Matemáticas

Frase célebre 1: "Después de todo, ¿qué es la matemática sino la poesía de la mente, y qué es la poesía sino la matemática del corazón?". DAVID EUGENE SMITH. (1860—1944). Matemático estadounidense, educador, coleccionista, editor e historiador de las matemáticas. Frase célebre 2 : "Quizá lo más extraño de la ciencia moderna sea su regreso al Pitagorismo". Bertrand RUSSELL. (1872-1970). Matemático, Lógico, Filósofo, etc. Frase célebre 3: "Las Matemáticas son tanto un aspecto de la Cultura como una colección de algoritmos". C.B. BOYER (1906-1976). History of the Calculus and its conceptual development. Dover, New York. 1949. Frase célebre 4: "Conferimos a las ciencias matemáticas el poder dialéctico de ascender de la caverna a la luz, de lo visible a lo inteligible, de los sentidos a la esencia, por medio de la inteligencia". PLATÓN. República (532c). Frase célebre 5: "El poder que mueve la invención matemática no es (solo) el razonamiento sino la imaginación". AUGUSTUS DE MORGAN (1806−1871). Matemático y lógico británico nacido en la India. Frase célebre 6: "EL LIBRO DE LA NATURALEZA ESTÁ ESCRITO EN LENGUAJE MATEMÁTICO". GALILEO GALILEI (1564–1642), EL PADRE DEL MÉTODO CIENTÍFICO. Frase célebre 7: “Muchas personas que no han estudiado MATEMÁTICAS las consideran una ciencia árida e infructuosa. En realidad, sin embargo, es una CIENCIA que requiere un gran dosis de IMAGINACIÓN.” Sofia Kovalévskaya (1850-1891). Matemática rusa. Frase célebre 8: "La Matemática es la reina de las ciencias y la Aritmética es la reina de las Matemáticas". JOHANN CARL FRIEDRICH GAUSS (1777–1855). Matemático, Astrónomo, Geodesta, y Físico alemán. Frase célebre 9: "El número es el lazo de unión de la eterna persistencia de las cosas". PLATÓN. Timeo. Frase célebre 10: "La matemática ha avanzado más por aquellos que se distinguieron por su intuición que por pruebas rigurosas". Félix KLEIN. (1849-1925). Matemático alemán de gran trascendencia teórica, histórica y metodológica. Frase célebre 11: "Las matemáticas puras son, a su manera, la poesía de las ideas lógicas". Albert EINSTEIN (1879–1955).

La Hipótesis del Continuo de Cantor ¿Cuál es el cardinal del continuo?

