Álgebras booleanas, órdenes parciales y el axioma de elección

                                                  George Boole (1815-1864)



Un artículo  que he realizado   sobre la interesante relación  que existe entre las álgebras booleanas, los órdenes parciales y el axioma de elección  es el siguiente: "Álgebras booleanas, órdenes parciales y  axioma de elección".   "Divulgaciones Matemáticas", Vol. 18, N 1 (2017), pp. 34-54. Se puede encontrar (en PDF) y bajar  del siguiente enlace web  http://divmat.demat-fecluz.org/vol-18-no-1-2017

Resumen del artículo:

El objetivo de este artículo es presentar una demostración de un teorema clásico sobre álgebras booleanas y órdenes parciales de relevancia actual en teoría de conjuntos, como por ejemplo, para aplicaciones del método de construcción de modelos llamado "forcing"(con álgebras booleanas completas o con órdenes parciales), y  para demostrar (en Combinatoria infinita) que el Axioma de Martin es equivalente al Axioma de Martin restringido a álgebras booleanas completas. El teorema que se prueba es el siguiente: "Todo orden parcial se puede extender a una única álgebra booleana completa (salvo isomorfismo)". Donde extender significa "sumergir densamente". Tal demostración se realiza utilizando cortaduras de Dedekind siguiendo el texto "Set Theory" de Jech, y otras ideas propias del autor de este artículo. [Vale la pena resaltar que la primera demostración de este teorema fue realizada por Marshel Stone en 1936]. Adicionalmente, se formulan algunas versiones débiles del axioma de elección relacionadas con las álgebras booleanas, las cuales son también de gran importancia para la investigación en teoría de conjuntos y teoría de modelos, pues estas son poderosas técnicas de construcción de modelos, como por ejemplo, el teorema de compacidad (permite construir modelos no estándar como  el cuerpo ordenado y no arquimediano de los Hiper-Reales del Análisis no estándar de Robinson,  etc) y el teorema del ultrafiltro, que permite construir ultraproductos (pueden ser usados para investigar problemas de  cardinales grandes, etc). Se presentan algunas referencias de problemas abiertos sobre el tema.

                                                        Marshel Stone (1903-1989)

Vale la pena resaltar que una  parte del tema de álgebras booleanas (entre otras) que no está presentada en el artículo mencionado anteriormente son las aplicaciones muy útiles de los polinomios booleanos como modelos de circuitos eléctricos o de Barrera (con compuertas lógicas). La siguiente imagen presenta un circuito con compuertas lógicas asociado a un polinomio booleano, es decir, el polinomio booleano que está a mano derecha  es un modelo matemático del circuito de compuertas lógicas que está a mano izquierda:

La siguiente imagen presenta ejemplos con circuitos eléctricos asociados a polinomios booleanos:

Pues bien, Las leyes del álgebra booleana son útiles entonces para OPTIMIZAR (simplificar, reducir) tales circuitos, simplificando lo más posible el polinomio booleano asociado al mismo (usando dichas leyes). Esta es la aplicación (electrónica digital, electricidad, informática, etc) a que nos estamos refiriendo concretamente. En las aplicaciones de álgebras booleanas del tipo anterior puede ser útil considerar la siguiente estructura algebraica de la lógica binaria (que satisface los axiomas de ágebra booleana, es decir, que es un álgebra booleana): ({0,1}, +, . -), donde la función binaria suma "+" se define como la conectiva disyunción inclusiva en lógica proposicional (considerando 1=V y 0=F), la función binaria producto "." se define como la conectiva conjunción en lógica proposicional, y la función unaria complemento "-" se define como la conectiva negación en la lógica proposicional. Más información sobre este tipo de aplicaciones de las álgebras booleanas puede encontrarse en los siguientes textos (entre otros), dos  de ellos están en la biblioteca digital de este blog y se pueden bajar (el 2 y el 5):
(1)   “Matemáticas discreta y combinatoria. (Una introducción   con aplicaciones)”. Ralph Grimaldi. Addison Wesley Longman de México, S.A. de CV. 1998. 
(2)  “Matemáticas discretas”. Seymour Lipschutz y Marc Lipson. McGraw-Hill. 2009. 
(3)   “Álgebra 1”. Armando Rojo. Librería “El Ateneo” editorial. 1978.  
(4)   “Álgebra Moderna”. Frank Ayres. McGraw-Hill. Tercera impresión.    
(5)   “Teoría de conjuntos y temas afines”. Seymour Lipshutz. McGraw-Hill. 1969.
(6) Algebra de Boole . https://es.slideshare.net/1971karlos/algebra-de-boole-libro

(En la web existe bastante información al respecto)