MATEMÁTICAS: Puras y Aplicadas.: Algunos libros o artículos sobre Filosofía de la Matemática o temas afines

Matemáticas

Frase célebre 1: "Después de todo, ¿qué es la matemática sino la poesía de la mente, y qué es la poesía sino la matemática del corazón?". DAVID EUGENE SMITH. (1860—1944). Matemático estadounidense, educador, coleccionista, editor e historiador de las matemáticas. Frase célebre 2 : "Quizá lo más extraño de la ciencia moderna sea su regreso al Pitagorismo". Bertrand RUSSELL. (1872-1970). Matemático, Lógico, Filósofo, etc. Frase célebre 3: "Las Matemáticas son tanto un aspecto de la Cultura como una colección de algoritmos". C.B. BOYER (1906-1976). History of the Calculus and its conceptual development. Dover, New York. 1949. Frase célebre 4: "Conferimos a las ciencias matemáticas el poder dialéctico de ascender de la caverna a la luz, de lo visible a lo inteligible, de los sentidos a la esencia, por medio de la inteligencia". PLATÓN. República (532c). Frase célebre 5: "El poder que mueve la invención matemática no es (solo) el razonamiento sino la imaginación". AUGUSTUS DE MORGAN (1806−1871). Matemático y lógico británico nacido en la India. Frase célebre 6: "EL LIBRO DE LA NATURALEZA ESTÁ ESCRITO EN LENGUAJE MATEMÁTICO". GALILEO GALILEI (1564–1642), EL PADRE DEL MÉTODO CIENTÍFICO. Frase célebre 7: “Muchas personas que no han estudiado MATEMÁTICAS las consideran una ciencia árida e infructuosa. En realidad, sin embargo, es una CIENCIA que requiere un gran dosis de IMAGINACIÓN.” Sofia Kovalévskaya (1850-1891). Matemática rusa. Frase célebre 8: "La Matemática es la reina de las ciencias y la Aritmética es la reina de las Matemáticas". JOHANN CARL FRIEDRICH GAUSS (1777–1855). Matemático, Astrónomo, Geodesta, y Físico alemán. Frase célebre 9: "El número es el lazo de unión de la eterna persistencia de las cosas". PLATÓN. Timeo. Frase célebre 10: "La matemática ha avanzado más por aquellos que se distinguieron por su intuición que por pruebas rigurosas". Félix KLEIN. (1849-1925). Matemático alemán de gran trascendencia teórica, histórica y metodológica. Frase célebre 11: "Las matemáticas puras son, a su manera, la poesía de las ideas lógicas". Albert EINSTEIN (1879–1955).

La Hipótesis del Continuo de Cantor ¿Cuál es el cardinal del continuo?

¿ (En la actualidad) Estamos cerca de una solución del problema del cardinal del conjunto de los números reales ? ¿Estamos cerca de saber cuál es dicho cardinal o falta mucho todavía? Los intentos por determinar la cardinalidad del conjunto de los números reales (el cardinal del continuo) han contribuido sustancialmente con el desarrollo de la Teoría de Conjuntos. Hacia 1878 G. Cantor conjeturó que tal cardinal es el menor cardinal mayor que el cardinal de los números naturales (Alef_0), es decir, Alef_1. Esta hipótesis se denomina Hipótesis del continuo (HC) y Cantor no pudo demostrar la misma. Para David Hilbert la HC era tan importante que la colocó de primera en la lista de problemas presentada al Congreso Internacional de Matemáticas realizado en París en 1900; y uno de los resultados más destacados al respecto es la prueba de su independencia de los axiomas estándar de la Teoría de Conjuntos, la cual se debe a K. Gödel (1938) y a P. Cohen (1963-64), es decir, tales autores demostraron que si los axiomas estándar de la Teoría de Conjuntos son consistentes, entonces no se puede deducir de ellos la HC, ni la negación de la HC. Considerando esta independencia y además que (desde un punto de vista platonista) la HC es una proposición significativa la cual es verdadera o falsa, una de las investigaciones actuales más relevantes sobre el tema consiste en la búsqueda de nuevos axiomas que permitan decidir el cardinal del continuo. Vale la pena destacar que algunos de los candidatos a nuevos axiomas dicen que Cantor estaba equivocado, pues ellos implican que el cardinal del continuo es Alef_2, el menor cardinal mayor que Alef_1 (Gödel había intuido este resultado años antes). ¿ Qué ha pasado con el problema del cardinal del continuo después de Gödel (1938) y Cohen (1964) ? Intentos de responder esta pregunta pueden encontrarse en los artículos del Prof. José Alfredo Amor (1946-2011), "El Problema del continuo después de Cohen (1964-2004)", del Prof. Carlos Di Prisco , "Are we closer to a solution of the continuum problem", y del Prof. Joan Bagaria, "Natural axioms of set and the continuum problem" , que se encuentran en la biblioteca digital de este blog que aparecerá al hacer clic en la imagen. También se puede encontrar más información al respecto en dicha biblioteca, en las otras bibliotecas digitales referidas en este blog y en una entrada específica de este blog dedicada al tema (por favor leer esta entrada de primero). Y también en la siguiente entrada web ("The Continuum Hypothesis") de la Enciclopedia de Filosofía de la Universidad de Stanford existe información importante y actualizada al respecto: https://plato.stanford.edu/entries/continuum-hypothesis/

