Curso de Matemáticas vía web: "TEORÍA DE CONJUNTOS Y ANÁLISIS MATEMÁTICO". Impartido por el Prof. Franklin Galindo (Dr. en Matemáticas UCV).

(18-09-2023)

------------------------Prof. Franklin Galindo. (Dr. en Matemáticas UCV).................................. "EL LIBRO DE LA NATURALEZA ESTÁ ESCRITO EN LENGUAJE MATEMÁTICO". GALILEO GALILEI (1564–1642).

"TEORÍA DE CONJUNTOS Y ANÁLISIS MATEMÁTICO": Curso de Matemáticas vía web impartido por el Prof. Franklin Galindo (Dr. en Matemáticas UCV). Contacto: +584129953888, franklingalindo178@gmail.com . Mi síntesis curricular se puede encontrar en el siguiente enlace: https://ucv.academia.edu/FranklinGalindo/CurriculumVitae . El curso está divido en tres partes, muy bien diferenciadas, y se puede iniciar (el curso) cuando el(los) interesado(s) tenga(n) las posibilidades. También vale la pena resaltar que el curso esta siempre abierto para recibir nuevos estudiantes e iniciar el programa de formación con ellos. Excelente nivel académico y pedagógico. Experiencia académica universitaria. El profesor facilitará la bibliografía a utilizar. Dos clases semanales (de 2 horas cada una, 120 min). Horario a convenir. Costo del curso: Accesible y razonable, preguntar al profesor por whatsapp o correo gmail.

PRIMERA PARTE DEL CURSO: (Los interesados pueden ver sólo esta parte de curso, es independiente de las dos partes siguientes del curso)

Una construcción, a partir de los Axiomas estándar de la Teoría Axiomática de conjuntos de Zermelo-Fraenkel ZFC (sin usar el Axioma de Fundamentación y el Axioma de elección), del Sistema de los Números Naturales, del Sistema de los Números Enteros, del Sistema de los Números Racionales, del Sistema de los Números Reales y del Sistema de los Números Complejos. Se trabajará con los textos (entre otros) "Teoría de Conjuntos" de Carlos Di Prisco, "Elements set theory" de Herbert Enderton y "Number Systems and the Foundations of Analysis" de Elliot Mendelson. En los dos primeros textos referidos está solo una parte de la construcción, y la construcción completa está en el segundo texto mencionado. (Por simplicidad) empezaremos con Di Prisco ( "Teoría de conjuntos") y Enderton ("Elements set theory") allí se construyen N, Z, Q y una parte importante de R (usando "Cortaduras de Dedekind"), y luego terminaremos de hacer lo que falta de R y todo C, con el texto de Mendelson ("Number Systems and the Foundations of Analysis"). Walter Rudin, en su texto "Principios de Análisis Matemático", capítulo 1 ("Sistemas de números reales y complejos"), trata sobre dichas construcciones (de los reales como "Cortaduras de Dedekind", y de los complejos), de una manera resumida. [Relacionaremos las construcciones realizadas con los axiomas de "cuerpo ordenado completo" presentes en los textos de "Cálculo infinitesimal" de Spivak, "Calculus" de Apostol, y "Real Analysis" de Royden. Y también lo relacionaremos con los "Tres teoremas fuertes" mencionados por Spivak en su texto de "Cálculo Infinitesimal", y con el "método cotidiano de hacer matemática" que domina en los matemáticos contemporáneos (Quizá después de David Hilbert). Todos los libros referidos se pueden conseguir en la web (y el profesor los facilitará). Se anexa una imagen de los mismos.

SEGUNDA PARTE DEL CURSO: (Los interesados pueden ver sólo la primera parte y esta segunda parte del curso, ambas son independientes de la tercera parte)

Una construcción (a partir de ZFC) del Sistema de los números ordinales y del Sistema de los números cardinales (Los números transfinitos de Georg Cantor y su aritmética, "Aritmética de los números ordinales de Cantor" y "Aritmética de los números cardinales de Cantor"), y de la Jerarquía acumulativa de conjuntos (El Universo de los conjuntos, V). Se trabajará con los textos (entre otros): "Elements set theory" y "Teoría de Conjuntos" (antes mencionados). También se puede incluir en esta parte del curso (eventualmente) una breve introducción a la Teoría de Ramsey con una prueba del Teorema de Ramsey (con el cual se inicia dicha teoría). Y También se puede incluir en esta parte del curso (eventualmente) una breve introducción a los cardinales grandes (por ejemplo: Inaccesibles, Ramsey, medibles y supercontactos). [Nota: Es conocido que los cardinales grandes no se pueden construir con ZFC, como consecuencia del Segundo Teorema de incompletitud de Gödel]. Este último contenido mencionado (cardinales grandes) puede encontrarse en los siguientes textos (entre otros): Set Theory de Thomas Jech, "The Higher Infinite" de Kanamori, y "Model Theory" de Chang y Keisler. Tales textos se pueden conseguir en la web (y el profesor los facilitará).

TERCERA PARTE DEL CURSO: (Los interesados pueden ver sólo esta tercera parte del curso (si ya tienen conocimiento de las dos primeras partes), ella presupone las dos partes anteriores)

El último punto referido en el título El Problema de Continuo (Es decir: ¿Cuál es el cardinal del conjunto de los números reales R?) y el Problema de Suslin (Es decir: ¿En la caracterización (salvo isomorfismo) de la "Recta real", (R,<), como un "orden total, denso, no acotado, completo y separable (contiene un subconjunto denso numerable)", se pude sustitutir la propiedad de "separabilidad" por la propiedad de "condición de cadena contable" sin dañar la caracterización?). Pruebas de Independencia y Combinatoria infinita puede trabajarse a partir de los textos (entre otros): Set Theory de Kenneth Kunen y Set Theory de Thomas Jech. Estudiaremos las pruebas independencia de la Hipótesis del continuo (HC) y de la Hipótesis de Suslin (HS) de ZFC usando los principios combinatorios (combinatoria infinita) Delta-Lema, Axioma de Constructibilidad, Principio Diamante, Axioma de Martin, etc; además de los métodos de contrucción de modelos de la teoría de conjuntos "Forcing" y "Los constructibles de Gödel". También se realizará la demostración de que el Axioma de Elección (AE) es independiente del resto de los axiomas de ZFC,es decir, de ZF. [Eventualmente, también se puede dar el método de construcción de modelos llamado "Ultraproductos" muy útil para investigar (entre otros) cardinales grandes, y se pueden dar ejemplos de aplicaciones con algunos teoremas clásicos relevantes sobre cardinales grandes]. Los textos referidos se pueden conseguir en la web (y el profesor los facilitará). Se anexa una imagen de los mismos.

"EL LIBRO DE LA NATURALEZA ESTÁ ESCRITO EN LENGUAJE MATEMÁTICO". GALILEO GALILEI (1564–1642).

DOCUMENTAL: CONOCIMIENTOS PELIGROSOS. Dos interesantes videos (Primera y Segunda parte) sobre los trabajos de Cantor, Boltzmann, Gödel y Turing.

