Números reales, Propiedad de Ramsey, Propiedad de Subretículo, Propiedad de Partición Polarizada y Propiedad de Bernstein. (Más sobre Combinatoria Infinita: Teoría de Particiones y Topología.).

(Enero 2018)

Más adelante  se definirán las cuatro  propiedades de partición  mencionadas en el título de esta entrada y en  la imagen anterior: Propiedad de Ramsey, Propiedad de Subretículo, Propiedad de Partición Polarizada y Propiedad de Bernstein. Se podrá apreciar que ellas son propiedades de partición  tipo Ramsey del conjunto de los números reales (más exactamente, de espacios topológicos homeomorfos  a los irracionales, considerados como un subespacio del conjunto de los números reales) y además que ellas están relacionadas con conjuntos perfectos (Topología).

En la  siguiente imagen se presenta un gráfico con las  relaciones de implicación conocidas y desconocidas entre las 4 propiedades mencionadas,  puede ser importante leer dicho gráfico para comprender mejor el contenido  de esta entrada, pues se ofrecerá (después de la imagen) respuesta a las relaciones de implicación desconocidas con la respectiva  referencia bibliográfica donde se pueden encontrar las demostraciones, lo cual completará el gráfico, y lo cual quiere decir que hoy en día ya tales relaciones no son desconocidas:

(I) Definición de la Propiedad de Ramsey, de la Propiedad de Subretículo, de la Propiedad de Partición Polarizada y de la Propiedad de Bernstein:

El espacio de Baire es el espacio topológico cuyo universo es el conjunto de todas las sucesiones de números naturales (N^infinito), y su topología es la  generada por los conjuntos básicos de la forma U_s={f: N en N | s está contenida en f}, donde s es una sucesión finita de números naturales. Tal topología es la topología producto de N^infinito que se obtiene al dotar a N  con la topología discreta.

El espacio N^[infinito] es el espacio topológico cuyo universo es el conjunto de todos los subconjuntos infinitos de números naturales  (N^[infinito]), y su topología es la generada por todos los conjuntos básicos de la forma U_a={ X pertenece a N^[infinito]  | a es un segmento inicial de X }, donde a es un subconjunto finito de N.

Es conocido que los espacios topológicos  N^infinito y N^[infinito] son homeomorfos, y también que ellos son homeomorfos a los irracionales, considerados como un subespacio del conjunto de los números reales R. También se conoce que el cardinal de  N^infinito y N^[infinito]  es el cardinal del continuo (de R), y que ellos son "espacios polacos" (como también lo es R), es decir,  ellos son espacios métricos, separables y completos. 

Propiedad de Ramsey:   Para toda partición F: N^[infinito] en 2 existe un conjunto infinito H, H incluido en N, tal F es constante en H^[infinito], donde H^[infinito] es la familia de todos los subconjuntos infinito de H.

Propiedad de Subretículo: Sean K y H dos subconjuntos infinitos de N tal que K está incluido en H y H-K es infinito. Entonces  se define [K, H]={X incluido en N: K incluido X y X incluido en H}. El par ([K, H], relación de inclusión)  es un subretículo el cual es un subconjunto del retículo (P(N), relación de inclusión). La Propiedad de Subretículo se define así: Para toda partición  F: N^[infinito] en 2 existe un subretículo [K, H] tal que F es constante en [K, H]. La Propiedad de Subretículo también es llamada "Propiedad de dona".

Propiedad de Bernstein: Para toda partición  F: N^infinito en 2 existe un conjunto perfecto P incluido en N^infinito  tal que F es constante en P.

Propiedad de Partición Polarizada: Para toda partición  F: N^infinito en 2 existe una sucesión de conjuntos {H_i}_(i pertenece N)  que se cumple con (a) y (b):
(a) (para todo i) H_i está incluido en N y H_i tiene exactamente dos elementos.
(b)  F es constante en el producto cartesiano infinito de los H_i, X_(i pertenece N) H_i.