Matemática aplicada

Matemática Aplicada. Esquema del "Proceso de Modelación Matemática". Es muy interesante el tema de las aplicaciones de la matemática (en todas sus ramas) a las ciencias naturales y sociales. Hacer clic sobre la imagen para ver un video de youtube que presenta un resumen de diversas aplicaciones de la matemática a las ciencias, el video es del canal "EduMates". También en el siguiente video de youtube se puede ver una interesante entrevista al profesor de matemáticas Marcus du Sautoy realizada por Eduar Punset, en la cual el profesor Marcus habla sobre el tema de la aplicación matemática, el video se llama "Las Simetrías del Universo": https://www.youtube.com/watch?v=jegmxU9YS-s Un ejemplo de cómo crear un modelo matemático usando Ecuaciones Diferenciales (video de youtube del canal "MateFacil") es el siguiente: https://www.youtube.com/watch?v=V9UE2QmnDjw Otro ejemplo se puede ver en el siguiente video de youtube de "MateFacil": https://www.youtube.com/watch?v=WgWcxansYCs&t=18s Y otro ejemplo se puede ver en el siguiente video de youtube del canal "Matemáticas y física con tilde": https://www.youtube.com/watch?v=jXVJJoFTbeQ Es conocido que en internet (por ejemplo en "youtube") se pueden encontrar muchos otros videos tutoriales con ejemplos de aplicaciones matemáticas (de todas las ramas de las matemáticas). En el siguiente video de youtube se puede ver dos ejemplos de modelos (o fenómenos) estocásticos o probabilísticos: https://www.youtube.com/watch?v=8hHevhITp-c . En la biblioteca digital de este blog se pueden conseguir algunos libros con diferentes aplicaciones matemáticas.

viernes, 4 de febrero de 2011

Algunos libros o artículos sobre Filosofía de la Matemática o temas afines

(1) PHILOSOPHY OF MATHEMATICS. Por: Paul Benacerraf y Hilary Putnam. (Una colección de artículos clásicos fundamentales sobre el tema de Carnap, Heyting, von Neumann, Brouwer, Dummett, Frege, Russell, Hilbert, Curry, Kreisel, Bernays, Benacerraf, Putnan, Ayer, Quine, Hempel, Poincare, Gödel, Boolos, Parsons y Wang.)

(2) INTRODUCCIÓN AL INTUICIONISMO. Por: Arend Heyting.

(3) FUNDAMENTOS LOGICISTAS DE LA MATEMÀTICA. Por: Rudolf Carnap.

(4) FUNDAMENTOS INTUICIONISTAS DE LA MATEMÀTICA. Por: Arend Heyting.

(5) UNA DISPUTACIÒN. Por: Arend Heyting.

(6) FUNDAMENTOS FORMALISTAS DE LA MATEMÀTICA. Por: Johann von Neumann.

(7) EL PLATONISMO EN MATEMÀTICAS. Por: Paul Bernays.