Dangerous Knowledge: Un interesante documental sobre los trabajos de Cantor, Boltzmann, Gödel y Turing. Dos videos: Primera parte y Segunda parte. NOTA: Esta primera y segunda parte parece que  ya no están en español en   la web (youtube), al menos de manera completa y gratuita  no está en youtube, la eliminaron. Se puede encontrar  una versión gratuita es en ingles, dividida en varias partes, meter el nombre en google y aparecerán los vídeos. Pero vale la pena resaltar que la primera parte y la segunda parte completas (y el documental completo) traducida al español existe, se puede conseguir de manera privada. Sugiero que cuando se vea dicho documental se ponga especial atención en el mismo al problema de la "INCERTIDUMBRE" que se alude en le mismo. Es muy importante (en mi opinión). La versión en ingles se puede conseguir en dos partes, anexo los dos enlaces: https://www.dailymotion.com/video/x8c24qz https://www.dailymotion.com/video/x8c24r0 (BBC Dangerous Knowledge)

Sobre el Primer Teorema de Lindström (1969) y el Método Metamatemático de Hilbert-Tarski (entre otros).

(Abril 2019)

-----------------------------------------PER LINDSTRÖM (1936-2009)------------------

---------------------DAVID HILBERT (1862-1943), ALFRED TARSKI (1901-1983)-----------

Un clásico e interesante resultado sobre la Lógica de Primer Orden es el PRIMER TEOREMA DE LINDSTRÖM (1969): "No existe una lógica con mayor capacidad expresiva que la Lógica de Primer Orden que satisfaga simultáneamente Compacidad y Löwenheim-Skolem". Este teorema proporciona  una caracterización de la Lógica de primer orden en el contexto de la Lógica Abstracta. Una demostración del mismo puede encontrarse en el texto MATHEMATICAL LOGIC de los autores Ebbbinghaus, Flum y Thomas. Springer. 1921. Existe una versión digital de dicho texto en la biblioteca digital de este blog (y se puede bajar). VER, POR FAVOR, DICHA DEMOSTRACIÓN EN TAL TEXTO, así se hará mucho más digerible lo que a continuación se comenta (muy resumidamente) en esta entrada.

Otra demostración puede encontrarse en el texto MODEL THEORY de Chang y Keisler,North-Holland, 1992. Existe también una versión digital de tal libro en la biblioteca digital de este blog (y se puede bajar). Y otra demostración puede encontrarse en el artículo de Xavier Caicedo titulado "CUANTIFICADORES GENERALIZADOS Y EL TEOREMA DE LINDSTRÖM", Acta Científica Venezolana 37: 243-250, 1986. (También en la tesis de licenciatura-en el área de Lógica Matemática- de Franklin Galindo (1997-UCV), titulada "Una Demostración del Teorema de Lindström", puede encontrarse una demostración detallada de dicho teorema realizada usando ideas de las referencias que se han colocado anteriormente de Ebbbinghaus, Flum, Thomas y Caicedo. El tutor de dicha tesis de licenciatura fue el Prof. Dr. Carlos Di Prisco.).

Vale la pena resaltar que tales demostraciones utilizan varias técnicas hermosas y sofisticadas de la Teoría de Modelos (Álgebra universal + Lógica = Teoría de Modelos), por ejemplo el Teorema de Fraissé el cual proporciona una caracterización de la relación de equivalencia elemental entre estructuras en términos de isomorfismos parciales (con la propiedad de "back-and-forth") entre estructuras, y también el concepto de "Lógica abstracta".

Considerando las referencias anteriores, una prueba del Teorema de Lindström se puede realizar, a grandes rasgos,  en tres partes ((1), (2) y (3)):

(1) Se demuestra el Teorema de Lindström en una primera versión, caso "compacidad numerable" (compacidad restringida a conjuntos numerables de sentencias) sin "eliminación" (una lógica tiene la propiedad de "eliminación" si se pueden  eliminar símbolos funcionales y constantes), es decir, en esta parte, se demuestra que, PARA EL CASO DE  LENGUAJES RELACIONALES FINITOS:  NO EXISTE UNA EXTENSIÓN DE LA LÓGICA DE PRIMER ORDEN, CON MAYOR PODER EXPRESIVO,  QUE SATISFAGA SIMULTÁNEAMENTE TEOREMAS ANÁLOGOS A LOS DE COMPACIDAD NUMERABLE Y LÖWENHEIM-SKOLEM.  En esta demostración las extensiones consideradas  tienen dos propiedades que satisface la lógica de primer orden: (a) Son cerradas bajo conjunciones y negaciones y (b) satisfacen  "relativización". Es importante  resaltar que esta primera  demostración (de esta primera versión del Teorema de Lindström) se hace por reducción al absurdo y que para formularlo y encontrar la contradicción se usan a su vez  TRES IDEAS  que utilizan  técnicas sofisticadas de la teoría de modelos como por ejemplo  las dos anteriormente mencionadas ("Teorema de Fraissé" y "la noción de Lógica abstracta"). La parte más medular de la  demostración del Teorema de Lindström es esta parte (1).

(2) Se extiende (1) demostrándose que para lenguajes relacionales cualesquiera no existe una extensión de la lógica de primer orden, con mayor poder expresivo, que satisfaga simultáneamente teoremas análogos a los de compacidad y Löwenheim-Skolem. Es decir, se demuestra una versión más cercana  del Teorema de Lindström que la versión (1). Esta demostración se hace considerando algunos resultados probados  por los autores Flum, Thomas y Ebbinghaus en la demostración que los mismos realizan del Teorema de Lindström (en el libro citado anteriormente que se llama "Mathematical Logic").

(3) Se extiende (2) demostrándose que para lenguajes cualesquiera no existe una extensión de la lógica de primer orden, con mayor poder expresivo, que satisfaga simultáneamente teoremas análogos a los de compacidad y Löwenheim-Skolem, es decir, en esta parte (3) se demuestra la versión final del Teorema de Lindström. Esta prueba se realiza adicionándole a las extensiones consideradas en (2)  la propiedad de "eliminación", una propiedad mencionada anteriormente en la parte (1).



