¿ Qué ha pasado con el problema del cardinal del continuo de Cantor después de Gödel (1938) y Cohen (1964) ?.

(Agosto 2017)

Saharon Shelah. Uno de los destacados matemáticos que ha investigado el Problema del cardinal del continuo de Cantor después de los resultados de Gödel (1938) y de Cohen (1964).

Stevo Todorčević. Otro destacado matemático que ha investigado el Problema del cardinal del continuo de Cantor después de los resultados de Gödel (1938) y Cohen (1964).

Hipótesis del continuo de Cantor (1878): EL CARDINAL DE CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES ES Alef_1 (Alef_1 el menor cadinal mayor que el cardinal del conjunto de los números naturales, Afef_0).

¿La Hipótesis del continuo de Cantor (HC) es verdadera o falsa?

Es conocido, por los resultados de Gödel (1938) y Cohen (1963-1964), que la HC es independiente de los axiomas estándar de la Teoría de conjuntos. Gödel probó que la negación de la HC no se puede demostrar de los axiomas estándar creando y usando la técnica de los conjuntos constructibles, y Cohen probó que la HC no se puede demostrar de los axiomas estándar creando y usando el método de forcing. Pero, ¿Qué ha pasado con el problema del cardinal del continuo de Cantor después de Gödel (1938) y Cohen (1964)?. Vale la pena resaltar que destacados conjuntintas contemporáneos consideran que Cantor estaba equivocado y que el cardinal del conjunto de los números reales no es Alef_1, si no que es el menor cardinal mayor que Alef_1, Alef_2, el mismo Gödel ya había planteado esta posibilidad años antes, y una de la razones por la cual tales conjuntistas (los contemporáneos) consideran que es Alef_2 es que varias de las proposiciones que se consideran candidatos a nuevos axiomas de la teoría de conjuntos contemporánea deciden que el cardinal del continuo es Alef_2, es decir, con tales candidatos a nuevos axiomas se demuestra que el cardinal del conjunto de los números reales es Alef_2. Dos ejemplos de candidatos a nuevos axiomas de este tipo son EL AXIOMA DE FORCING PROPIO (PFA) (El "forcing propio" fue introducido por Shelah en 1982 y 1998, y el "Axioma de forcing propio" fue introducido por Baumgartner en 1984) y EL AXIOMA DE MARTIN MÁXIMO (MM) (formulado por Foreman, Magidor y Shelah en 1988), los cuales son generalizaciones del AXIOMA DE MARTIN (AM), (Donald Martin, 1970), el AM es una proposición relacionada con la combinatoria infinita, la topología y el forcing que tiene importantes consecuencias en diversas áreas de las matemáticas como la Combinatoria, el Análisis, la Topología y el Álgebra (por ejemplo una consecuencia del AM es el conocido Teorema de Categoría de Baire y una generalización de tal teorema también se puede demostrar a partir del AM).

--------------------------------Donald Martin. Matemático y Filósofo----------------------

MM es un fortalecimiento de PFA y a su vez PFA es un fortalecimiento del AM. Tanto PFA como MM implican que el cardinal del conjunto de los números reales es Alef_2. Sin embargo, tales candidatos a nuevos axiomas (PFA, MM, entre otros no mencionados en este breve escrito) no han sido aceptados totalmente como nuevos axiomas de la Teoría de conjuntos hasta los momentos, quizá esto se deba (en parte) a que ellos tienen al menos las siguientes dos caraterísticas: (a) Ellos son muy poco "intuitivos" (vale la pena resaltar que actualmente no hay un acuerdo sobre las nociones de "intuitivo" y "natural"), y (b) Las pruebas de la consistencia relativa de los mismos con los axiomas estándar que se han realizado hasta los momentos suponen la existencia de hipótesis fuertes de la teoría de conjuntos como por ejemplo que existen cardinales inaccesibles, por ejemplo las pruebas de la consistencia relativa con los axiomas estándar de PFA y de MM suponen la existencia cardinales supercompactos, y la existencia de estos grandes cardinales no se puede probar con los axiomas estándar como consecuencia del Segundo Teorema de Incompletitud de Gödel (1931)....Para profundizar sobre el tema del Problema del cardinal del continuo de Cantor se puede empezar leyendo los artículos divulgativos sobre el asunto de los profesores José Alfredo Amor (1946-2011, Departamento de Matemáticas de la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional de México (UNAM)) y Carlos Di Prisco (Instituto Venezolano de Investigaciones Científicas (IVIC)-Escuela de Matemáticas de la Facultad de Ciencias de la Universidad Central de Venezuela (UCV)) que se encuentran en la biblioteca digital de este blog y se pueden bajar, sus referencias son las siguientes:

(1) Artículo 1: EL PROBLEMA DEL CONTINUO DESPUÉS DE COHEN (1964-2004). Autor: JOSÉ ALFREDO AMOR. Aportaciones Matemáticas. Memorias 35 (2005) 71-80.