(8) ACERCA DE LO QUE HAY. Por: Willard Quine. (Existen otras bibliográfícas importantes de Quine sobre filosofía de la matemática, por ejemplo los textos "FILOSOFÍA DE LA LÓGICA", "LÓGICA MATEMÁTICA" y "SET THEORY AND ITS LOGIC". En este blog sólo son mencionadas algunas de ellas, por ejemplo en el texto "Philosophy of Mathematics" mencionado en esta entrada (en (1)) hay algunos artículos de dicho autor.)

(9) Fundamentos de las Matemáticas. David Hilbert. Facultad de Ciencias. UNAM. Mèxico. 1993.

(10) History and Philosophy of Modern Mathematics. W. Aspray-P. Kitcher. 1988.

(12) EL PARAÍSO DE CANTOR. LA TRADICIÓN CONJUNTISTA EN LA FILOSOFÍA DE LA MATEMÁTICA. Por: Roberto Torretti.

(13) LÓGICA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. Anastasio Alemán Pardo. Tecnos. Madrid. 2011.

(14) LA MATEMÁTICA COMO LENGUAJE. Jesús Mosterín. Departamento de Lógica. Universidad de Barcelona. Simposio de lógica y filosofía de la ciencia. Tecnos. Madrid. 1973: 25-36.

(15) MATEMÁTICAS Y PLATONISMO(S). J. Ferreirós. La Gaceta de la Real Sociaedad Española de Matemáticas. 2(1999), 446-473.

(16) EL MATEMÁTICO (1947). J. Neumann. En "Sigma: El mundo de las matemáticas", J. Neumann, Grijaldo, Vol. V., 1968.

Todos ellos (1-16) estan en nuestra biblioteca digital de este blog.

(17) KURT GÖDEL. REVOLUCIÓN EN LOS FUNDAMENTOS DE LAS MATEMÁTICAS. ARBOR Ciencia. José Ferreirós. Pensamento y Cultura. CLXXXIII 725, mayo-julio (2007), 409-418.

(18) WEB DE LA ENCICLOPEDIA DE FILOSOFÍA DE LA UNIVERSIDAD DE STANFORD. SECCIÓN: FILOSOFÍA DE LA MATEMÁTICA:

Por ejemplo el artículo de Leon Horsten, "PHILOSOPHY OF MATHEMATICS" (2017), Enciclopedia de Filosofía de la Universidad de Stanford http://plato.stanford.edu/search/searcher.py?page=3&query=philosophy%20of%20mathematics

: https://plato.stanford.edu/entries/philosophy-mathematics/.

(19) DICCIONARIO DE FILOSOFÍA. Por: Ferrater Mora. (Esta en la biblioteca digital de este blog). .

(20) BROUWER, WITTGENSTEIN, LAKATOS: TRES CONCEPCIONES DE LA MATEMÁTICA. E.H. Battistella, V.P. Lo Monaco y B. Sánchez. Cuadernos de Episteme, Número 4. Instituto de Filosofía. UCV. 1988.

(21) HISTORIA DE LA MATEMÁTICA. Julio Pastor y José Babini. Gedisa. Barcelona. 2000.

(22) FUNDAMENTOS DE LAS MATEMÁTICAS. Guillermo Restrepo. Universidad del Valle, Cali, 2003. http://books.google.co.ve/books?id=U-6QVx_6DzsC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false

(23) LOS ESCRITOS MATEMÁTICOS DE GEORGE BERKELEY Y LA POLÉMICA SOBRE EL ANALISTA. José Robles. Universidad Nacional Autónoma de México. Instituto de Investigaciones Filosóficas. 2006.

(24) DEL HACER MATEMÁTICO Y SUS FILOSOFÍAS. De Lorenzo. (buscar artículo en la web, allí está el PDF y se puede bajar).

(25) ALGUNAS OBSERVACIONES SOBRE LA FILOSOFÍA DE LA PRÁCTICA MATEMÁTICA. P. Mancosu. Disputatio. Philosophical Research Bulletin 5: 6 (2016): pp. 131-156.