 Ahora bien, como es conocido, ejemplos de lógicas más expresivas que la de primer orden son las de omega-orden (segundo orden,etc), pero las más relevantes para el Primer Teorema de Lindström son las lógicas intermedias entre primer y segundo orden con fórmulas de longitud infinita (de cualquier cardinalidad alef_alfa) o con cuantificadores generalizados (de cualquier cardinalidad alef_alfa) las cuales se propusieron hacia los años 50 del siglo pasado (aproximadamente 1950-60 por Mostowski, Karp, etc). Creo que es posible conectar de varias maneras el Primer Teorema de Lindström con el poderoso Método Metamatemático de David Hilbert-Alfred Tarski (entre otros). (1) Una de las maneras de conectarlo, tal vez la más inmediata, es que tal teorema es un resultado metamatemático pues cada una de las teorías lógicas que se considera en el mismo se define como una teoría matemática como es usual hacerlo en la Lógica Matemática, no es casual que tal teorema se encuentre (también) formulado y demostrado en el libro "Model theory" de Chang y Keisler. (2) Otra manera de conectarlo, también inmediata, es que dichas lógicas (las más expresivas) NO SON AXIOMATIZABLES, es decir, ellas son incompletas ya que Compacidad y Löwenheim-Skolem son un corolario de Completitud, entonces al no satisfacer Compacidad o Löwenheim-Skolem no satisfacen completitud (Nota: Dichas lógicas sí satisfacen la propiedad de Corrección). ¿Y cuántas lógicas más expresivas-del tipo descrito-existen? Infinitas, al menos dos por cada cardinal alef_alfa (una con fórmulas de longitud infinita y otra con cuantificadores generalizados), es decir la colección de todas esas lógicas es una clase propia que no puede ser un conjunto. (3) Creo que otra posible relación del Primer Teorema de Lindström con el Método Metamatemático de Hilbert-Tarski (entre otros)  surge de la respuesta a la pregunta: ¿ Cómo se ha consolidado (en la comunidad de los lógicos matemáticos del mundo contemporáneo) la lógica de primer orden como la lógica base para las matemáticas, a pesar de sus limitaciones expresivas las cuales son consecuencia de sus importantes propiedades de Compacidad y Löwenheim-Skolem?. Dicha pregunta se puede intentar responder en buena medida con el artículo del Profesor Gregory Moore: " UN HOGAR DIVIDIDO DENTRO DE SI MISMO: EL SURGIMIENTO DE LA LÓGICA DE PRIMER ORDEN COMO LA LÓGICA BASE PARA LAS MATEMÁTICAS". Dicho artículo, en su versión titulada "THE EMERGENCE OF FIRST-ORDER LOGIC", está en el texto HISTORY AND PHILOSOPHY OF MODERN MATHEMATICS de Aspray y Kitcher. Este texto se puede encontrar en el buscador de mano derecha (de este blog) y en la biblioteca digital (de este blog, y se puede bajar). En mi opinión la respuesta del Profesor Gregory Moore a dicha pregunta considera cinco hechos fundamentales (entre otros): (a) El Teorema de completitud de Gödel de la lógica de Primer Orden (1930), (b) Los Teoremas de Compacidad y Löwenheim-Skolem de la Lógica de Primer Orden, (c) Los Teoremas de incompletitud de Gödel de 1931 ("La Matemática no es axiomatizable"), (d) La simplicidad de la Lógica de primer orden, (e) Que la Teoría de conjuntos se puede desarrollar en primer orden (axiomatizar y demostrar sus teoremas conocidos), y que además todo teorema matemático conocido (de cualquier área de la matemática) se puede re-expresar y demostrar en tal teoría de conjuntos. Sin embargo, cuando uno quiere entender los detalles argumentativos de tal respuesta surgen algunas preguntas relacionadas con hechos probados de la lógica matemática después de 1940 (el profesor Gregory Moore afirma que la lógica de primer orden se consolidó como la lógica base de la matemática en la década 1930-1940, y uno quiere saber por qué continúa consololidada en la actualidad, como de hecho lo está). [por ejemplo el surgimiento de nuevos sistemas lógicos "omega-completos", como la lógica con cuantificadores generalizados "L_Q", y el surgimiento de nuevas técnicas de construcción de modelos en primer orden, después de 1940, e intentando responder alguna de dichas preguntas me ha surgido a mí la necesidad de recurrir al Primer Teorema de Lindström y a la Teoría de modelos en primer orden (dentro y fuera de la Teoría de conjuntos axiomatizada) para justificar completamente la respuesta del Profesor Moore en la actualidad (2019). Por ejemplo, una  pregunta es la siguiente: Dada una determinada axiomatización de la Teoría de conjuntos con una lógica L ¿qué tipo de problemas abiertos  pueden aparecer en dicha teoría de conjuntos axiomatizada: (i) Solamente problemas matemáticos, o, (ii) problemas   lógicos (si la lógica usada es incompleta) y problemas matemáticos? al respecto de (i) y (ii): ¿qué tipo de problemas desea encontrar e intentar  resolver un matemático estándar (es decir, un matemático no interesado en problemas de fundamentos) ?. Y una segunda pregunta es la siguiente: ¿Cuál es el papel de la Lógica de primer orden en la matemática contemporánea y en metamatemática contemporánea?, por ejemplo en la construcción de modelos en la teoría de conjuntos y en la teoría de modelos: técnicas de construcción de modelos como compacidad y Löwenhein-Skolem- Tarski hacia abajo y hacia arriba [modelos no estándar, es decir, modelos que son al mismo tiempo "no isomorfos" y "elementalmente equivalentes" al modelo estándar, y donde se podría aplicar el "Principio de Transferencia" como método para conocer nuevas verdades en el modelo estándar], los constructibles de Gödel L (1940), Constructibilidad relativizada L(A), Forcing (1963),  Forcing iterado, Modelos HOD(A), Modelos H(k), Modelos simétricos, Ultraproductos (1950), Modelos Fraenkel-Mostowski, etc. Es conocido que dichos modelos permiten probar teoremas metamatemáticos y también teoremas matemáticos. ES CONOCIDO QUE DICHO PAPEL (EL DE LA LÓGICA DE PRIMER ORDEN EN LA MATEMÁTICA CONTEMPORÁNEA Y EN LA METAMATEMÁTICA CONTEMPORÁNEA) ES MUY FRUCTÍFERO. ES DECIR, LA LÓGICA DE PRIMER ORDEN HA DEMOSTRADO SER ("EN EL QUEHACER MATEMÁTICO COTIDIANO") UN INSTRUMENTO (UN MÉTODO) DE INVESTIGACIÓN MATEMÁTICA EXTRAORDINARIAMENTE FRUCTÍFERO (MUY RICO EN NUEVOS RESULTADOS MATEMÁTICOS PRESENTES Y FUTUROS ("INAGOTABLE")). Es importante destacar acá que la matemática y la metamatemática contemporánea también usa otras lógicas distintas a la lógica de primer orden o fragmentos de otras lógicas para sus investigaciones (por ejemplo en la investigación de grandes cardinales), pero (hasta ahora) no en la misma proporción (o privilegio) que usa a la lógica de primer orden.] El Profesor Gregory Moore no menciona al Primer Teorema de Lindström en su artículo, lo que hace pensar que tal vez para su respuesta en el artículo no sea necesario dicho teorema, yo comparto su punto de vista (por varias razones) pero creo que como analizo otras posibilidades (preguntas, el momento actual, la matemática actual, la metamátematica actual, etc) me surge a mí la necesidad de recurrir a dicho teorema y a la teoría de modelos en primer orden (la cual ha demostrado ser  muy fructífica). El lector del artículo del Profesor Moore y de este pequeño comentario se creará su propia opinión al respecto.

Nota biográfica sobre Per Lindström: A continuación se agrega el enlace de un homenaje hecho a Per Lindström en la revista THEORIA, 2010, 76, 100-107. En dicho escrito se exponen sus principales contribuciones académicas (por ejemplo en "Teoría de Modelos abstracta", etc), los autores son Jouko Väänänen y Dag Westersáhl: http://www.math.helsinki.fi/logic/opetus/lt/Pelle.pdf. Esta es una imagen de la primera página del PDF:

Este es un resumen de lo dicho por Jouko Väänänen y Dag Westersáhl que se encuentra publicado en el enlace web: https://logic-gu.se/lindstrom-lectures/per-lindstrom/, se publica de manera textual, exacto a como está en la web mencionada:

Per (Pelle) Lindström
First professor of Logic and the University of Gothenburg
This is a much condensed version of the obituary by Väänänen and Westerståhl in Theoria 2010 (76) pages 100-107.

Per Lindström, or Pelle Lindström as he insisted on being called, was born on April 9, 1936, and spent most of his academic life at the Department of Philosophy, University of Gothenburg, in Sweden, where he was employed first as a lecturer (‘docent’) and, from 1991 until his retirement in 2001, as a Professor of Logic.