Resumen del artículo: "En este trabajo se expone en que consiste el nuevo axioma llamado Martin Máximo Acotado (BMM), el cual es un axioma que puede considerarse "natural" en cierto sentido y que junto con la teoría ZFE decide el problema del continuo de Cantor. El llamado Axioma de Martin (AM) es un conocido enunciado relacionado con la topología, la combinatoria infinita y el forcing, planteado por Donald Martin en 1970. En 1988 Foreman, Magidor y Shelah, formularon una versión fuerte maximal de AM y lo llamaron Martin Máximo (MM). También demostraron la consistencia de MM relativa a la existencia de un cardinal supercompacto. BMM es una modificación acotada de MM que resulta más débil y que decide el problema del continuo, en el sentido de que el cardinal del continuo es Alef_2. "

(2) Artículo 2: ARE WE CLOSER TO A SOLUTION OF THE CONTINUUM PROBLEM ?. Autor: Carlos Di Prisco. Re.Int.Fil., 28, Nº 2, Campinas, 2005, 331-350.

Resumen del artículo: "La Hipótesis del continuo ha motivado un desarrollo considerable de la teoría axiomática de conjuntos por más de un siglo. Presentamos de manera muy esquemática algunos resultados que suministran información referente al problema del continuo de Cantor."

Nota: Vale la pena resaltar que se puede encontrar más información al respecto en la biblioteca digital de este blog, por ejemplo allí se encuentra (y se puede bajar) el artículo del Profesor Joan Bagaria (Departament de Lógica, História i Filosofía de la Ciéncia. Universitat de Barcelona-Institució Catalana de Recerca i Estudis Avacats (ICREA)) que se titula: "NATURAL AXIOMS OF SET THEORY AND THE CONTINUUM PROBLEM". 2004. También, para estudiar las demostraciones de muchos de los teoremas sobre el tema, se encuentran en la biblioteca digital (y se pueden bajar) los libros "SET THEORY" de Jech (2000) y "SET THEORY" de Kunen (2006). Y también en la siguiente entrada web ("The Continuum Hypothesis") de la Enciclopedia de Filosofía de la Universidad de Stanford existe información importante y actualizada al respecto: https://plato.stanford.edu/entries/continuum-hypothesis/ . También se puede ver la siguiente (interesante) conferencia en youtube: "Problema 1 de Hilbert: La Hipótesis de continuo". Ponente: Ph.D. en Matemáticas Antonio Montalbán. University of California. Berkeley. Fecha: Septiembre 2021. Resumen del ponente sobre la charla: "La hipótesis del continuo dice que no hay ningún conjunto cuya cardinalidad esté estrictamente entre la de los números naturales y la de los números reales. Esta charla, parte de una serie sobre los problemas de Hilbert, organizada por la Universidad de la República en Uruguay, contamos lo que se sabe y lo que no sobre esta hipótesis. Contamos un poco sobre el resultado de Gödel quien prueba que no es refutable en ZFC, y el de Cohen, quien desarrolla la técnica de forcing para probar que no es demostrable en ZFC." El enlace para ver la ponencia es el siguiente: https://www.youtube.com/watch?v=wtA1VQ-UkPM

¿En qué consiste el método para construir modelos de la Teoría de conjuntos llamado "FORCING"? y ¿Cuál es su importancia en las Matemáticas contemporáneas?.

(Agosto 2017)

----------------------------------Paul Joseph Cohen (1934–2007)-------------------------------

¿En qué consiste el método para construir modelos de la Teoría de conjuntos llamado "FORCING" que creó Cohen (1963-64) ? y ¿Cuál es su importancia en las Matemáticas contemporáneas?.

Según el profesor Joan Bagaria (1999) "No es fácil explicar los detalles del trabajo de Cohen en pocas palabras y a no especialistas en lógica".

