LÓGICA MATEMÁTICA, FUNDAMENTOS Y FILOSOFÍA DE LA MATEMÁTICA

¿ Cuál es el cardinal del continuo? ¿ Cuál es el cardinal del conjunto de los números reales?

¿ Cuál es el cardinal del continuo? ¿ Cuál es el cardinal del conjunto de los números reales?
¿ (En la actualidad) Estamos cerca de una solución del problema del cardinal del conjunto de los números reales ? ¿Estamos cerca de saber cuál es dicho cardinal o falta mucho todavía? Los intentos por determinar la cardinalidad del conjunto de los números reales (el cardinal del continuo) han contribuido sustancialmente con el desarrollo de la Teoría de Conjuntos. Hacia 1878 G. Cantor conjeturó que tal cardinal es el menor cardinal mayor que el cardinal de los números naturales (Alef_0), es decir, Alef_1. Esta hipótesis se denomina Hipótesis del continuo (HC) y Cantor no pudo demostrar la misma. Para David Hilbert la HC era tan importante que la colocó de primera en la lista de problemas presentada al Congreso Internacional de Matemáticas realizado en París en 1900; y uno de los resultados más destacados al respecto es la prueba de su independencia de los axiomas estándar de la Teoría de Conjuntos, la cual se debe a K. Gödel (1938) y a P. Cohen (1963-64), es decir, tales autores demostraron que si los axiomas estándar de la Teoría de Conjuntos son consistentes, entonces no se puede deducir de ellos la HC, ni la negación de la HC. Considerando esta independencia y además que (desde un punto de vista platonista) la HC es una proposición significativa la cual es verdadera o falsa, una de las investigaciones actuales más relevantes sobre el tema consiste en la búsqueda de nuevos axiomas que permitan decidir el cardinal del continuo. Vale la pena destacar que algunos de los candidatos a nuevos axiomas dicen que Cantor estaba equivocado, pues ellos implican que el cardinal del continuo es Alef_2, el menor cardinal mayor que Alef_1 (Gödel había intuido este resultado años antes). ¿ Qué ha pasado con el problema del cardinal del continuo después de Gödel (1938) y Cohen (1964) ? Intentos de responder esta pregunta pueden encontrarse en los artículos del Prof. José Alfredo Amor (1946-2011), "El Problema del continuo después de Cohen (1964-2004)", del Prof. Carlos Di Prisco , "Are we closer to a solution of the continuum problem", y del Prof. Joan Bagaria, "Natural axioms of set and the continuum problem" , que se encuentran en la biblioteca digital de este blog que aparecerá al hacer clic en la imagen. También se puede encontrar más información al respecto en dicha biblioteca, en las otras bibliotecas digitales referidas en este blog y en una entrada específica de este blog dedicada al tema (por favor leer esta entrada de primero).

domingo, 19 de diciembre de 2010

Algunos libros o artículos sobre Lógica Matemática

(1) C. Di Prisco. INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA. Amalca Amazonia. 2009.
(2) E. Mendelson. INTRODUCTION TO MATHEMATICAL LOGIC. Chapman & Hall/CRC. 1997.
(3) H. Enderton. UNA INTRODUCCION MATEMÁTICA A LA LÓGICA. Elseiver inc- UNAM.Mèxico 2004.
(4) A. Nerode-R.Shore. LOGIC FOR APPLICATIONS. Springer-Verlag. 1993. (Vale la pena resaltar que este texto tiene en la parte final una extensa bibliografía sobre diversos tópicos lógica matemática).
(5) A. Hamilton. LOGICA PARA MATEMATICOS.Paraninfo. 1981.
(6) J. Mosterín. LÓGICA DE PRIMER ORDEN. Editorial Ariel. 1983.
(7) http://plato.stanford.edu/search/searcher.py?page=10&query=logic .
(8) H. Ebbinghaus-J.Flum-W. Thomas. MATHEMATICAL LOGIC. Springer-Verlag. New York. 1983.
(9) Alonzo Church. INTRODUCTION TO MATHEMATICAL LOGIC. Princeton University Press, 1956.
(10) D. Hilbert y W. Ackermann. ELEMENTOS DE LÓGICA TEÓRICA. Tecnos. 1962.
(11) S. Kleene. INTRODUCCIÓN A LA METAMATEMÁTICA. Tecnos. 1974.
(12) C. Ivorra. LÓGICA Y TEORÍA DE CONJUNTOS. PDF en internet.
(13) M. Manzano. TEORÍA DE MODELOS. Alianza. 1988.
(14) C. Chang-H. Keisler. MODEL THEORY. North-Holland. 1992.

HISTORIA DE LA LÓGICA:

(1) EL DESARROLLO DE LA LÓGICA. William y Marha Kneale. Tecnos. 1980.
(2) LOS LÓGICOS. J., Mosterín. Espasa. 2000.
(2) LÓGICA. Editores Carlos E. Alchourrón, Raúl Orayen, José M Menéndez. Tomo de la Enciclopedia Iberoamericana de Filosofía. Trotta. 2005.

FILOSOFÍA DE LA LÓGICA:

(1) FILOSOFÍA DE LAS LÓGICAS. Susan Haack. Cátedra. 1982.
(2) FILOSOFÍA DE LA LÓGICA. Editores Rául Orayen y Alberto Moreti. Tomo de la Enciclopedia Iberoamerina de Filosofía. Trotta. 2005.
(3) FILOSOFÍA DE LA LÓGICA. Quine. Alianza. 1998. (Nota: Hay otros libros importantes de Quine sobre Lógica y filosofía de la Lógica, ver la biblioteca digital de este blog y la web).
(4) LA FRONTERA ENTRE LÓGICA Y TEORÍA DE CONJUNTOS. Jesús Mosterín (Universidad de Barcelona, España). 1987.

DICCIONARIO:

DICCIONARIO DE LÓGICA Y FILOSOFÍA DE LA CIENCIA. J., Mosterín y R., Torretti. Alianza. 2002.



Nota: (a) Algunos de los textos mencionados pueden encontrarse en la biblioteca digital de este blog y se pueden bajar, y (b) En varias entradas de este blog pueden encontrarse otras referencias a libros o artículos sobre Lógica Matemática, por ejemplo hay varias entradas con bibliografía sobre teoría de conjuntos.

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