(Agosto 2017)
Saharon Shelah. Uno de los destacados matemáticos que ha investigado el Problema del cardinal del continuo de Cantor después de los resultados de Gödel (1938) y de Cohen (1964).
Stevo Todorčević. Otro destacado matemático que ha investigado el Problema del cardinal del continuo de Cantor después de los resultados de Gödel (1938) y Cohen (1964).
Hipótesis del continuo de Cantor (1878): EL CARDINAL DE CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES ES Alef_1 (Alef_1 el menor cadinal mayor que el cardinal del conjunto de los números naturales, Afef_0).
¿La Hipótesis del continuo de Cantor (HC) es verdadera o falsa?
Es conocido, por los resultados de Gödel (1938) y Cohen (1963-1964), que la HC es independiente de los axiomas estándar de la Teoría de conjuntos. Gödel probó que la negación de la HC no se puede demostrar de los axiomas estándar creando y usando la técnica de los conjuntos constructibles, y Cohen probó que la HC no se puede demostrar de los axiomas estándar creando y usando el método de forcing. Pero, ¿Qué ha pasado con el problema del cardinal del continuo de Cantor después de Gödel (1938) y Cohen (1964)?. Vale la pena resaltar que destacados conjuntintas contemporáneos consideran que Cantor estaba equivocado y que el cardinal del conjunto de los números reales no es Alef_1, si no que es el menor cardinal mayor que Alef_1, Alef_2, el mismo Gödel ya había planteado esta posibilidad años antes, y una de la razones por la cual tales conjuntistas (los contemporáneos) consideran que es Alef_2 es que varias de las proposiciones que se consideran candidatos a nuevos axiomas de la teoría de conjuntos contemporánea deciden que el cardinal del continuo es Alef_2, es decir, con tales candidatos a nuevos axiomas se demuestra que el cardinal del conjunto de los números reales es Alef_2. Dos ejemplos de candidatos a nuevos axiomas de este tipo son EL AXIOMA DE FORCING PROPIO (PFA) (El "forcing propio" fue introducido por Shelah en 1982 y 1998, y el "Axioma de forcing propio" fue introducido por Baumgartner en 1984) y EL AXIOMA DE MARTIN MÁXIMO (MM) (formulado por Foreman, Magidor y Shelah en 1988), los cuales son generalizaciones del AXIOMA DE MARTIN (AM), (Donald Martin, 1970), el AM es una proposición relacionada con la combinatoria infinita, la topología y el forcing que tiene importantes consecuencias en diversas áreas de las matemáticas como la Combinatoria, el Análisis, la Topología y el Álgebra (por ejemplo una consecuencia del AM es el conocido Teorema de Categoría de Baire y una generalización de tal teorema también se puede demostrar a partir del AM).
--------------------------------Donald Martin. Matemático y Filósofo----------------------
MM es un fortalecimiento de PFA y a su vez PFA es un fortalecimiento del AM. Tanto PFA como MM implican que el cardinal del conjunto de los números reales es Alef_2. Sin embargo, tales candidatos a nuevos axiomas (PFA, MM, entre otros no mencionados en este breve escrito) no han sido aceptados totalmente como nuevos axiomas de la Teoría de conjuntos hasta los momentos, quizá esto se deba (en parte) a que ellos tienen al menos las siguientes dos caraterísticas: (a) Ellos son muy poco "intuitivos" (vale la pena resaltar que actualmente no hay un acuerdo sobre las nociones de "intuitivo" y "natural"), y (b) Las pruebas de la consistencia relativa de los mismos con los axiomas estándar que se han realizado hasta los momentos suponen la existencia de hipótesis fuertes de la teoría de conjuntos como por ejemplo que existen cardinales inaccesibles, por ejemplo las pruebas de la consistencia relativa con los axiomas estándar de PFA y de MM suponen la existencia cardinales supercompactos, y la existencia de estos grandes cardinales no se puede probar con los axiomas estándar como consecuencia del Segundo Teorema de Incompletitud de Gödel (1931)....Para profundizar sobre el tema del Problema del cardinal del continuo de Cantor se puede empezar leyendo los artículos divulgativos sobre el asunto de los profesores José Alfredo Amor (1946-2011, Departamento de Matemáticas de la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional de México (UNAM)) y Carlos Di Prisco (Instituto Venezolano de Investigaciones Científicas (IVIC)-Escuela de Matemáticas de la Facultad de Ciencias de la Universidad Central de Venezuela (UCV)) que se encuentran en la biblioteca digital de este blog y se pueden bajar, sus referencias son las siguientes:
(1) Artículo 1: EL PROBLEMA DEL CONTINUO DESPUÉS DE COHEN (1964-2004). Autor: JOSÉ ALFREDO AMOR. Aportaciones Matemáticas. Memorias 35 (2005) 71-80.