Sin embargo, el mismo Joan Bagaria hizo un intento por responder las dos preguntas anteriormente planteadas de una manera divulgativa realizando un excelente artículo en español que se llama "Paul J. Cohen y la técnica del forcing", "Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española", Vol. 2, Nº 3, 1999, págs 543-553, el cual está en la biblioteca biblioteca digital de este blog y se puede bajar. En dicho artículo está la frase anteriormente citada en cursivas.... RECOMIENDO LEER TAL ARTÍCULO AL INTERESADO QUE SE INICIA EN EL TEMA.

Joan Bagaria es Ph.D. en Lógica y Metodología de la Ciencia y Ph.D. en Matemáticas (Universidad de California, Berkeley), y trabaja en la Institució Catalana de Recerca i Estudis Avacats (ICREA) y en el Departament de Lógica, História i Filosofía de la Ciéncia. Universitat de Barcelona. Tiene al menos tres líneas de investigación: "Set Theory: foundations and applications of infinite combinatorics and large cardinals. Experimental Sciences & Mathematics.", (2) "The Generic Absoluteness Programme. Experimental Sciences & Mathematics." y (3) "Set Theory: mathematical, philosophical, and computational perspectives. Experimental Sciences & Mathematics." Ha publicado al menos 40 artículos de diversos tópicos de la Teoría de conjuntos relacionados con la matemática. Para más detalles sobre el trabajo académico de Joan Bagaria puede consultarse su página web que aparece en internet, allí está su curriculum vitae.

----------------------------------------------Joan Bagaria---------------------------------------------

Vale la pena resaltar que entre las interesantes cosas que Bagaria afirma sobre el método de forcing en su artículo divulgativo "Paul Cohen y la técnica del forcing" se encuentra lo siguiente:

"Aunque Cohen recibió la medalla Fields por su demostración de la independencia de la hipótesis del continuo y del axioma de elección, su contribución va mucho más allá de estos problemas. Su nuevo método, el forcing, no sólo ha permitido resolver un sínfin de problemas importantes en prácticamente todas las áreas de las matemáticas, si no que ha cambiado para siempre nuestra concepción de la matemática como ciencia".

Con respecto al contenido de todo el artículo divulgativo "Paul Cohen y la técnica del forcing" hay un pequeño detalle que quisiera agregar que no está en dicho artículo a los fines de colaborar con el lector que se enfrente por primera vez a tal documento y al método del forcing, el detalle es el siguiente:

Tal vez- como dicen algunos profesores en un primer curso o charla sobre el forcing- se pueda pensar intuitivamente a la técnica del forcing como una "GENERALIZACIÓN" del Teorema de Kronecker en álgebra: "Sea F un campo y sea f(x) un polinomio no constante en F[x]. Entonces, existe un campo de extensión E de F y algún z perteneciente a E tal que f(z)=0". ....Una demostración de este teorema puede encontrarse en el texto "Álgebra abstracta" de John Fraleigh, Addison Wesley Iberoamaricana, 1987, el cual se encuentra en la bibliteca digital de este blog y se puede bajar.

La siguiente imagen sugiere la idea intuitiva del forcing con modelos transitivos numerables y ordenes parciales (hay otras versiones de forcing, por ejemplo el forcing con modelos a valores booleanos):

Dos libros excelentes para estudiar el método de forcing son "Set Theory" de Kunen y "Set Theory" de Jech (los recomiendo en el orden indicado), los mismos se encuentran en la biblioteca digital de este blog y se pueden bajar.

Nota 1: Se agregan dos videos de youtube con una conferencia introductoria sobre el método de forcing dictada por el profesor Ulises Ariet Ramos Garcia del Instituto de Matemáticas de la UNAM. 2015. Nombre de la charla: "CONSTRUCCIONES CON EL MÉTODO DE FORCING". En dicha charla se realiza una presentación intuitiva del método y se ofrece información sobre aplicaciones del mismo al álgebra, al análisis y a la topología. VER. Son dos partes: Parte 1 (30 min), Parte 2 (15 min). Anexo los dos enlaces de youtube:

https://www.youtube.com/watch?v=ZJ6QP3H9R0A , https://www.youtube.com/watch?v=TCeyCFB8yz4