La Hipótesis del Continuo de Cantor ¿Cuál es el cardinal del continuo?
¿ (En la actualidad) Estamos cerca de una solución del problema del cardinal del conjunto de los números reales ? ¿Estamos cerca de saber cuál es dicho cardinal o falta mucho todavía? Los intentos por determinar la cardinalidad del conjunto de los números reales (el cardinal del continuo) han contribuido sustancialmente con el desarrollo de la Teoría de Conjuntos. Hacia 1878 G. Cantor conjeturó que tal cardinal es el menor cardinal mayor que el cardinal de los números naturales (Alef_0), es decir, Alef_1. Esta hipótesis se denomina Hipótesis del continuo (HC) y Cantor no pudo demostrar la misma. Para David Hilbert la HC era tan importante que la colocó de primera en la lista de problemas presentada al Congreso Internacional de Matemáticas realizado en París en 1900; y uno de los resultados más destacados al respecto es la prueba de su independencia de los axiomas estándar de la Teoría de Conjuntos, la cual se debe a K. Gödel (1938) y a P. Cohen (1963-64), es decir, tales autores demostraron que si los axiomas estándar de la Teoría de Conjuntos son consistentes, entonces no se puede deducir de ellos la HC, ni la negación de la HC. Considerando esta independencia y además que (desde un punto de vista platonista) la HC es una proposición significativa la cual es verdadera o falsa, una de las investigaciones actuales más relevantes sobre el tema consiste en la búsqueda de nuevos axiomas que permitan decidir el cardinal del continuo. Vale la pena destacar que algunos de los candidatos a nuevos axiomas dicen que Cantor estaba equivocado, pues ellos implican que el cardinal del continuo es Alef_2, el menor cardinal mayor que Alef_1 (Gödel había intuido este resultado años antes). ¿ Qué ha pasado con el problema del cardinal del continuo después de Gödel (1938) y Cohen (1964) ? Intentos de responder esta pregunta pueden encontrarse en los artículos del Prof. José Alfredo Amor (1946-2011), "El Problema del continuo después de Cohen (1964-2004)", del Prof. Carlos Di Prisco , "Are we closer to a solution of the continuum problem", y del Prof. Joan Bagaria, "Natural axioms of set and the continuum problem" , que se encuentran en la biblioteca digital de este blog que aparecerá al hacer clic en la imagen. También se puede encontrar más información al respecto en dicha biblioteca, en las otras bibliotecas digitales referidas en este blog y en una entrada específica de este blog dedicada al tema (por favor leer esta entrada de primero). Y también en la siguiente entrada web ("The Continuum Hypothesis") de la Enciclopedia de Filosofía de la Universidad de Stanford existe información importante y actualizada al respecto: https://plato.stanford.edu/entries/continuum-hypothesis/

Cardinales grandes

Cardinales grandes
En este blog existe una entrada referida a este tema donde se colocan algunas referencias clásicas. Hacer clic sobre la imagen para tener acceso a dicha entrada.

Matemática aplicada

Matemática aplicada
Matemática Aplicada. Esquema del "Proceso de Modelación Matemática". Es muy interesante el tema de las aplicaciones de la matemática (en todas sus ramas) a las ciencias naturales y sociales. Hacer clic sobre la imagen para ver un video de youtube que presenta un resumen de diversas aplicaciones de la matemática a las ciencias, el video es del canal "EduMates". También en el siguiente video de youtube se puede ver una interesante entrevista al profesor de matemáticas Marcus du Sautoy realizada por Eduar Punset, en la cual el profesor Marcus habla sobre el tema de la aplicación matemática, el video se llama "Las Simetrías del Universo": https://www.youtube.com/watch?v=jegmxU9YS-s Un ejemplo de cómo crear un modelo matemático usando Ecuaciones Diferenciales (video de youtube del canal "MateFacil") es el siguiente: https://www.youtube.com/watch?v=V9UE2QmnDjw Otro ejemplo se puede ver en el siguiente video de youtube de "MateFacil": https://www.youtube.com/watch?v=WgWcxansYCs&t=18s Y otro ejemplo se puede ver en el siguiente video de youtube del canal "Matemáticas y física con tilde": https://www.youtube.com/watch?v=jXVJJoFTbeQ Es conocido que en internet (por ejemplo en "youtube") se pueden encontrar muchos otros videos tutoriales con ejemplos de aplicaciones matemáticas (de todas las ramas de las matemáticas). En el siguiente video de youtube se puede ver dos ejemplos de modelos (o fenómenos) estocásticos o probabilísticos: https://www.youtube.com/watch?v=8hHevhITp-c . En la biblioteca digital de este blog se pueden conseguir algunos libros con diferentes aplicaciones matemáticas.

viernes, 4 de agosto de 2017

El Teorema de Indecibilidad de Church y el Programa de David Hilbert

Tres artículos que hemos realizado Ricardo Da Silva y mi persona sobre el Teorema de Indecibilidad de Church y el Programa original de David Hilbert son los siguientes:

(1) Artículo 1: "El Teorema de Indecibilidad de Church (1936): Formulación y Presentación de las ideas principales de su demostración". . Apuntes Filosóficos. Vol 26, N 50 (2017). Se puede encontrar y bajar en el siguiente enlace de la web "Saber UCV": http://saber.ucv.ve/ojs/index.php/rev_af/issue/view/1641/showToc

Resumen: "El Teorema de indecidibilidad de Church es uno de los resultados meta-teóricos de mediados de la tercera década del siglo pasado, que junto a otros teoremas limitativos como los de Gödel y Tarski, han generado todo un sinfín de reflexiones y análisis tanto en el marco de las ciencias formales, esto es, la matemática, la lógica y la computación teórica, como fuera de ellas, en especial la filosofía de la matemática, la filosofía de la lógica y la filosofía de la mente. Nos proponemos, como propósito general del presente artículo, formular el Teorema de indecidibilidad de Church y presentar las ideas principales de su demostración. Para llevar a cabo el primer objetivo necesitamos introducir y explicar las nociones de función recursiva y la numeración de Gödel, que permitirán enunciar de manera formal y rigurosa el Teorema de Church. Luego que enunciemos el Teorema de indecibilidad de Church de manera formal y rigurosa, pasaremos a presentar las ideas principales de la prueba del Teorema de indecidibilidad de Church para la Lógica de primer orden, en la cual se utiliza el sistema axiomático de Robinson para la aritmética y cuatro hechos sobre él mismo: (a) En el sistema de Robinson para la aritmética las funciones recursivas son representables, (b) El sistema de Robinson es indecidible, (c) El número de axiomas propios del sistema de Robinson es finito y (d) El cálculo lógico del sistema de Robinson es igual (formalmente) al cálculo de la lógica de primer orden."



                                                            Alonzo Church (1903-1995)



                                                         David Hilbert (1862-1995)


(Nota relacionada con los tres artículos: Quisiera precisar que mi concepción filosófica con respecto  a la matemática es "platonista matemática" vinculada totalmente con el Pitagorismo, con el platonismo matemático de Cantor, con  el platonismo matemático [sofisticado] de Gödel, con el platonismo matemático moderado de Bernays, con la concepción de Galileo Galilei sobre la relación de la matemática con Dios y el mundo físico, con la concepción de la matemática expresada por John von Neumann en su artículo "El Matemático", con los 13 Principios de la Fe Judía compilados por Maimónides, con la Metafísica Mística Judía (Kabbalah), con el Arte, con la Ética, con la Aleatoriedad, con la Física cuántica, con la Fe y la Razón, y con el "Sólo sé que no se nada" de Sócrates. Para más detalles al respecto pueden escribirme por mi correo electrónico franklingalindo178@gmail.com . Ver la entrada de este blog que se llama "Dibujo de Escher donde se alude al INFINITO y alguna bibliografía sobre tal concepto (o entidad metafísica) desde una perspectiva matemática", allí comento un poquito sobre el tema. He tratado  detalladamente   al platonismo matemático-en la medida de mis posibilidades-en mi trabajo de investigación  llamado "Algunos tópicos de Lógica matemática y los Fundamentos de la matemática". (Vale la pena resaltar el importante papel que juega la "Intuición Matemática" en el platonismo matemático). Dicho trabajo se puede encontrar y bajar en el siguiente enlace de la web de "Saber UCV":  http://saber.ucv.ve/handle/123456789/16943 . Un resumen del mismo es el siguiente: "En este trabajo  filosófico-matemático  se estudian cuatro tópicos de la Lógica matemática:  El método de construcción de modelos llamado Ultraproductos, la Propiedad de Interpolación de Craig, las Álgebras booleanas y los Órdenes parciales separativos. El objetivo principal del  mismo  es analizar  la importancia que tienen  dichos tópicos para el estudio de los fundamentos de la matemática, desde el punto de vista del platonismo matemático. Para cumplir con tal objetivo se trabajará  en el  ámbito  de la Matemática, de la Metamatemática y de la Filosofía de la matemática. El desarrollo de la investigación  arrojó como resultado que  tales tópicos son  muy importantes para el estudio de los fundamentos de la matemática, desde el punto de vista del platonismo matemático, y en el trabajo se explica detalladamente con abundantes ejemplos el  porqué (al final de cada sección  y al final del mismo). ")