Resumen del artículo: "En este trabajo se expone en que consiste el nuevo axioma llamado Martin Máximo Acotado (BMM), el cual es un axioma que puede considerarse "natural" en cierto sentido y que junto con la teoría ZFE decide el problema del continuo de Cantor. El llamado Axioma de Martin (AM) es un conocido enunciado relacionado con la topología, la combinatoria infinita y el forcing, planteado por Donald Martin en 1970. En 1988 Foreman, Magidor y Shelah, formularon una versión fuerte maximal de AM y lo llamaron Martin Máximo (MM). También demostraron la consistencia de MM relativa a la existencia de un cardinal supercompacto. BMM es una modificación acotada de MM que resulta más débil y que decide el problema del continuo, en el sentido de que el cardinal del continuo es Alef_2. "
(2) Artículo 2: ARE WE CLOSER TO A SOLUTION OF THE CONTINUUM PROBLEM ?. Autor: Carlos Di Prisco. Re.Int.Fil., 28, Nº 2, Campinas, 2005, 331-350.
Resumen del artículo: "La Hipótesis del continuo ha motivado un desarrollo considerable de la teoría axiomática de conjuntos por más de un siglo. Presentamos de manera muy esquemática algunos resultados que suministran información referente al problema del continuo de Cantor."
Nota: Vale la pena resaltar que se puede encontrar más información al respecto en la biblioteca digital de este blog, por ejemplo allí se encuentra (y se puede bajar) el artículo del Profesor Joan Bagaria (Departament de Lógica, História i Filosofía de la Ciéncia. Universitat de Barcelona-Institució Catalana de Recerca i Estudis Avacats (ICREA)) que se titula: "NATURAL AXIOMS OF SET THEORY AND THE CONTINUUM PROBLEM". 2004. También, para estudiar las demostraciones de muchos de los teoremas sobre el tema, se encuentran en la biblioteca digital (y se pueden bajar) los libros "SET THEORY" de Jech (2000) y "SET THEORY" de Kunen (2006). Y también en la siguiente entrada web ("The Continuum Hypothesis") de la Enciclopedia de Filosofía de la Universidad de Stanford existe información importante y actualizada al respecto: https://plato.stanford.edu/entries/continuum-hypothesis/ . También se puede ver la siguiente (interesante) conferencia en youtube: "Problema 1 de Hilbert: La Hipótesis de continuo". Ponente: Ph.D. en Matemáticas Antonio Montalbán. University of California. Berkeley. Fecha: Septiembre 2021. Resumen del ponente sobre la charla: "La hipótesis del continuo dice que no hay ningún conjunto cuya cardinalidad esté estrictamente entre la de los números naturales y la de los números reales. Esta charla, parte de una serie sobre los problemas de Hilbert, organizada por la Universidad de la República en Uruguay, contamos lo que se sabe y lo que no sobre esta hipótesis. Contamos un poco sobre el resultado de Gödel quien prueba que no es refutable en ZFC, y el de Cohen, quien desarrolla la técnica de forcing para probar que no es demostrable en ZFC." El enlace para ver la ponencia es el siguiente: https://www.youtube.com/watch?v=wtA1VQ-UkPM