Nota 2: He escrito unas notas en el 2015 llamadas: "El Método de Forcing: Algunas Aplicaciones y una apróximación a sus fundamentos metamatemáticos", las cuales son una re-edición ampliada de mi tesis de maestría (2003). Tales notas se pueden encontrar y bajar de la web de "Saber UCV", ellas están en el siguiente enlace: http://saber.ucv.ve/handle/123456789/16262 . Resumen de las notas: "Es conocido que el método de forcing es una de las técnicas de construcción de modelos más importantes de la Teoría de conjuntos en la actualidad, siendo el mismo muy útil para investigar problemas de matemática y de fundamentos de la matemática. El objetivo del siguiente trabajo es estudiar tal método, describir algunas de sus aplicaciones  (forcing de Cohen, forcing aleatorio, forcing de Mathias, forcing de Sacks, forcing de Silver, etc) y ofrecer una aproximación a sus fundamentos metamatemáticos. Se aspira que este texto sirva de apoyo para aprender dicho método".

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NOTA EXTRA (10-01-2025):

"EL LIBRO DE LA NATURALEZA ESTÁ ESCRITO EN LENGUAJE MATEMÁTICO". GALILEO GALILEI (1564–1642).

Profesor e Investigador Franklin Galindo. Dr. en Matemáticas UCV. Síntesis curricular: https://ucv.academia.edu/FranklinGalindo/CurriculumVitae

“La matemática posee no sólo verdad, sino también belleza suprema; una belleza fría y austera, como aquella de la escultura, sin apelación a ninguna parte de nuestra naturaleza débil, sin los adornos magníficos de la pintura o la música, pero sublime y pura, y capaz de una perfección severa como sólo las mejores artes pueden presentar. El verdadero espíritu del deleite, de exaltación, el sentido de ser más grande que el hombre, que es el criterio con el cual se mide la más alta excelencia, puede ser encontrado en la matemática tan seguramente como en la poesía.” Bertrand Russell (1872-1970).

Números reales, Propiedad de Ramsey, Propiedad de Subretículo, Propiedad de Partición Polarizada y Propiedad de Bernstein. (Más sobre Combinatoria Infinita: Teoría de Particiones y Topología.).

(Enero 2018)

Más adelante  se definirán las cuatro  propiedades de partición  mencionadas en el título de esta entrada y en  la imagen anterior: Propiedad de Ramsey, Propiedad de Subretículo, Propiedad de Partición Polarizada y Propiedad de Bernstein. Se podrá apreciar que ellas son propiedades de partición  tipo Ramsey del conjunto de los números reales (más exactamente, de espacios topológicos homeomorfos  a los irracionales, considerados como un subespacio del conjunto de los números reales) y además que ellas están relacionadas con conjuntos perfectos (Topología).

En la  siguiente imagen se presenta un gráfico con las  relaciones de implicación conocidas y desconocidas entre las 4 propiedades mencionadas,  puede ser importante leer dicho gráfico para comprender mejor el contenido  de esta entrada, pues se ofrecerá (después de la imagen) respuesta a las relaciones de implicación desconocidas con la respectiva  referencia bibliográfica donde se pueden encontrar las demostraciones, lo cual completará el gráfico, y lo cual quiere decir que hoy en día ya tales relaciones no son desconocidas:

(I) Definición de la Propiedad de Ramsey, de la Propiedad de Subretículo, de la Propiedad de Partición Polarizada y de la Propiedad de Bernstein:

El espacio de Baire es el espacio topológico cuyo universo es el conjunto de todas las sucesiones de números naturales (N^infinito), y su topología es la  generada por los conjuntos básicos de la forma U_s={f: N en N | s está contenida en f}, donde s es una sucesión finita de números naturales. Tal topología es la topología producto de N^infinito que se obtiene al dotar a N  con la topología discreta.

El espacio N^[infinito] es el espacio topológico cuyo universo es el conjunto de todos los subconjuntos infinitos de números naturales  (N^[infinito]), y su topología es la generada por todos los conjuntos básicos de la forma U_a={ X pertenece a N^[infinito]  | a es un segmento inicial de X }, donde a es un subconjunto finito de N.

Es conocido que los espacios topológicos  N^infinito y N^[infinito] son homeomorfos, y también que ellos son homeomorfos a los irracionales, considerados como un subespacio del conjunto de los números reales R. También se conoce que el cardinal de  N^infinito y N^[infinito]  es el cardinal del continuo (de R), y que ellos son "espacios polacos" (como también lo es R), es decir,  ellos son espacios métricos, separables y completos. 

Propiedad de Ramsey:   Para toda partición F: N^[infinito] en 2 existe un conjunto infinito H, H incluido en N, tal F es constante en H^[infinito], donde H^[infinito] es la familia de todos los subconjuntos infinito de H.