(26) En el siguiente enlace de la Escuela de Matemática de la Universidad Central de Venezuela (UCV) se puede encontrar información sobre la Ciencia Matemática (profesores de las distintas especialidades, libros, guías, etc): http://www.matematica.ciens.ucv.ve/. También en la biblioteca digital de este blog se pueden encontrar algunos libros de Precálculo, Cálculo, Análisis, Topología, Álgebra, Teoría de conjuntos, Lógica matemática y Combinatoria. Una Historia de las matemáticas puede verse en los dos siguientes dos videos de YouTube: https://www.youtube.com/watch?v=lEU1TGOV4QI, https://www.youtube.com/watch?v=Z5fk90n1xl4 . Y también en el siguiente enlace "UNIVERSO MATEMÁTICO" existen videos divulgativos sobre historia de las matemáticas: http://www.rtve.es/television/la-aventura-del-saber/documentales/universo-matematico/

(27) ENSAYOS INÉDITOS. K. Gödel. Editor: F. Consuegra. Prólogo: . V. Quine. Biblioteca Mondadori. 1994.
(28) OBRAS COMPLETAS. K. Gödel. Alianza. 1981.
(29) OBSERVACIONES SOBRE LOS FUNDAMENTOS DE LA MATEMÁTICA. Wittgenstein, L. Editores: G.H. von Wright, R. Rohees y G.E.M. Anscombe. Alianza. (1956) 1967.
(30) NATURALISM IN MATHEMATICS. P. Maddy. Calrendon Press. Oxford. 1997.

Nota: En otras entradas de este blog o en la biblioteca digital existen otras referencias bibliográficas sobre filosofía de la matemática (o temas afines) que no están en esta lista.

No hay comentarios:

Publicar un comentario

Nota: solo los miembros de este blog pueden publicar comentarios.

Suscribirse a: Enviar comentarios (Atom)

Grandes aportes a la Matemática. Documento web interactivo.

George Polya (1887-1985). Matemático. Generalizó su método para resolver problemas en cuatro pasos.

George Polya (1887-1985). Matemático. Generalizó su método para resolver problemas en cuatro pasos: (1) Entender el problema, (2) Configurar un Plan, (3) Ejecutar el Plan, y (4) Mirar hacia atrás (Reflexione y revise). Para más detalles del método de Polya ver (por ejemplo) el texto "Precálculo. Matemáticas para el cálculo", de Stewar-Redlin-Watson, dicho libro se puede encontrar y bajar de la biblioteca digital de este blog. El texto de George Polya titulado "Cómo plantear y resolver problemas", editorial Trillas (Serie de Matemáticas), 1989, puede encontrase y bajarse (también) de la biblioteca digital de este blog. Vale la pena resaltar que Polya consideraba que para la enseñanza de las matemáticas es más importante el proceso de descubrimiento que resolver simples ejercicios. Hacer clic sobre la imagen para acceder a la biblioteca digital mencionada.

Dos problemas abiertos sobre Cardinales grandes y Propiedades de partición tipo Ramsey

Dos problemas abiertos de la Teoría de conjuntos relacionados con Cardinales grandes y Propiedades de partición tipo Ramsey (Combinatoria infinita) son los siguientes: ¿Se puede eliminar la hipótesis de la existencia de un cardinal inaccesible en la prueba de la consistencia de la Propiedad de Ramsey y de la Propiedad de Partición Polarizada con ZF? El primero de ellos- el de la Propiedad de Ramsey- es un problema clásico y se puede encontrar en el texto "THE HIGHER INFINITE: LARGE CARDINALS IN SET THEORY FROM THEIR BEGINNINGS". Autor: A. Kanamori. Springer. 1997. Página 144. Para acceder a las definiciones de la propiedades de partición tipo Ramsey mencionadas hacer clic sobre la imagen.

Teoría de Modelos

LA RECTA REAL ("EL POSTULADO DE LA RECTA REAL", en Geometría)

Hacer clic sobre la imagen para acceder a la biblioteca digital de este blog, allí están (y se pueden bajar) algunos textos de Geometría, Precálculo, Cálculo Diferencial, Cálculo integral, Análisis, etc, donde la "Recta real" juega un papel fundamental, por ejemplo: "GEOMETRÍA" de Enrique Planchart, "GEOMETRÍA I" de Edith Ricabarra, "GEOMETRÍA" de Peter Geltner y Darrell Peterson, "GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO. Y TRIGONOMETRÍA" de J. A. Baldor, "ÁLGEBRA" de J. A. Baldor, "PRECÁLCULO (MATEMÁTICAS PARA EL CÁLCULO)" de Stewart-Redlin-Watson, "CÁLCULO" de Leithold, "CÁLCULO" de Thomas, "CÁLCULO DIFERENCIAL (con funciones transcendentes tempranas para ciencias e Ingeniería)" de Jorge Saenz, "CÁLCULO INTEGRAL(con funciones transcendentes tempranas para ciencias e Ingeniería)" de Jorge Saenz, "CALCULUS" de Apostol, "CÁLCULO INFINITESIMAL" de Spivak, "REAL ANALYSIS" de Halsey Royden, etc.