Lindström is most famous for his work in model theory. In 1964 he made his first major contribution, the so-called Lindström’s test for model completeness. In 1966 he proved the undefinability of well-order in Lω1ω (obtained independently and in more generality by Lopez-Escobar). The same year he also introduced the concept of a Lindström quantifier, which has now become standard in model theory, theoretical computer science, and formal semantics.

It was his 1969 paper ‘On extensions of elementary logic’ (in Theoria), where he presented his famous characterizations of first-order logic—Lindström’s Theorem—in terms of properties such as compactness, completeness, and Löwenheim-Skolem properties, that was first recognized as a major contribution to logic. It laid the foundation of what has become known as abstract model theory. The proof was based on Ehrenfeucht-Fraïssé games, a concept he came up with independently, and on a new proof of interpolation. Several other characterizations of first-order logic followed in later papers.

Beginning at the end of the 1970’s, Lindström turned his attention to the study of formal arithmetic and interpretability. He started a truly systematic investigation of this topic, which had been somewhat dormant since Feferman’s pioneering contributions in the late 1950’s. In doing so he invented novel technically advanced tools, for example, the so-called Lindström fixed point construction, a far-reaching application of Gödel’s diagonalization lemma to define arithmetical formulas with specific properties. Pelle Lindström had an exceptionally clear and concise style in writing mathematical logic. His 1997 book, Aspects of Incompleteness, remains a perfect example: it provides a systematic introduction to his work in arithmetic and interpretability. The book is short but rich in material.

Throughout his life, Pelle Lindström also took an active interest in philosophy. He participated in the debate following Roger Penrose’s new version of the argument that Gödel’s Incompleteness Theorems show that the human mind is not mechanical. He presented his own philosophy of mathematics, which he called ‘quasi-realism’, in a paper in The Monist in 2000. It is based on the idea that the ‘visualizable’ parts of mathematics are beyond doubt (and that classical logic holds for them). He counted as visualizable not only the ω-sequence of natural numbers but also arbitrary sets of numbers, the latter visualizable as branches in the infinite binary tree, whereas nothing similar can be said for sets of sets of numbers, for example.

Pelle Lindström passed away in Gothenburg, Sweden, on August 21, 2009, after a short period of illness.

Los Teoremas de Incompletitud de Gödel (1931): Algunas de las principales ideas utilizadas en su demostración.

(14-06-2019)

-----------------------------------KURT GÖDEL. 1906-1978.----------------------

Es conocida la gran importancia clásica y contemporánea que tienen los Teoremas de Incompletitud de Gödel (1931) en Lógica matemática (Teoría de conjuntos, Teoría de modelos, Teoría de la demostración y  computabilidad), Filosofía de las matemáticas, etc. Los teoremas de incompletitud de Gödel son dos: El "Primer teorema de incompletitud" y el "Segundo teorema de incompletitud". Algunas entradas de este blog tratan (implícita o explícitamente) sobre la relevancia de tales teoremas. En esta entrada se realiza una formulación informal de dichos teoremas y se mencionan algunas de las principales ideas matemáticas que utilizó Gödel para hacer la demostración de los mismos. Además se ofrece una bibliografía para estudiar intuitiva y rigurosamente tales ideas, dicha bibliografía se puede encontrar (mayoritariamente) en la biblioteca digital de este blog. Dos corolarios muy importantes de los teoremas de incompletitud de Gödel (que también están en la bibliografía referida) son el "Teorema de indecibilidad de Church" (1936) y el "Teorema de Indefinibilidad de Tarski" (1936), ambos corolarios evidencian - junto con los teoremas de incompletitud de Gödel - los límites del método axiomático, y detrás de estos cuatro resultados mencionados está presente un manejo sofísticado (usando funciones recursivas) de la idea de la "autorreferencia", idea clave del descomunal desarrollo de la lógica matemática en el siglo XX. Al final del escrito se formulan los Axiomas de Peano y se colocan dos ejemplos de proposiciones aritméticas (concretas) que son verdaderas y que no se pueden demostrar de la Aritmética de Peano, las cuales se descubrieron años después (1977 y 1982) de que Gödel probara sus teoremas (1931) construyendo una proposición abstracta indecidible, dichas proposiciones aritméticas concretas son: (i) una modificación  del Teorema de Ramsey finito, y (ii) El Teorema de Goodstien (sobre sucesiones de Goodstien). También, al final del escrito, se coloca una nota que conecta los teoremas de incompletitud de Gödel con la axiomática para teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC) y los grandes cardinales.

FORMULACIÓN (INFORMAL) DE LOS TEOREMAS DE INCOMPLETITUD DE GÖDEL:

Sea S un sistema axiomático recursivo y suficientemente fuerte como para deducir de él la Aritmética de Peano. Entonces: 

(1) Primer Teorema: Si S es consistente, entonces S es incompleto, es decir, S tiene proposiciones indecidibles, es decir, existe al menos una proposición A tal A y "no A" no son teoremas de S. 

(2) Segundo Teorema: Si S es consistente, entonces la fórmula "S es consistente" no es un teorema de S.

ALGUNAS DE LAS PRINCIPALES IDEAS MATEMÁTICAS UTILIZADAS EN LA DEMOSTRACIÓN DE LOS TEOREMAS DE INCOMPLETITUD DE GÖDEL SON LAS SIGUIENTES:

(a) LA NUMERACIÓN DE GÖDEL : A cada símbolo primitivo de S, término de S, fórmula de S, sucesión finita de formulas de S, etc, se le asigna de una manera efectiva un único (y distinto) número natural m ( su número de Gödel, su código), de una manera tal que dado un número natural n cualquiera se puede determinar de una manera efectiva cuál es su pre-imagen en el sistema S, es decir, se puede determinar efectivamente a que entidad del lenguaje de S (término, fórmula, sucesión finita de fórmulas, etc) corresponde o si no corresponde a ninguna. En este procedimiento efectivo es fundamental usar el hecho de que todo número natural mayor que uno se puede expresar de una manera única como un producto de potencias de números primos.

Definición: (Ver definiciones rigurosas en los textos referidos más abajo en esta entrada)

Sea B una fórmula cualquiera del lenguaje de la aritmética en primer orden. El número de Gödel de B se define mediante el siguiente esquema  general:

Número de Gödel (B) =  1.^er primo ^carácter × 2º primo ^carácter × 3.^er primo ^carácter etc.

Donde la expresión "carácter" se refiere a cada símbolo de B, de izquierda a derecha. 

Ejemplo:  Número de Gödel  de la fórmula z Q (z).

"Si el cuantificador universal tiene número de Gödel 2, la variable z tiene número de Gödel 16, el símbolo de predicados Q tiene número de Gödel 12, el paréntesis izquierdo tiene número de Gödel 6 y el paréntesis derecho tiene número de Gödel 7, entonces el número de Gödel de la fórmula  z Q (z) es el el siguiente: 2² × 3¹⁶ × 5¹² × 7⁶ × 11¹⁶ × 13⁷, porque {2, 3, 5, 7, 11,13,...} es la serie de primos, y 2, 16, 12, 6, 16, 7 son los códigos de los caracteres. Este es un número bastante grande, pero esta perfectamente determinado: 14259844433335185664666562849653536301757812500. "

(b) LA REPRESENTACIÓN Y LA EXPRESABILIDAD : Se usa en la demostración de Gödel ideas anáĺogas a lo que se hace en matemáticas en (por ejemplo) geometría y álgebra, es usual representar rectas en el plano por su ecuación y viceversa, y se resuelven problemas usando la perspectiva que más convenga.