Propiedad de Subretículo: Sean K y H dos subconjuntos infinitos de N tal que K está incluido en H y H-K es infinito. Entonces  se define [K, H]={X incluido en N: K incluido X y X incluido en H}. El par ([K, H], relación de inclusión)  es un subretículo el cual es un subconjunto del retículo (P(N), relación de inclusión). La Propiedad de Subretículo se define así: Para toda partición  F: N^[infinito] en 2 existe un subretículo [K, H] tal que F es constante en [K, H]. La Propiedad de Subretículo también es llamada "Propiedad de dona".

Propiedad de Bernstein: Para toda partición  F: N^infinito en 2 existe un conjunto perfecto P incluido en N^infinito  tal que F es constante en P.

Propiedad de Partición Polarizada: Para toda partición  F: N^infinito en 2 existe una sucesión de conjuntos {H_i}_(i pertenece N)  que se cumple con (a) y (b):
(a) (para todo i) H_i está incluido en N y H_i tiene exactamente dos elementos.
(b)  F es constante en el producto cartesiano infinito de los H_i, X_(i pertenece N) H_i.

(II) Es conocido que la  Propiedad de Ramsey, la Propiedad de Subretículo, la Propiedad de Partición Polarizada y la Propiedad de Bernstein  son falsas si vale el Axioma de elección, pero son consistentes con ZF (si existe un cardinal inaccesible), pues ellas son verdaderas en el modelo de Solovay (L(R)).  Más información sobre tales propiedades de partición, por ejemplo una  demostración del TEOREMA: LAS PROPIEDADES DE SUBRETÍCULO Y BERNSTEIN NO IMPLICAN A LA PROPIEDAD DE PARTICIÓN POLARIZADA, se puede conseguir en el artículo "Perfect Set Properties in Models of ZF" (Fundamenta Mathematicae. 208 (2010), 249-262) de Carlos Di Prisco y Franklin Galindo. Este artículo se puede encontrar y bajar del siguiente enlace de la web del Instituto de Matemáticas de la Academia de Ciencias Polaca:

https://www.impan.pl/en/publishing-house/journals-and-series/fundamenta-mathematicae/all/208/3/88939/perfect-set-properties-in-models-of-zf

También  se puede encontrar y bajar en las web de Academia.edu de Di Prisco y Galindo, y en la biblioteca digital de este blog. Vale la pena resaltar que el teorema mencionado  se demuestra usando  el Modelo de Feferman (modelo que se construye en el artículo  utilizando los  métodos de construcción de modelos de la teoría de conjuntos  llamados  "constructibilidad relativizada" (específicamente L(A)) y "forcing"), es decir, en  el artículo se prueba que en el Modelo de Feferman valen las Propiedades de Subretículo y Bernstein, y no vale la Propiedad de Partición Polarizada.

El siguiente gráfico resume las relaciones implicación entre las propiedades de partición mencionadas (el gráfico se puede encontrar en el artículo "Some Aspects of the Ramsey Theory of Real Numbers" (2015) de Carlos Di Prisco). El expresión simbólica  de arriba se usa para denotar la Propiedad de Ramsey, la expresión simbólica del centro a mano izquierda se utiliza para denotar la Propiedad de Subretículo, la expresión simbólica del centro a mano derecha se usa para denotar la Propiedad de Partición Polarizada (generalizada), y la expresión simbólica de abajo se utiliza para denotar  la Propiedad de Bernstein:

(III) Un resultado adicional sobre la Propiedad de Partición Polarizada y el Modelo Básico de Cohen (TEOREMA: LA PROPIEDAD DE PARTICIÓN POLARIZADA ES FALSA EN EL MODELO BÁSICO DE COHEN), obtenido por Carlos Di Prisco y Franklin Galindo también puede encontrarse en el artículo "Dos tópicos de lógica matemática y sus fundamentos" (Episteme NS, 34, N° 1, 2014, pp. 41-65) el cual está en la web y se puede bajar, uno de los enlaces donde se encuentra es en la web de "saber ucv": http://saber.ucv.ve/ojs/index.php/rev_ens/article/view/7742 .


(IV) Dos problemas abiertos sobre grandes cardinales y dos de las propiedades de partición mencionadas anteriormente se enuncian a continuación: ¿Se puede eliminar la hipótesis de la existencia de un cardinal inaccesible en la prueba de la consistencia de la Propiedad de Ramsey y de la Propiedad de Partición Polarizada con ZF?

