Matemáticas

Frase célebre 1: "Después de todo, ¿qué es la matemática sino la poesía de la mente, y qué es la poesía sino la matemática del corazón?". DAVID EUGENE SMITH. (1860—1944). Matemático estadounidense, educador, coleccionista, editor e historiador de las matemáticas. Frase célebre 2 : "Quizá lo más extraño de la ciencia moderna sea su regreso al Pitagorismo". Bertrand RUSSELL. (1872-1970). Matemático, Lógico, Filósofo, etc. Frase célebre 3: "Las Matemáticas son tanto un aspecto de la Cultura como una colección de algoritmos". C.B. BOYER (1906-1976). History of the Calculus and its conceptual development. Dover, New York. 1949. Frase célebre 4: "Conferimos a las ciencias matemáticas el poder dialéctico de ascender de la caverna a la luz, de lo visible a lo inteligible, de los sentidos a la esencia, por medio de la inteligencia". PLATÓN. República (532c). Frase célebre 5: "El poder que mueve la invención matemática no es (solo) el razonamiento sino la imaginación". AUGUSTUS DE MORGAN (1806−1871). Matemático y lógico británico nacido en la India. Frase célebre 6: "EL LIBRO DE LA NATURALEZA ESTÁ ESCRITO EN LENGUAJE MATEMÁTICO". GALILEO GALILEI (1564–1642), EL PADRE DEL MÉTODO CIENTÍFICO. Frase célebre 7: “Muchas personas que no han estudiado MATEMÁTICAS las consideran una ciencia árida e infructuosa. En realidad, sin embargo, es una CIENCIA que requiere un gran dosis de IMAGINACIÓN.” Sofia Kovalévskaya (1850-1891). Matemática rusa. Frase célebre 8: "La Matemática es la reina de las ciencias y la Aritmética es la reina de las Matemáticas". JOHANN CARL FRIEDRICH GAUSS (1777–1855). Matemático, Astrónomo, Geodesta, y Físico alemán. Frase célebre 9: "El número es el lazo de unión de la eterna persistencia de las cosas". PLATÓN. Timeo. Frase célebre 10: "La matemática ha avanzado más por aquellos que se distinguieron por su intuición que por pruebas rigurosas". Félix KLEIN. (1849-1925). Matemático alemán de gran trascendencia teórica, histórica y metodológica. Frase célebre 11: "Las matemáticas puras son, a su manera, la poesía de las ideas lógicas". Albert EINSTEIN (1879–1955).

La Hipótesis del Continuo de Cantor ¿Cuál es el cardinal del continuo?

La Hipótesis del Continuo de Cantor ¿Cuál es el cardinal del continuo?
¿ (En la actualidad) Estamos cerca de una solución del problema del cardinal del conjunto de los números reales ? ¿Estamos cerca de saber cuál es dicho cardinal o falta mucho todavía? Los intentos por determinar la cardinalidad del conjunto de los números reales (el cardinal del continuo) han contribuido sustancialmente con el desarrollo de la Teoría de Conjuntos. Hacia 1878 G. Cantor conjeturó que tal cardinal es el menor cardinal mayor que el cardinal de los números naturales (Alef_0), es decir, Alef_1. Esta hipótesis se denomina Hipótesis del continuo (HC) y Cantor no pudo demostrar la misma. Para David Hilbert la HC era tan importante que la colocó de primera en la lista de problemas presentada al Congreso Internacional de Matemáticas realizado en París en 1900; y uno de los resultados más destacados al respecto es la prueba de su independencia de los axiomas estándar de la Teoría de Conjuntos, la cual se debe a K. Gödel (1938) y a P. Cohen (1963-64), es decir, tales autores demostraron que si los axiomas estándar de la Teoría de Conjuntos son consistentes, entonces no se puede deducir de ellos la HC, ni la negación de la HC. Considerando esta independencia y además que (desde un punto de vista platonista) la HC es una proposición significativa la cual es verdadera o falsa, una de las investigaciones actuales más relevantes sobre el tema consiste en la búsqueda de nuevos axiomas que permitan decidir el cardinal del continuo. Vale la pena destacar que algunos de los candidatos a nuevos axiomas dicen que Cantor estaba equivocado, pues ellos implican que el cardinal del continuo es Alef_2, el menor cardinal mayor que Alef_1 (Gödel había intuido este resultado años antes). ¿ Qué ha pasado con el problema del cardinal del continuo después de Gödel (1938) y Cohen (1964) ? Intentos de responder esta pregunta pueden encontrarse en los artículos del Prof. José Alfredo Amor (1946-2011), "El Problema del continuo después de Cohen (1964-2004)", del Prof. Carlos Di Prisco , "Are we closer to a solution of the continuum problem", y del Prof. Joan Bagaria, "Natural axioms of set and the continuum problem" , que se encuentran en la biblioteca digital de este blog que aparecerá al hacer clic en la imagen. También se puede encontrar más información al respecto en dicha biblioteca, en las otras bibliotecas digitales referidas en este blog y en una entrada específica de este blog dedicada al tema (por favor leer esta entrada de primero). Y también en la siguiente entrada web ("The Continuum Hypothesis") de la Enciclopedia de Filosofía de la Universidad de Stanford existe información importante y actualizada al respecto: https://plato.stanford.edu/entries/continuum-hypothesis/