(c) LAS FUNCIONES Y RELACIONES RECURSIVAS : Se define "función recursiva" a los fines de modelar matemáticamente la noción de "procedimiento efectivo", luego con la definición de "función recursiva" se define "relación recursiva". Un resultado fundamental que  demuestra Gödel es que sólo son representables en S las funciones y relaciones en los números naturales que son recursivas, y este resultado es clave para la demostración de los teoremas de incompletitud.

Una "función recursiva" se define en dos etapas como sigue (Ver definición rigurosa en la bibliografía que se menciona más abajo en esta entrada):

(1) Las siguientes son "funciones iniciales":

(1.1) La función  constantemente 0, Z(x) = 0, para toda x.
(1.2) La función sucesor, N(x) = x+1, para toda x.
(1.3) Las funciones proyección, U_i(x_1,...,x_i,...,x_n) = x_i

(2) Las siguientes reglas para obtener funciones a partir de las funciones dadas:

(2.1) Sustitución (composición). Ver definición en la bibliografía  que se refiere más abajo.
(2.2) Recursión. Ver definición en la bibliografía  que se refiere más abajo.
(2.3) Operador minimización. Ver definición en la bibliografía  que se refiere más abajo.

Una función f es "recursiva primitiva" si sólo si se puede obtener a partir de las funciones iniciales aplicando un número finito de veces las reglas (2.1) y (2.2).
Una función f es  "recursiva"  si sólo si se puede obtener a partir de las funciones iniciales aplicando un número finito de veces las reglas (2.1), (2.2) y (2.3).

Dos ejemplos de función recursiva es la suma y el producto sobre los naturales, la suma se define así:

x+0 = x
x+ (y+1) = N(x+y)

o más rigurosamente así:

f(x,0) = U_1(x)
f(x, y+1) = N(f(x,y))


(d) LA ARITMÉTIZACIÓN DE LA METAMATEMÁTICA DEL SISTEMA AXIOMÁTICO S : Afirmaciones metamatemáticas sobre S ("A es un a axioma de S", "B es un teorema en S", "S es consistente", etc) se re-escriben como relaciones sobre los naturales usando la numeración de Gödel, y tales relaciones en los naturales serán recursivas y por lo tanto serán representables en S, es decir, S podrá referirse a sí mismo ("auto-referencia"), pero hasta cierto punto matemáticamente permitido: Relativo a la recursividad.

(e)  LA DIAGONALIZACIÓN DE CANTOR, LA "AUTO-REFERENCIA" Y LA PARADOJA DE RICHARD : Para fabricar una fórmula indecidible de S y demostrar que efectivamente dicha fórmula, y su negación,  NO son teoremas de S (bajo la hipótesis de que S es consistente), Gödel usa un método análogo al utilizado por Cantor para probar que el conjunto de los números reales no es numerable, tal método se conoce como método de la diagonal, Gödel logra hacer esto apoyándose en un nivel matemáticamente permitido de "auto-referencia" de una manera bastante genial que realiza gracias a la numeración (codificación) y las demás ideas mencionadas anteriormente [(a), (b), (c) y (d)], favor leer la "paradoja de Richard" más adelante en esta entrada  y relacionar dicha lectura con lo que estoy diciendo, quizás se pueda decir que la idea medular de la prueba de la indecibilidad de S (si S es consistente) que realiza  Gödel está sugerida heurísticamente en la "paradoja de Richard".

Una presentación y explicación intuitiva de dichas ideas (por separado y de cómo se utilizan en conjunto las mismas para la demostración de los teoremas) puede encontrarse en los siguientes dos textos (entre otros): (1) A. Hamilton. LOGICA PARA MATEMATICOS.Paraninfo. 1981; y (2) E. Nagel y J. Newman. EL TEOREMA DE GÖDEL. Tecnos. 2005. Una presentación y explicación de las demostraciones rigurosas de los teoremas usando dichas ideas puede encontrarse en los siguientes dos textos (entre otros): E. Mendelson. INTRODUCTION TO MATHEMATICAL LOGIC. Chapman & Hall/CRC. 1997. Y (2) H. Enderton. UNA INTRODUCCION MATEMATICA A LA LOGICA. Elseiver Inc- UNAM. México 2004. Y una versión en español del artículo original de Gödel sobre estos teoremas ("Sobre sentencias formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas afines") puede encontrarse en el texo "KURT GÖDEL: OBRAS COMPLETAS", Alianza, 1981.   La mayoría de estos libros pueden conseguirse en la biblioteca digital de este blog.

Nota adicional sobre un aspecto del  item "e" presentado anteriormente, es decir, nota adicional sobre  la "AUTO-REFERENCIA"  como una idea importante (clave) en las pruebas de incompletidud Gödel :

(Como se dijo anteriormente) Una idea que según algunos autores utilizó Gödel para hacer su demostración es la "auto-referencia". A continuación se presenta una imagen de la fórmula "auto-referente" creada por Gödel para demostrar su Primer Teorema de Incompletitud (1931), dicha fórmula dice sobre si misma " Yo no soy demostrable en el sistema axiomático de la aritmética" (Nota: En la imagen, el número (o código) de Gödel de TODA la fórmula que aparece es nombrado por la expresión "sust(n,13,n)").

¿ Y cuál es la relación de esta fórmula "auto-referente" de Gödel (1931) con la "paradoja de Richard" (1905)? ¿Qué papel juegan la "auto-referencia" y la "paradoja de Richard" en el argumento de Gödel? ¿juegan un papel importante o es irrelevante? En el Texto "EL TEOREMA DE GÖDEL" de Ernest Nagel y James Newman (el cual se puede encontrar y bajar en la biblioteca digital de este blog) se sugiere que la "auto-referencia" y la "paradoja de Richard" juegan un importante papel en el argumento de Gödel (esto también se sugiere en todos los textos de Lógica Matemática que he leído), considero personalmente que juegan un papel importante (clave) en la heurística de la demostración (notar la relación de esta paradoja con la prueba de la diagonal de Cantor, la cual realizó para demostrar que el conjunto de los números reales no es numerable), a continuación se presentan textualmente lo que expresan Nagel y Newman sobre el asunto, y luego de la cita textual-como apéndice-se enunciarán los Axiomas de Peano para la aritmética, se presentarán dos ejemplos de proposiciones indecidibles concretas de la Aritmética de Peano que se descubrieron años más tarde de que Gödel realizará su prueba (1931) construyendo una proposición aritmética abstracta indecidible, dichas proposiciones aritméticas concretas son: (i) una modificación  del Teorema de Ramsey finito, y (ii) El Teorema de Goodstien (sobre sucesiones de Goodstien), y el tercer apéndice se refiere a una consecuencia del Segundo Teorema de incompletitud de Gödel en la teoría de conjuntos, esta consecuencia es: De ZFC no se puede probar que existen cardinales inaccesibles. Continuamos este artículo entonces  con la cita textual de Nagel y Newman y luego pasamos a los apéndices:

“ ¿Cómo demostró Gödel estas conclusiones? Hasta cierto punto, la estructura de su argumentación está moldeada, como él mismo hizo notar, sobre el razonamiento implicado en una de las antinomias lógicas conocida como la “paradoja richardiana”, propuesta por el matemático francés Jules Richard en 1905. Explicaremos en qué consiste esta paradoja. Considérese un lenguaje (por ejemplo, el español) en el que se puedan formular y definir las propiedades puramente aritméticas de los números cardinales. Examinemos las definiciones que pueden ser expresadas en dicho lenguaje. Resulta claro que, so pena de caer en círculo vicioso o regreso al infinito, no pueden definirse explícitamente algunos términos que hacen referencia a propiedades aritméticas —ya que no podemos definirlo todo y debemos empezar en alguna parte—, aunque, presumiblemente, pueden ser comprendidos de alguna otra manera. Para el objeto que nos ocupa, es indiferente cuáles sean los términos no definidos o “primitivos”; podemos, por ejemplo, dar por supuesto que comprendemos lo que se quiere decir con “un número entero es divisible por otro”, etc. La propiedad de ser un número primo puede ser definida como “no divisible por ningún otro número entero más que por sí mismo y la unidad”; la propiedad de ser un cuadrado perfecto puede ser definida como “ser el producto de algún número entero por sí mismo”, etc. Fácilmente podemos ver que cada una de tales definiciones contendrá solamente un número finito de palabras y, por consiguiente, sólo un número finito de letras del alfabeto. Siendo esto así, las definiciones pueden ser ordenadas en una serie: una definición precederá a otra si el número de letras de la primera es menor que el número de letras de la segunda; y si dos definiciones tienen el mismo número de letras, una de ellas precederá a la otra atendiendo al orden alfabético de las letras contenidas en cada una. Sobre la base de este orden, a cada definición corresponderá un único número entero, que representará el lugar que ocupa la definición en la serie. De este modo, la definición que menos letras tenga corresponderá al número 1, la siguiente definición de la serie correspondería al 2, y así sucesivamente. Dado que cada definición está asociada a un único número entero, puede ocurrir en algunos casos que un número entero posea la misma propiedad expresada por la definición con la cual está asociado. Supongamos, por ejemplo, que la expresión definidora “no divisible por ningún número entero más que por sí mismo y por la unidad” se halla en correlación con el número de orden 17; evidentemente, el 17 tiene la propiedad designada por esa expresión. Por otra parte, supongamos que la expresión definidora “ser el producto de algún número entero por sí mismo” se halla en correlación con el número de orden 15; está claro que 15 no posee la propiedad designada por la expresión. Describiremos la situación existente en el segundo ejemplo diciendo que el número 15 tiene la propiedad de ser richardiano, y la del primer ejemplo, diciendo que el número 17 no tiene la propiedad de ser richardiano. Hablando en términos más generales, definimos “x es richardiano” como una forma abreviada de declarar “x no tiene la propiedad designada por la expresión definidora con la que se halla relacionado en la serie ordenada de definiciones”. Llegamos ahora a un punto curioso, pero característico, de la proposición en que consiste la paradoja richardiana. La expresión definidora de la propiedad de ser richardiano describe ostensiblemente una propiedad numérica de los enteros. La expresión misma pertenece, por tanto, a la serie de definiciones ya enunciadas antes. De aquí se desprende que la expresión está relacionada con un número entero determinador de su posición. Supongamos que este número es n. Y ahora planteamos la cuestión, con ciertas reminiscencias de la antinomia de Russell: ¿Es n richardiano? El lector puede, sin duda alguna, anticipar la fatal contradicción que amenaza ahora. Porque n richardiano si, y solamente si, n carece de la propiedad designada por la expresión (definidora) con la que está relacionado (esto es, si carece de la propiedad de ser richardiano). En resumen, n es richardiano si, y solamente si, n no es richardiano; de modo que la declaración “n es richardiano” es verdadera y falsa a la vez. Debemos hacer notar ahora que la contradicción es, en cierto sentido, una consecuencia derivada de no jugar del todo limpio. Se ha deslizado, por ser útil, una esencial pero tácita hipótesis subyacente bajo la ordenación sucesiva de las definiciones. Se había acordado considerar las definiciones de las propiedades estrictamente aritméticas de los números enteros, es decir, propiedades que pueden formularse con ayuda de nociones tales como las de adición aritmética, multiplicación, etc. Pero entonces, sin previo aviso, se nos invita a que metamos dentro de la serie una definición que se refiere a la notación utilizada para formular las propiedades aritméticas. Más concretamente, la definición de la propiedad de ser richardiano no pertenece a la serie inicialmente proyectada, porque esta definición implica nociones metamatemáticas tales como el número de letras (o signos) que se dan en las expresiones. Podemos soslayar la paradoja de Richard distinguiendo cuidadosamente entre las proposiciones que se producen dentro de la aritmética (que no hacen ninguna referencia a sistema alguno de notación) y las proposiciones acerca de algún sistema de notación en el que se codifica la aritmética. Existe una evidente falacia en el razonamiento empleado para la construcción de la paradoja de Richard. La construcción sugiere, no obstante, la idea de que cabe la posibilidad de “representar” o “reflejar” declaraciones metamatemáticas acerca de un sistema formal suficientemente amplio dentro del sistema mismo. La idea de la “representación” es sobradamente conocida y desempeña un papel fundamental en muchas ramas de las matemáticas. Se utiliza para la construcción de los mapas ordinarios, en la que las formas existentes en la superficie de una esfera se proyectan sobre un plano, de tal modo que las relaciones entre las figuras del plano reflejan las relaciones entre las figuras de la superficie esférica. Se utiliza en la geometría de coordenadas, que traduce la geometría al álgebra de modo que la relaciones geométricas quedan representadas por otras algebraicas.”. El TEOREMA DE GÖDEL. Ernest Nagel y James Newman. Páginas 78-82.

                                                    Jules Richard (1862-1956)

(Parodoja de Richard, versión original: "Si se numeran los números reales que se pueden definir con un número finito de palabras, se puede construir, usando el "Argumento diagonal de Cantor", un número real fuera de esta lista. Sin embargo, este número ha sido definido con un número finito de palabras.")

Nota: En el texto "Introduction to Mathematical Logic" de Mendelson antes mencionado  la proposición indecidible y auto-referente que afirma su propia indemostrabilidad (llamada a veces "G"), se consigue usando un lema llamado "Lema de Diagonalización" (páginas 203-204) y el "Teorema del Punto fijo (páginas 204-205)". En ambos resultados la idea de AUTOREFERENCIA  es clave. Otras pruebas del interesante Teorema del punto fijo se pueden encontrar en el texto "Mathematical Logic" de Ebbinghaus, Flum y Thomas, Springer, 1980, página 174. Y en el libro "Una introducción matemática a la lógica" de Enderton, UNAM, 2004, páginas 337-338. Entre otros textos. Ver. Vale la pena resaltar que el Lema de diagonalización y el Teorema del punto fijo expresan el mismo resultado lógico-matemático, por esa razón los términos "Lema de Diagonalización" y "Teorema del punto fijo" son usados a menudo de forma intercambiable, indistinguible.

APÉNDICE 1: LOS AXIOMAS DE PEANO. 