(El primero de ellos-el de la Propiedad de Ramsey- es un problema clásico y se puede encontrar en el texto "THE HIGHER INFINITE: LARGE CARDINALS IN SET THEORY FROM THEIR BEGINNINGS". Autor: A. Kanamori. Springer. 1997. Página 144.)

Nota final: Otra entrada en este blog que trata sobre Combinatoria infinita se llama "Sobre el gran aporte de la  Combinatoria Infinita  a las investigaciones   sobre los fundamentos de las matemáticas (Metamatemática): Por ejemplo el Teorema de Ramsey, el Delta Lema, el Principio Diamante y el Axioma de Martin. Y viceversa: Sobre el gran aporte de la Metamatemática a la Combinatoria infinita." VER.

Algunos textos matemáticos (1)

(03-09-2023) Una versión digital de algunos de los siguientes textos puede encontrarse y bajarse en la web (incluyendo la biblioteca digital de este blog):

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------- NOTA EXTRA (10-01-2025):

"EL LIBRO DE LA NATURALEZA ESTÁ ESCRITO EN LENGUAJE MATEMÁTICO". "LAS MATEMÁTICAS SON EL LENGUAJE EN EL QUE DIOS ESCRIBIÓ EL UNIVERSO". GALILEO GALILEI (1564–1642).

Profesor e Investigador Franklin Galindo. Dr. en Matemáticas UCV. Síntesis curricular: https://ucv.academia.edu/FranklinGalindo/CurriculumVitae

“La matemática posee no sólo verdad, sino también belleza suprema; una belleza fría y austera, como aquella de la escultura, sin apelación a ninguna parte de nuestra naturaleza débil, sin los adornos magníficos de la pintura o la música, pero sublime y pura, y capaz de una perfección severa como sólo las mejores artes pueden presentar. El verdadero espíritu del deleite, de exaltación, el sentido de ser más grande que el hombre, que es el criterio con el cual se mide la más alta excelencia, puede ser encontrado en la matemática tan seguramente como en la poesía.” Bertrand Russell (1872-1970).

¿Qué es una TEORÍA CIENTÍFICA?

(03-09-2023) Una breve descripción de lo que es una "Teoría Científica" puede leerse en la siguiente imagen: (Para leerla por favor proceder a descargarla y una vez descargada ampliar el zoom de la computadora, así se puede leer muy bien completamente. Las fuentes del contenido están en la imagen, son dos fuentes.)

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NOTA EXTRA (10-01-2025):

"EL LIBRO DE LA NATURALEZA ESTÁ ESCRITO EN LENGUAJE MATEMÁTICO". GALILEO GALILEI (1564–1642).

Profesor e Investigador Franklin Galindo. Dr. en Matemáticas UCV. Síntesis curricular: https://ucv.academia.edu/FranklinGalindo/CurriculumVitae

“La matemática posee no sólo verdad, sino también belleza suprema; una belleza fría y austera, como aquella de la escultura, sin apelación a ninguna parte de nuestra naturaleza débil, sin los adornos magníficos de la pintura o la música, pero sublime y pura, y capaz de una perfección severa como sólo las mejores artes pueden presentar. El verdadero espíritu del deleite, de exaltación, el sentido de ser más grande que el hombre, que es el criterio con el cual se mide la más alta excelencia, puede ser encontrado en la matemática tan seguramente como en la poesía.” Bertrand Russell (1872-1970).

Algunos textos matemáticos (2)

(03-09-2023) Algunos de los siguientes textos matemáticos (versión digital) se pueden encontrar y bajar en la web (incluyendo la biblioteca digital de este blog):

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NOTA EXTRA (10-02-2025):

La Silogística de Aristóteles desde el punto de vista de la Lógica Matemática.

(Agosto 2019)

Una introducción contemporánea a la Silogística de Aristóteles puede conseguirse (entre otros) en el texto "Lógica Simbólica" de Manuel Garrido (Capítulo X), el cual está en la biblioteca digital de este blog y se puede bajar. También vale la pena resaltar que dicho texto presenta una introducción a la Lógica matemática. Otros tres textos  contemporáneos  que también presentan una introducción a la Lógica matemática son "Introducción a la Lógica" y "Lógica Simbólica" de Irvig Copi, e "Introducción a la lógica formal" de Alfredo Deaño. También se puede mencionar el texto de "Lógica para principiantes" de María Manzano y Antonia Huertas. Todos ellos son recomendados para introducirse en la Lógica matemática y se pueden conseguir (y bajar) en la biblioteca digital de este blog. (Existen otros muy buenos textos introductorios de Lógica Matemática).