(II) Es conocido que la  Propiedad de Ramsey, la Propiedad de Subretículo, la Propiedad de Partición Polarizada y la Propiedad de Bernstein  son falsas si vale el Axioma de elección, pero son consistentes con ZF (si existe un cardinal inaccesible), pues ellas son verdaderas en el modelo de Solovay (L(R)).  Más información sobre tales propiedades de partición, por ejemplo una  demostración del TEOREMA: LAS PROPIEDADES DE SUBRETÍCULO Y BERNSTEIN NO IMPLICAN A LA PROPIEDAD DE PARTICIÓN POLARIZADA, se puede conseguir en el artículo "Perfect Set Properties in Models of ZF" (Fundamenta Mathematicae. 208 (2010), 249-262) de Carlos Di Prisco y Franklin Galindo. Este artículo se puede encontrar y bajar del siguiente enlace de la web del Instituto de Matemáticas de la Academia de Ciencias Polaca:

https://www.impan.pl/en/publishing-house/journals-and-series/fundamenta-mathematicae/all/208/3/88939/perfect-set-properties-in-models-of-zf

También  se puede encontrar y bajar en las web de Academia.edu de Di Prisco y Galindo, y en la biblioteca digital de este blog. Vale la pena resaltar que el teorema mencionado  se demuestra usando  el Modelo de Feferman (modelo que se construye en el artículo  utilizando los  métodos de construcción de modelos de la teoría de conjuntos  llamados  "constructibilidad relativizada" (específicamente L(A)) y "forcing"), es decir, en  el artículo se prueba que en el Modelo de Feferman valen las Propiedades de Subretículo y Bernstein, y no vale la Propiedad de Partición Polarizada.

El siguiente gráfico resume las relaciones implicación entre las propiedades de partición mencionadas (el gráfico se puede encontrar en el artículo "Some Aspects of the Ramsey Theory of Real Numbers" (2015) de Carlos Di Prisco). El expresión simbólica  de arriba se usa para denotar la Propiedad de Ramsey, la expresión simbólica del centro a mano izquierda se utiliza para denotar la Propiedad de Subretículo, la expresión simbólica del centro a mano derecha se usa para denotar la Propiedad de Partición Polarizada (generalizada), y la expresión simbólica de abajo se utiliza para denotar  la Propiedad de Bernstein:

(III) Un resultado adicional sobre la Propiedad de Partición Polarizada y el Modelo Básico de Cohen (TEOREMA: LA PROPIEDAD DE PARTICIÓN POLARIZADA ES FALSA EN EL MODELO BÁSICO DE COHEN), obtenido por Carlos Di Prisco y Franklin Galindo también puede encontrarse en el artículo "Dos tópicos de lógica matemática y sus fundamentos" (Episteme NS, 34, N° 1, 2014, pp. 41-65) el cual está en la web y se puede bajar, uno de los enlaces donde se encuentra es en la web de "saber ucv": http://saber.ucv.ve/ojs/index.php/rev_ens/article/view/7742 .


(IV) Dos problemas abiertos sobre grandes cardinales y dos de las propiedades de partición mencionadas anteriormente se enuncian a continuación: ¿Se puede eliminar la hipótesis de la existencia de un cardinal inaccesible en la prueba de la consistencia de la Propiedad de Ramsey y de la Propiedad de Partición Polarizada con ZF?

(El primero de ellos-el de la Propiedad de Ramsey- es un problema clásico y se puede encontrar en el texto "THE HIGHER INFINITE: LARGE CARDINALS IN SET THEORY FROM THEIR BEGINNINGS". Autor: A. Kanamori. Springer. 1997. Página 144.)

Nota final: Otra entrada en este blog que trata sobre Combinatoria infinita se llama "Sobre el gran aporte de la  Combinatoria Infinita  a las investigaciones   sobre los fundamentos de las matemáticas (Metamatemática): Por ejemplo el Teorema de Ramsey, el Delta Lema, el Principio Diamante y el Axioma de Martin. Y viceversa: Sobre el gran aporte de la Metamatemática a la Combinatoria infinita." VER.