Giuseppe Peano (1858-1932)

                                                      

Se presenta a continuación una formulación de "LOS AXIOMAS DE PEANO" para la Aritmética que se ha conseguido en internet (notar que en la versión de los axiomas de la parte de abajo de la lámina existen  tres  conceptos primitivos: "cero", "número" y "sucesor"). Vale la pena resaltar que "LA TEORÍA FORMAL DE NÚMEROS EN PRIMER ORDEN" con que se trabaja (por ejemplo) en el texto de Mendelson para demostrar que la misma es incompleta (El Teorema de Incompletitud de Gödel), es una modificación rigurosa de esta axiomática para convertirla en una teoría axiomática de primer orden rigurosa, para ello se modifican tales axiomas de la siguiente manera: (i) El Principio de Inducción Matemática se re-escribe en primer orden como un esquema de axioma (notar que esta formulado-informalmente-en segundo orden), (ii) se agregan cuatro axiomas para definir de manera inductiva (recursiva) a la "operación suma" y a la "operación producto", dos axiomas para cada operación (caso base y caso inductivo), (iii) se agregan los axiomas lógicos y las reglas de inferencia del Cálculo de Predicados de Primer Orden, etc. Para ver los detalles (símbolos no lógicos utilizados, forma específica de los axiomas, etc) de lo que se esta afirmando puede consultarse el libro de Hamilton ("LÓGICA PARA MATEMÁTICOS") o de Mendelson ("INTRODUCTION TO MATHEMATICAL LOGIC"), citados anteriormente. 

APÉNDICE 2: DOS EJEMPLOS DE PROPOSICIONES ARITMÉTICAS CONCRETAS (NO TAN ABSTRACTAS COMO LA SENTENCIA INDECIDIBLE CREADA POR GÖDEL) VERDADERAS QUE NO SE PUEDEN DEMOSTRAR CON LOS AXIOMAS DE PEANO.

Ejemplo 1 : Una modificación del Teorema de Ramsey finito. Tal proposición fue descubierta por Paris y Harrington en 1977, y ellos también demostraron que la misma no es demostrable de la Aritmética de Peano. Una definición y demostración rigurosa de dicha proposición ("la modificación del Teorema de Ramsey finito") se puede encontrar en el texto "Teoría de conjuntos" de Carlos Di Prisco (página 109), el cual esta en la biblioteca digita de este blog. En tal  texto también esta una referencia de la prueba de que dicha proposición ("la modificación del teorema de Ransey finito") no se puede demostrar de la Aritmética de Peano.

Ejemplo 2: El Teorema de Goodstien (sobre sucesiones de Goodstien). Para una formulación y demostración rigurosa de dicho teorema puede consultarse el texto "Introduction to set theory" de Hrbacek y Jech (páginas 124-127), el cual se encuentra en la biblioteca digital de este blog. Vale la pena resaltar que la demostración de tal teorema utiliza el resultado conocido y muy hermoso sobre los números ordinales (transfinitos) llamado "Forma normal de Cantor" (Forma normal de Cantor: "Todo número ordinal se puede expresar de una manera única como una suma de potencias del ordinal omega,con algunas características específicas, es decir, se puede representar con un omega-polinomio"). La prueba de que dicho Teorema (el de Goodstien) no es demostrable con al Aritmética de Peano es de Kirby y Paris en 1982. Sobre el tema también se puede consultar el artículo "Hércules contra la hidra y la muerte del internet" de Eduardo Piza Volio, el cual también esta en la biblioteca digital de este blog; y la entrada de la web de Gaussianos: http://gaussianos.com/la-sucesion-de-goodstein/.

A continuación se presenta una imagen del "Teorema de la Forma normal de Cantor", y también se presenta una imagen del texto "Introduction to set theory" de Hrbacek y Jech:

APÉNDICE 3: DE ZFC NO SE PUEDE PROBAR QUE EXISTEN CARDINALES INACCESIBLES COMO CONSECUENCIA DEL SEGUNDO TEOREMA DE INCOMPLETITUD DE GÖDEL.

En efecto,   una consecuencia del segundo teorema de incompletitud de Gödel en la teoría de conjuntos es que de  ZFC no se puede probar que existen cardinales inaccesibles, esto se debe a que si existe un cardinal inaccesible k, entonces  se puede probar (con ZFC)  que V_k es un modelo de ZFC, lo cual es equivalente a afirmar que de ZFC se deriva la proposición "ZFC es consistente", contradiciendose el Segundo Teorema de incompletitud de Gödel. Ver los detalles de la demostración en la página 167 del texto "Set Theory" de Thomas Jech (Springer, 2002), dicho texto está en la biblioteca digital de este blog y se puede bajar. A continuación se presenta una imagen del texto mencionado:

OBSERVACIÓN FINAL:

(a) Dos notas importantes sobre las demostraciones de los Teoremas de incompletitud que hizo Gödel pueden leerse en los textos "INTRODUCTION TO MATHEMATICAL LOGIC" .Cuarta edición. Autor: Elliott Mendelson. Chapman & Hall. 1997. Y "EL TEOREMA DE GÖDEL" de Nagel y J. Newman. Tecnos. 2005. Páginas 213 y 117-121, respectivamente. La nota del texto de Mendelson tiene que ver con las investigaciones lógico-matemáticas del destacado filósofo y matemático Solomon Feferman (1928-2016) sobre la prueba del Segundo Teorema de incompletitud de Gödel, y la nota de Nagel y Newman son reflexiones finales sobre los alcances y consecuencias de los teoremas. Es muy importante leer ambas (en mi opinión) para reflexionar sobre los alcances reales de tan importantes resultados. 

(b) Para culminar con esta entrada les digo a los  lectores que [además de la demostraciones matemáticas] también estén interesados  en estudiar  la relación de los Teoremas de incompletitud de Gödel con la Filosofía de la matemática que pueden escribirme al correo electrónico  franklingalindo178@gmail.com para recomendarles algunos artículos y textos a los fines de que profundicen al respecto. Para estudiar las demostraciones matemáticas  rigurosas de los Teoremas de incompletitud de Gödel  la bibliografía   que se ofreció aquí en esta entrada con anterioridad es suficiente.

Dibujo de Escher donde se alude al INFINITO y alguna bibliografía sobre tal concepto (o entidad metafísica) desde una perspectiva matemática

Para mayor información sobre el tema del INFINITO se puede leer (por ejemplo) el artículo de David Hilbert "ACERCA DEL INFINITO" que está en su texto "FUNDAMENTOS DE LA MATEMÁTICA" el cual se puede conseguir en la biblioteca digital de este blog, y también el artículo "EL INFINITO" del Prof. Thomas Jech, el cual también se encuentra en la biblioteca digital de este blog. También se puede leer (a un nivel más introductorio) el cuento de David Hilbert "EL GRAN HOTEL CANTOR: UN HOTEL INFINITO" que se puede conseguir (y bajar) en la biblioteca digital de este blog o en el siguiente enlace http://sgpwe.izt.uam.mx/files/users/uami/lrm/Mate_I_CSH/El_Gran_Hotel_Cantor.pdf

---------------------------------Maurits Cornelis Escher (1898-1972)--------



(16-11-2023). K=∫p(π,⚛️,Φ,✡️espא)dE .[Kabalá y Ciencia]. Pasamos ahora a otro tema distinto al título de esta entrada: Aprovecho este espacio para presentar la siguiente imagen:

Es una imagen de una fórmula que puede ser un "modelo matemático" de la Kabbalah ("Recepción", "La Doctrina Místico-Metafísica Judía", "La Ciencia de la Verdad", "La Ciencia de la Creación", etc). Tal vez SÍ sea un modelo o tal vez NO lo sea.

