El Axioma de Elección es equivalente al Principio del Buen Orden y al Lema de Zorn (1/4)

Con respecto al equivalencia entre el Axioma de elección (AE) y el Principio del buen orden (PBO) la idea principal (intuitiva) de la prueba es la siguiente: El AE implica al PBO: Sea A un conjunto infinito no numerable cualquiera, entonces se considera el conjunto de partes de A, P(A),y se le aplica a P(A) el AE, sea f una función selectora para P(A), entonces con esa f, y usando induccción transfinta en los ordinales, se define un buen orden para el conjunto A (de una manera bastante intuitiva),por ejemplo a_0=f(A), a_1=f(A-{a_0}), a_2=f(A-{a_0,a_1}), a_3=f(A-{a_0,a_1,a_2}),...., a_n=f(A-{a_0,a_1,a_2,..., a_(n-1)}) ,.....,a_omega=f(A-{a_0,a_1,a_3,..., a_n,...}), a_(omega+1)=f(A-{a_0,a_1,a_3,..., a_n,...; a_omega}), a_(omega+2)=f(A-{a_0,a_1,a_3,..., a_n,...; a_omega, a_(omega+1)}), a_(omega+3)=f(A-{a_0,a_1,a_3,..., a_n,...; a_omega, a_(omega+1), a_(omega + 2)}), ... y así sucesivamente. Este procedimiento inductivo TERMINA, PARA, en algún número ordinal alfa (aunque puede ser muy grande tal ordinal alfa) por el Axioma de Reemplazo, en caso contrario (SI NO TERMINA, SI NO PARA) la colección de todos los ordinales sería un conjunto lo cual contradice el hecho de que dicha colección es una clase propia (que no puede ser un conjunto). El PBO implica al AE: Sea A un conjunto no vacío. Entonces consideramos el conjunto unión de A, UA, y le aplicamos a este UA conjunto el PBO, sea < un buen orden para UA obtenido por el PBO, entonces se define una función selectora f para A usando al buen orden < : Por ejemplo, si a pertenece a A, a está bien ordenado por <, entonces definimos f(a) como es el menor elemento de a según en buen orden <, también si b pertenece a A, y b es distinto de a, b también está bien ordenado por < y definimos f(b) como el menor elemento de b según el buen orden <....Esta es la idea intuitiva de la equivalencia en el AE y el PBO que demostró Zermelo. A continuación se presenta una prueba rigurosa de tal equivalencia y después se presenta otra prueba rigurosa de la equivalencia entre el Axioma de elcción y el Lema de Zorn:

Texto: Teoría de Conjuntos. Autor: Carlos Di Prisco. Universidad Central de Venezuela. 2009. Tal libro se puede encontrar y bajar de la biblioteca digital de este blog.

Ernst Zermelo (1871-1953)