Cardinales grandes

Cardinales grandes
En este blog existe una entrada referida a este tema donde se colocan algunas referencias clásicas. Hacer clic sobre la imagen para tener acceso a dicha entrada.

Matemática aplicada

Matemática aplicada
Matemática Aplicada. Esquema del "Proceso de Modelación Matemática". Es muy interesante el tema de las aplicaciones de la matemática (en todas sus ramas) a las ciencias naturales y sociales. Hacer clic sobre la imagen para ver un video de youtube que presenta un resumen de diversas aplicaciones de la matemática a las ciencias, el video es del canal "EduMates". También en el siguiente video de youtube se puede ver una interesante entrevista al profesor de matemáticas Marcus du Sautoy realizada por Eduar Punset, en la cual el profesor Marcus habla sobre el tema de la aplicación matemática, el video se llama "Las Simetrías del Universo": https://www.youtube.com/watch?v=jegmxU9YS-s Un ejemplo de cómo crear un modelo matemático usando Ecuaciones Diferenciales (video de youtube del canal "MateFacil") es el siguiente: https://www.youtube.com/watch?v=V9UE2QmnDjw Otro ejemplo se puede ver en el siguiente video de youtube de "MateFacil": https://www.youtube.com/watch?v=WgWcxansYCs&t=18s Y otro ejemplo se puede ver en el siguiente video de youtube del canal "Matemáticas y física con tilde": https://www.youtube.com/watch?v=jXVJJoFTbeQ Es conocido que en internet (por ejemplo en "youtube") se pueden encontrar muchos otros videos tutoriales con ejemplos de aplicaciones matemáticas (de todas las ramas de las matemáticas). En el siguiente video de youtube se puede ver dos ejemplos de modelos (o fenómenos) estocásticos o probabilísticos: https://www.youtube.com/watch?v=8hHevhITp-c . En la biblioteca digital de este blog se pueden conseguir algunos libros con diferentes aplicaciones matemáticas.

lunes, 30 de octubre de 2017

Álgebras booleanas, órdenes parciales y el axioma de elección



                                                  George Boole (1815-1864)



Un artículo  que he realizado   sobre la interesante relación  que existe entre las álgebras booleanas, los órdenes parciales y el axioma de elección  es el siguiente: "Álgebras booleanas, órdenes parciales y  axioma de elección".   "Divulgaciones Matemáticas", Vol. 18, N 1 (2017), pp. 34-54. Se puede encontrar (en PDF) y bajar  del siguiente enlace web  http://divmat.demat-fecluz.org/vol-18-no-1-2017

Resumen del artículo:

El objetivo de este artículo es presentar una demostración de un teorema clásico sobre álgebras booleanas y órdenes parciales de relevancia actual en teoría de conjuntos, como por ejemplo, para aplicaciones del método de construcción de modelos llamado "forcing"(con álgebras booleanas completas o con órdenes parciales), y  para demostrar (en Combinatoria infinita) que el Axioma de Martin es equivalente al Axioma de Martin restringido a álgebras booleanas completas. El teorema que se prueba es el siguiente: "Todo orden parcial se puede extender a una única álgebra booleana completa (salvo isomorfismo)". Donde extender significa "sumergir densamente". Tal demostración se realiza utilizando cortaduras de Dedekind siguiendo el texto "Set Theory" de Jech, y otras ideas propias del autor de este artículo. [Vale la pena resaltar que la primera demostración de este teorema fue realizada por Marshel Stone en 1936]. Adicionalmente, se formulan algunas versiones débiles del axioma de elección relacionadas con las álgebras booleanas, las cuales son también de gran importancia para la investigación en teoría de conjuntos y teoría de modelos, pues estas son poderosas técnicas de construcción de modelos, como por ejemplo, el teorema de compacidad (permite construir modelos no estándar como  el cuerpo ordenado y no arquimediano de los Hiper-Reales del Análisis no estándar de Robinson,  etc) y el teorema del ultrafiltro, que permite construir ultraproductos (pueden ser usados para investigar problemas de  cardinales grandes, etc). Se presentan algunas referencias de problemas abiertos sobre el tema.



                                                        Marshel Stone (1903-1989)



Vale la pena resaltar que una  parte del tema de álgebras booleanas (entre otras) que no está presentada en el artículo mencionado anteriormente son las aplicaciones muy útiles de los polinomios booleanos como modelos de circuitos eléctricos o de Barrera (con compuertas lógicas). La siguiente imagen presenta un circuito con compuertas lógicas asociado a un polinomio booleano, es decir, el polinomio booleano que está a mano derecha  es un modelo matemático del circuito de compuertas lógicas que está a mano izquierda:

La siguiente imagen presenta ejemplos con circuitos eléctricos asociados a polinomios booleanos:



Pues bien, Las leyes del álgebra booleana son útiles entonces para OPTIMIZAR (simplificar, reducir) tales circuitos, simplificando lo más posible el polinomio booleano asociado al mismo (usando dichas leyes). Esta es la aplicación (electrónica digital, electricidad, informática, etc) a que nos estamos refiriendo concretamente. En las aplicaciones de álgebras booleanas del tipo anterior puede ser útil considerar la siguiente estructura algebraica de la lógica binaria (que satisface los axiomas de ágebra booleana, es decir, que es un álgebra booleana): ({0,1}, +, . -), donde la función binaria suma "+" se define como la conectiva disyunción inclusiva en lógica proposicional (considerando 1=V y 0=F), la función binaria producto "." se define como la conectiva conjunción en lógica proposicional, y la función unaria complemento "-" se define como la conectiva negación en la lógica proposicional. Más información sobre este tipo de aplicaciones de las álgebras booleanas puede encontrarse en los siguientes textos (entre otros), dos  de ellos están en la biblioteca digital de este blog y se pueden bajar (el 2 y el 5):
(1)   “Matemáticas discreta y combinatoria. (Una introducción   con aplicaciones)”. Ralph Grimaldi. Addison Wesley Longman de México, S.A. de CV. 1998. 
(2)  “Matemáticas discretas”. Seymour Lipschutz y Marc Lipson. McGraw-Hill. 2009. 
(3)   “Álgebra 1”. Armando Rojo. Librería “El Ateneo” editorial. 1978.  
(4)   “Álgebra Moderna”. Frank Ayres. McGraw-Hill. Tercera impresión.    
(5)   “Teoría de conjuntos y temas afines”. Seymour Lipshutz. McGraw-Hill. 1969.
(6) Algebra de Boole . https://es.slideshare.net/1971karlos/algebra-de-boole-libro

(En la web existe bastante información al respecto)


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