Abrahan Robinson. Análisis no estándar.

1918-1974. Hacer clic sobre la imagen para acceder a una tesis (2015) sobre "Análisis real no estándar" de la Universidad de Barcelona, España. La tesis es de Marcos Salgado Corbillón, y el tutor es el Dr. Josep Maria Font Llovet. Se puede apreciar en este trabajo que el cuerpo ordenado y no arquimediano de los Hiper-Reales de Robinson R* es la ULTRAPOTENCIA del cuerpo ordenado y arquimediano R (el Sistema estándar de los Números Reales), y además que una técnica fundamental para demostrar teoremas del Análisis estándar utilizando el Análisis no estándar es el PRINCIPIO DE TRANSFERENCIA que existe entre R y R* ¿y cuál es este principio? la relación de EQUIVALENCIA ELEMENTAL entre las estructuras R y su ultrapotencia R* (Consecuencia del Teorema Fundamental sobre los Ultraproductos (Lós,1955)).

El Platonismo matemático de Cantor. Parte de una carta de Cantor a Hermite (1895):

"Dice usted (Hermite) muy bellamente en su carta del 27 de Nov.: " Los números (enteros) me parecen constituir un mundo de realidades que existen más allá de nosotros con el mismo carácter de absoluta necesidad que las realidades de la naturaleza, cuyo conocimiento nos es dado por los sentidos, etc". Permítame, sin embargo, el comentario de que en mi opinión la realidad y absoluta legalidad de los números enteros es MUCHO MAYOR que la del mundo sensorial. Y el que así sea, tiene una única y muy simple razón, a saber, que los números enteros existen en el grado sumo de realidad, tanto separados como en su totalidad actualmente infinita, en la forma de ideas eternas in intellectu Divino". Fuente: José Ferreirós (Universidad de Sevilla). "Matemáticas y platonismo(s)". La Gaceta de la Real Sociedad Española de Matemáticas 2 (1999), 446-473.

Hilbert, el Infinito y la Teoría de Conjuntos de Cantor

"Sin embargo, por sí solo el análisis resulta insuficiente para proporcionarnos una visión de la más profunda esencia del infinito. Esta visión la encontramos más bien en la teoría de conjuntos de Georg Cantor, una disciplina más cercana a un enfoque filosófico general que ubica todo el complejo de problemas relativo al infinito en una nueva perspectiva. Lo que aquí nos importa de ella es precisamente aquello que en verdad constituye su núcleo fundamental, esto es, LA TEORÍA DE LOS NÚMEROS TRANSFINITOS. En mi opinión, el sistema de Cantor constituye no sólo la flor más admirable que el espíritu matemático ha producido, sino igualmente uno de los logros más elevados de la actividad intelectual humana en general". David Hilbert. Artículo: "Acerca del Infinito". Texto: "Fundamentos de las Matemáticas", Mathema, Página 90.

Una opinión de Russell y otra de Erdös sobre la "Belleza matemática".

