal medible, entonces el Axioma de constructibilidad (V=L) es falso.

También este teorema se puede demostrar siguiendo el texto "Model Theory" de Chang y Keisler (entre otros). Tal demostración usa el método de Ultraproductos (especialmente Ultrapotencias) y el Teorema de Lós. Además utiliza lógicas infinitarias y los conjuntos H(alfa)= El conjunto de todos los conjuntos hereditariamente de cardinal menor que alfa (alfa un cardinal infinito). Esta demostración también requiere del Axioma de elección. (Ver texto "Model Theory").

Importante información sobre este interesante tema de "cardinales grandes" puede encontrarse (entre otros) en los textos "Teoría de conjuntos" de Carlos Di Prisco, "Set Theory" de Jech, "Model Theory" de Chang y Keisler, "The Higher Infinite" de Kanamori. Tales textos estan en la biblioteca digital de este blog (y se pueden bajar). También (por ejemplo) en las notas "Inmersiones elementales y cardinales grandes" de Carlos Di Prisco, y en los textos "Set Theory. An Introduction to large cardinals" de Drake y "The Theory of Ultrafilters" de Comfort y Negrepontis (se pueden conseguir en la web estos dos últimos textos). Además: En las bibliografías de tales referencias se mencionan otros importantes textos y artículos sobre el tema.

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