(2) Artículo 2: "Fragmentos decidibles e indecidibles de la lógica de primer orden". Apuntes Filosóficos. Vol 26, N 50 (2017). Se puede encontrar y bajar en el siguiente enlace de la web "Saber UCV": http://saber.ucv.ve/ojs/index.php/rev_af/issue/view/1641/showToc

Resumen: "El siguiente artículo tiene tres objetivos: (1) Presentar una actualización de una prueba de la decidibilidad de la Lógica de predicados monádicos en el contexto de la teoría de modelos contemporánea; (2) Mostrar ejemplos de fragmentos decidibles e indecidibles dentro de la Lógica de primer orden, ofreciendo una demostración propia, que usa una sugerencia de Nerode y Shore en su texto "Logic for Applications", del siguiente teorema: Son decidibles todas las fórmulas de la Lógica de primer orden tal que su forma normal prenexa quede de la siguiente manera: ∀x1,…,∀xn∃y1,…,∃ym φ(x1,…,xn,y1,…,ym); (3) Presentar un teorema que caracteriza la validez de la Lógica de Primer orden mediante la tautologicidad de la Lógica proposicional, dicho resultado es de interés, pues inmediatamente surge la duda de cómo conciliar tal caracterización con el Teorema de indecidibilidad de la Lógica de Primer orden de Alonzo Church (1936)".

Nota: La cláusula (2) del resumen anterior no aparece redactada en el artículo original como se está haciendo en esta entrada, sin embargo, será publicada de esta manera como "Fe de errata" muy pronto (Ricardo ya lo ha corregido en su web de "Academia.edu" agregando dicha fe de errata, falta sólo agregarla en la web de la revista "Apuntes filosóficos" con los editores de la misma), pues la redacción que aparece en la versión original no es la correcta, hubo un error involuntario. Esta aclaratoria también vale en el lugar de la introducción donde se habla sobre el tema. En la demostración del teorema si aparece conforme a la fe de errata. Cuando se lea el artículo por favor tener presente esta fe de errata.

(3) Artículo 3: "El Programa original de David Hilbert y el problema de la decibilidad". Episteme NS, Vol. 37, N 1 (2017). Se puede encontrar y bajar en el siguiente enlace de la web "Saber UCV": http://saber.ucv.ve/ojs/index.php/rev_ens/issue/current

Resumen: "En este artículo realizamos una reconstrucción del Programa original de Hilbert antes del surgimiento de los teoremas limitativos de la tercera década del siglo pasado. Para tal reconstrucción empezaremos por mostrar lo que Torretti llama los primeros titubeos formales de Hilbert, es decir, la defensa por el método axiomático como enfoque fundamentante. Seguidamente, mostraremos como estos titubeos formales se establecen como un verdadero programa de investigación lógico-matemático y como dentro de dicho programa la inquietud por la decibilidad de los problemas matemáticos y en específico la decibilidadd de la lógica de primer orden cobra peso. Luego pasamos a analizar como la inquietud por la decibilidad toma lugar dentro del pensamiento filosófico-matemático de Hilbert presentándose como uno de los grandes problemas a los cuales la metamatemática debe encontrar una solución, esto lo hacemos mostrando un contraste con autores, como John von Neumann y Roberto Torretti, quienes de alguna u otra manera no interpretan el problema de la decibilidad de la lógica de primer orden como un problema de peso dentro del programa original de Hilbert. Finalmente argumentamos que el resultado meta-teórico de Church puede entenderse como una refutación del optimismo intelectual que permea a todo el programa original de Hilbert".