"Belleza matemática" según Bertrand Russell (1872-1970, matemático, lógico, filósofo, etc): “La matemática posee no sólo verdad, sino también belleza suprema; una belleza fría y austera, como aquella de la escultura, sin apelación a ninguna parte de nuestra naturaleza débil, sin los adornos magníficos de la pintura o la música, pero sublime y pura, y capaz de una perfección severa como sólo las mejores artes pueden presentar. El verdadero espíritu del deleite, de exaltación, el sentido de ser más grande que el hombre, que es el criterio con el cual se mide la más alta excelencia, puede ser encontrado en la matemática tan seguramente como en la poesía.” Fuente: "The Study of Mathematics", en el texto: "Mysticism and Logic and Other Essays", Bertrand Russell, 1919, pág 38. Dicho texto se puede conseguir en el siguiente enlace: http://homepages.uc.edu/~martinj/Philosophy%20and%20Religion/Atheism/Bertrand%20Russell%20-%20Mysticism%20and%20Logic%20and%20Other%20Essays.pdf. Hacer clic sobre la imagen y aparecerá. Una interesante biografía de Russell puede conseguirse (entre otros) en el texto "Los Lógicos" (2000) de Jesús Mosterín (1941-2017). Allí aparecen las principales contribuciones de dicho autor a la lógica moderna (por ejemplo "Principia Mathematica" obra que realizó junto con Whitehead), también se hace referencia a su filosofía de la matemática (Logicismo)......"Belleza matemática" según Paul Erdös (1913-1996, matemático): "¿Por qué son bellos los números? Es como preguntar por qué es bella la novena sinfonía de Beethoven. Si no ves por qué, nadie te lo puede decir. Yo sé que los números son bellos. Si no lo son, entonces nada lo es." Fuente: "Do Mathematicians Have Different Brains?. The Math Gene: How Mathematical Thinking Evolved And why Numbers Are Like Gossip. Nota: Metiendo la cita de Erdös en inglés se pueden conseguir varias fuentes bibliográficas que la citan. Sobre la vida y obra del destacado matemático Erdös hay numerosas referencias en la web, dentro de sus grandes contribuciones se encuentran las que realizó en "Combinatoria infinita", muchas de las cuales se estudian en varias fuentes bibliográficas referidas en este blog.

Gottlob Frege (1848-1925)

Matemático, Lógico, filósofo, etc. Una interesante biografía de Frege puede conseguirse (entre otros) en el texto "Los Lógicos" (2000) de Jesús Mosterín (1941-2017). Allí aparecen las principales contribuciones de dicho autor a la lógica moderna (el es uno de sus padres), también se hace referencia a su filosofía de la matemática (Logicismo), etc. En varias fuentes bibliográficas referidas en este blog se estudia la Lógica y la Filosofía de la matemática de Frege. Dos de sus principales obras son: "Conceptografía. Un lenguaje de fórmulas, semejante al de la aritmética, para el pensamiento puro" y "Los Fundamentos de la Aritmética".

El Teorema Fundamental del Cálculo

Preguntas sobre el Teorema Fundamental del Cálculo (Parte II): ¿Cómo calcular una antiderivada (o primitiva) "elemental" (es decir, una función expresable de una forma sencilla, por ejemplo, en función de exponenciales, senos, cosenos, logaritmos, etc) de una función continua determinada? ¿Siempre es posible hacerlo?. Respuesta: Existen métodos ("sustitución", "partes", "fracciones parciales", etc) para calcularla en varios casos específicos, pero no en todos, por ejemplo la función f(x)=e^(-x^2) es continua y no tiene primitiva elemental. Ver, entre otros, los textos "El Cálculo" de Louis Leithold (Oxford University Press,1998, 7 ed.), páginas 591-592, "Cálculo: Una variable" de George Thomas (Pearson, 12a ed, 2010), "Cálculo Diferencial. Con funciones trascendentes tempranas. Para ciencias e ingeniería" de Jorge Sáenz, Universidad Centro Occidental Lisandro Alvarado (Hipotenusa, 2005), "Cálculo Integral. Con funciones trascendentes tempranas. Para ciencias e ingeniería" de Jorge Sáenz, Universidad Centro Occidental Lisandro Alvarado (Hipotenusa, 2009), "Calculus" de Tom Apostol (Reverté, S. A., 1985) y "Cálculo infinitesimal" de Michael Spivak (Reverté, S.A., 1992) . Y también ver el artículo "Funciones sin primitiva elemental" de Carlos Ivorra. Los dos primeros textos y el artículo están en la biblioteca digital de este blog (o en la web) y se pueden bajar. Otro punto relacionado con el tema: ¿Toda función continua en un punto es diferenciable en dicho punto? Es conocido que la respuesta es NO, pues existen funciones continuas en un punto que no son diferenciables en el mismo, por ejemplo f(x)=|x| en el punto (0,0). Y más todavía, existe al menos una función continua en todo punto que no es derivable en ningún punto, ver una imagen de la misma en el texto de Spivak mencionado anteriormente, página 214, y ver también en el mismo texto una definición de dicha función (se define usando series infinitas) y una demostración de que ella tiene las propiedades mencionadas, páginas 695-699.