                             Aristóteles (384 a. C. - 322 a. C.): Filósofo, lógico y científico.


                             
Para los estudios y profundización en la Historia de la  Lógica matemática (principales fundadores y sus contribuciones, por ejemplo) vale la pena presentar un interesante diagrama sobre la misma y los Fundamentos de la matemática,  desde 1847 hasta 1947. La foto original en alta resolución donde se puede leer con todo detalle el diagrama  está disponible para descargar en el enlace:

https://www.flickr.com/photos/61656241@N02/15441918067/?fbclid=IwAR1VPlqoAEhMP74LzqZvFddxX2jAJj1UHga9CYYIjQZMPY-uK5dLGk9GpeE  . El diagrama fue realizado por Joel Friedman en 1976.  El autor se basó para hacer su obra (principalmente) en los textos clásicos "From Frege to Gödel" de Jean van Heijenoort, 1969, y "The Development of Logic" de W. Kneale y M. Kneale, 1962. El diagrama es el siguiente:

Para una información  avanzada sobre la Silogística de Aristóteles puede consultarse el artículo (entre otros) de Corcoran "Completeness of an ancient logic", The Journal of Symbolic Logic, vol. 37,1972. Y  el texto de Lukasiewicz "La Silogística de Aristóteles desde el punto de vista de la lógica formal moderna" (1957), Tecnos, Madrid, 1977. [El trabajo de Lukasiewicz sobre la Silogística aparece referido-en el diagrama anterior sobre Lógica matemática y Fundamentos-como una de sus contribuciones, son varios sus aportes, ver el diagrama]. Es importante destacar que la interpretación de la Silogística de Aristóteles que realiza Corcoran difiere en algunos aspectos importantes de la que realiza Lukasiewicz, por ejemplo Lukasiewicz la presenta como un sistema axiomático que presupone a la Lógica proposicional y Corcoran la presenta  como un sistema de reglas de inferencia que no presupone a la Lógica proposicional (Vale la pena resaltar que Corcoran-en su artículo mencionado anteriormente- realiza una prueba de la "Completitud" de dicho sistema usando una adaptación del método del conjunto maximal consistente de Henkin).

                             Jan Lukasiewicz (1878-1956): Matemático, lógico y filósofo.

                              Jon Corcoran (nació en 1937): Lógico, filósofo y matemático.

                                      Leon Henkin (1921-2006): Matemático y lógico.

Un texto  que contiene los escritos lógicos originales de Aristóteles y donde se encuentra su teoría del Silogísmo es "Aristóteles. Tratados de Lógica (El Organón)", Editorial Porrúa.

Nota 1: Además de Lukasiewicz y Corcoran es conocido que D. Hilbert y W. Ackermann (entre otros) estudian a la Silogística con la Lógica Matemática, ellos la presentan en el contexto del Cálculo de Clases. Esto lo hacen en su texto "Elementos de Lógica Teórica" (1958), Capítulo 2:"El Cálculo de Clases", ver. Allí prueban que el Cálculo de Clases es decidible usando (entre otros) los procedimientos efectivos de "forma normal conjuntiva" y "forma normal disyuntiva" de la Lógica Proposicional y la correspondencia natural entre las operaciones (Booleanas) de Clases de "intersección", "unión" y "complemento" con las conectivas proposicionales de "conjunción", "disyunción" y "negación" (respectivamente). (El resultado sobre la dicibilidad del Cálculo de Clases que prueba Hilbert y Ackermann es original de Löwenheim, según ambos autores).