En la fórmula (una metáfora de una integral impropia), la expresión "p(m,c.f,j)" es una función del pensamiento que depende (en este modelo) de cuatro variables: La Matemática (m), La Ciencia en General (física, química, biología, etc) (c), La Filosofía ("amor a la sabiduría") (f), y el Judaísmo (j). "dE" son fracciones infinitesimales de la realidad (de la Creación, de la Existencia) a la cual se aplica en profundidad la función del pensamiento "p(m,c,f,j)". "V" es la Verdad. "R" es la Realidad (La Creación, la Existencia). "1*" significa la unificación de la Verdad con la Realidad. "V(R)" significa lo mismo que "1*". "K" es la Kabalá. El resto de la fórmula tiene que ver con (una generalización de) la idea intuitiva (geométrica), matemática, usual, de la noción de integral [por ejemplo es conocido que para calcular el área de la región del plano debajo de una función f de R en R en el intervalo cerrado [a,b] se considera el límite de las sumas de áreas de los rectángulos infinitesimales (f(x).dx) que aproximan dicha región]. En nuestro caso (general), en cada fragmento infinitesimal de la existencia, "dE", cuando se le aplica "p(m,c,f,j)" al mismo (con todo el rigor posible) el resultado es un fragmento infinitesimal de la Verdad, es decir, un fragmento infinitesimal de la Teoría sobre la Realidad (restringido a "dE"), denotado así: "p(m,c,f,j)dE", de tal manera que se cumple: "p(m,c,f,j)dE" es verdad (aproximada) en "dE"", denotado así: "dE" ⊨* "p(m,c,f,j)dE". Todo lo dicho anteriormente es la idea básica del posible modelo. Quizás la "fórmula" presentada consiste más exactamente en una descripción subjetiva de la Kabbalah, en una especie de "regla mnemotécnica" personal con respecto a dicha interesante, hermosa y útil doctrina.

Lo dicho anteriormente en esta pequeña nota se inscribe en el siguiente contexto:

"El fundamento básico de la Torá y el principio central de la sabiduría consiste en saber que existe un ser primordial, el cual creo todo lo que existe, siendo que todo lo existente, en los cielos, en la tierra y entre ambos, no existe sino por la esencia de su existencia”. Maimónides (1135-1204).

Ahora se presenta otra imagen (en dos versiones), relacionada con la nota anterior:

Nombre de la imagen: "Epítome de la percepción de la realidad por parte de un kabalista". Autor: El autor de esta entrada.

Nombre de la imagen: "Epítome de la percepción de la realidad por parte de un kabalista". Autor: El autor de esta entrada.

Se continúa esta entrada con la siguiente valiosa información de las 4 Reglas de René Descartes (1596-1650) presentadas en su obra "Discurso del Método" a los fines de conocer, pueden ser muy útiles, favor hacer clic sobre la segunda imagen que contiene las 4 reglas para poder leer las letras de manera ampliada (aumentando el zoom de la pantalla):

[Vale la pena resaltar que estas 4 Reglas de Descartes combinadas (adecuadamente) con el Método de los 4 pasos para resolver problemas matemáticos del profesor George Polya (1887-1985) resultan ser muy útiles, un gran apoyo para la investigación matemática y la investigación en general: Los cuatro pasos son: (1) Entender el problema, (2) Configurar un Plan, (3) Ejecutar el Plan, y (4) Mirar hacia atrás (Reflexione y revise). Ver la descripcción detallada de los 4 pasos en el texto (respectivo) del profesor Polya, también aparecen en otros textos, por ejemplo en los excelentes textos de Precálculo y Cálculo del Profesor James Stewart. Más abajo en esta misma entrada se vuelve comentar un poquito sobre estos cuatro pasos del profesor Palya en relación con la matemática aplicada.]

----------------------------------------(René Descartes, 1596-1650)--------------------------------

Ahora se continúa con esta entrada presentando un pequeño comentario sobre Galileo Galilei (1564-1642), las matemáticas y la ciencia en general:

                           

                                                     
                                                       Galileo Galilei (1564-1642)

Galileo Galilei: Astrónomo, filósofo, ingeniero, matemático y físico italiano. Para algunos destacados científicos  contemporáneos,  Galileo es (probablemente) el máximo responsable del nacimiento de la ciencia moderna.  Se le atribuyen las siguientes  expresiones (entre otras): (a) "Las matemáticas son el lenguaje en el que Dios escribió el universo", y  (b)  "La filosofía [Filosofía Natural, lo que hoy llamaríamos Ciencia] está escrita en ese grandísimo libro que continuamente está abierto ante nuestros ojos (a saber, el universo), pero no puede entenderse si antes no se procura entender su lenguaje y conocer los caracteres en que está escrito. Este libro está escrito en lenguaje matemático, y sus caracteres son triángulos, círculos, y otras figuras geométricas, sin las cuales es totalmente imposible entender humanamente una palabra, y sin las cuales nos agitamos vanamente en un oscuro laberinto" .  La fuente de la primera cita es el artículo de Luis Ricardo Dávila titulado "Verdad científica y literatura (A propósito de Galileo Galilei 1564-1642)", publicado en "Bitácora-e, Revista electrónica de Estudios Sociales, Históricos y Culturales de la Ciencia y la Tecnología", año 2014, N 2. (página 11 de dicho artículo).  Y la fuente de  la segunda cita es el texto de Galileo "Il  Saggiatore", ("El Ensayador"), 1623 (según el  "Diccionario de Filosofía" de Ferrater Mora, Ariel, 2001, entrada "Galileo Galilei", pág. 1426). Vale la pena resaltar que según la primera fuente mencionada ambas citas están en el texto de Galileo "Il Saggiatore" de 1623.

Se continúa esta entrada presentando dos comentarios cortos de Bertrand Russell (1872-1970) relacionados con las matemáticas y la ciencia contemporánea (en relación con la ciencia antigua):

----------------------------------------(Bertrand Russell, 1872-1970)--------------------------------

"Quizá lo más extraño de la ciencia moderna sea su regreso al Pitagorismo". Bertrand RUSSELL. La Nation. (27-10-1924).

“Aunque los Principia de Newton conservan la forma deductiva, inaugurada por los griegos, su espíritu es del todo diferente del de la ciencia griega, toda vez que la ley de la gravitación, que es una de sus premisas, no es supuesta como evidente por sí misma, sino que se llega a ella inductivamente, a partir de las leyes de Képler. El libro, por eso, ilustra el método científico de la forma ideal. De la observación de hechos particulares llega por inducción a una ley general, y por deducción de la ley general son inferidos los hechos particulares”. BERTRAND RUSSELL, La perspectiva científica, Ariel, Barcelona, 1975, pág33.

---------------------------------------Pitágoras (570 A.C-490 A.C)------------------------------------

Para continuar con esta entrada vale la pena destacar que es muy conocida la enorme importancia de la matemática para la ciencia, una gran cantidad de ejemplos de aplicaciones de la matemática  a  la ciencia  puede encontrarse  en los textos de Precálculo, Cálculo Diferencial, Cálculo Integral, Cálculo Vectorial, Variable compleja, Ecuaciones diferenciales, Probabilidades y Estadística, Matemáticas discretas y Combinatoria,Teoría de números, Aritmética, Álgebra, Geometría diferencial, Lógica matemática, Matemáticas computacionales, etc, de las carreras universitarias de ciencias o ingeniería.  ¿En que consiste la Matemática aplicada? el  profesor Herbert Enderton, del Departamento de Matemáticas de la Universidad de California, responde esta pregunta de una forma sencilla en su texto "Elements of Set Theory", Academic Press, 1977 (libro que se puede encontrar y bajar de la biblioteca digital de este blog):