Nota 2: Tal vez se pueda decir que la Lógica de Predicados Monádicos actual (proveniente de los trabajos lógicos pioneros de Boole, Frege, Russell-Whitehead, Hilbert y Tarski, entre otros) se pueda considerar como una versión contemporánea de la Silogística de Aristóteles. Como es conocido tal sistema tiene las propiedades de completitud, consistencia y decibilidad (entre otras) al igual que la Silogística de Aristóteles "original" (la de Lukasiewicz y la de Corcoran). Una prueba de las mismas puede encontrarse (entre otros) en el texto de Alonzo Church: INTRODUCTION TO MATHEMATICAL LOGIC. Princeton University Press, 1956. Ver. Es conocido que la Lógica de Primer Orden con Predicados Poliádicos (una extensión propia de la Lógica de Predicados monádicos) es consistente y completa (Gödel 1930, Henkin 1949) pero no es decidible (Alonzo Church, 1936). También es muy conocido que con la Lógica de Primer Orden de Predicados Poliádicos se puede formalizar y estudiar el razonamiento matemático, no todo el razonamiento matemático (por los Teoremas de Incompletitud de Gödel de 1931) pero se puede estudiar en un grado importante vía (por ejemplo) la teoría de conjuntos formalizada en primer orden, en cambio esto no se puede hacer usando a la Silogística, ya que (entre otras razones), con el lenguaje de la Silogística no se pueden expresar relaciones entre individuos (por ejemplo "x < y").

Nota 3: Teniendo presente  la "Nota 1" puede surgir  la siguiente pregunta: ¿se puede considerar a las Teorías axiomáticas  de conjuntos contemporáneas (ZFC, NBG, KM,  etc) como las versiones actualizadas  (y generalizadas) de la Silogística de Aristóteles? ¿o no hay comparación relevante  entre dichos sistemas [más allá de que los silogismos válidos aristotélicos que no tienen problemas del compromiso existencial se pueden demostrar como teoremas de dichas teorías axiomáticas de conjuntos, e incluso los que tienen problema del compromiso existencial se pueden demostrar agregando una premisa adicional]?.

Nota 4: Vale la pena resaltar que hoy en día existen trabajos novedosos sobre la Silogística, por ejemplo sobre métodos gráficos para determinar la validez o no de los silogismos. Y también se investiga dicho sistema en la actualidad desde un punto de vista filosófico (por ejemplo "ontológico").

A continuación se presentan  las imágenes de  algunos investigadores  que contribuyeron con la conformación de la Lógica Matemática y Fundamentos, y que aparecen  en el diagrama presentado anteriormente (además de estar relacionados con esta entrada):

                                      George Boole (185-1864): Matemático y Lógico.

                             Gottlob Frege (1848-1925): Matemático, Lógico y Filósofo.

                               Bertand Russell (1872-1970): Matemático, Lógico y Filósofo.

                                David Hilber (1862-1943): Matemático, Lógico y filósofo.

                                  Wilhelm Ackermann (1896-1962): Matemático y lógico.

                                  Leopold Löwenheim (1878-1957): Matemático y lógico.                 


                   

Observación final: He escrito dos artículos sobre la Silogística desde el punto de vista de la Lógica Matemática:
(1) "Axiomatización de la Silogística Extendida". Episteme NS, Vol. 21, N 1, 2001, pp. 15-29. Enlace web donde se puede bajar: https://aristotelesucv.files.wordpress.com/2016/10/aximatizacion-de-la-silogistica-extendida-franklin-galindo.pdf  . También se puede bajar de la biblioteca digital de este blog, en la actualidad la versión PDF del artículo que está en el blog de Aristóteles le faltan dos páginas. La versión que está en la biblioteca digital de este blog si está completa, por eso recomiendo bajarlo de la biblioteca digital de este blog.
Y (2) "Las reglas de Irving Copi y Carl Cohen son una condición necesaria y suficiente de la validez de los silogísmos categóricos de forma estándar". Episteme NS, Vol. 25, N 1, 2005, pp. 123-147 (este último es con Kris Martins). Enlace web donde se puede bajar:
http://saber.ucv.ve/ojs/index.php/rev_ens/article/view/13289

Se culmina esta entrada con una imagen final de "La Escuela de Atenas" (hacer clic en la imagen para agrandarla y apreciarla mejor):

"La escuela de Atenas (en italiano: Scuola di Atene) es una de las pinturas más destacadas del artista renacentista italiano Rafael Sanzio. Fue hecha en boceto entre 1509 y 1510 y pintada entre 1510 y 1512 como parte de una comisión para decorar con frescos las habitaciones que hoy en día son conocidas como las estancias de Rafael, ubicadas en el Palacio Apostólico de la Ciudad del Vaticano." https://es.wikipedia.org/wiki/La_escuela_de_Atenas . En dicha pintura se puede ver (según referencias), entre otros, a los grandes filósofos griegos Heráclito, Sócrates, Platón y Aristóteles, y a los grandes matemáticos griegos Hipatía, Pitágoras y Euclides.