La Silogística de Aristóteles desde el punto de vista de la Lógica Matemática.

(Agosto 2019)

Una introducción contemporánea a la Silogística de Aristóteles puede conseguirse (entre otros) en el texto "Lógica Simbólica" de Manuel Garrido (Capítulo X), el cual está en la biblioteca digital de este blog y se puede bajar. También vale la pena resaltar que dicho texto presenta una introducción a la Lógica matemática. Otros tres textos  contemporáneos  que también presentan una introducción a la Lógica matemática son "Introducción a la Lógica" y "Lógica Simbólica" de Irvig Copi, e "Introducción a la lógica formal" de Alfredo Deaño. También se puede mencionar el texto de "Lógica para principiantes" de María Manzano y Antonia Huertas. Todos ellos son recomendados para introducirse en la Lógica matemática y se pueden conseguir (y bajar) en la biblioteca digital de este blog. (Existen otros muy buenos textos introductorios de Lógica Matemática).

                             Aristóteles (384 a. C. - 322 a. C.): Filósofo, lógico y científico.


                             
Para los estudios y profundización en la Historia de la  Lógica matemática (principales fundadores y sus contribuciones, por ejemplo) vale la pena presentar un interesante diagrama sobre la misma y los Fundamentos de la matemática,  desde 1847 hasta 1947. La foto original en alta resolución donde se puede leer con todo detalle el diagrama  está disponible para descargar en el enlace:

https://www.flickr.com/photos/61656241@N02/15441918067/?fbclid=IwAR1VPlqoAEhMP74LzqZvFddxX2jAJj1UHga9CYYIjQZMPY-uK5dLGk9GpeE  . El diagrama fue realizado por Joel Friedman en 1976.  El autor se basó para hacer su obra (principalmente) en los textos clásicos "From Frege to Gödel" de Jean van Heijenoort, 1969, y "The Development of Logic" de W. Kneale y M. Kneale, 1962. El diagrama es el siguiente:

Para una información  avanzada sobre la Silogística de Aristóteles puede consultarse el artículo (entre otros) de Corcoran "Completeness of an ancient logic", The Journal of Symbolic Logic, vol. 37,1972. Y  el texto de Lukasiewicz "La Silogística de Aristóteles desde el punto de vista de la lógica formal moderna" (1957), Tecnos, Madrid, 1977. [El trabajo de Lukasiewicz sobre la Silogística aparece referido-en el diagrama anterior sobre Lógica matemática y Fundamentos-como una de sus contribuciones, son varios sus aportes, ver el diagrama]. Es importante destacar que la interpretación de la Silogística de Aristóteles que realiza Corcoran difiere en algunos aspectos importantes de la que realiza Lukasiewicz, por ejemplo Lukasiewicz la presenta como un sistema axiomático que presupone a la Lógica proposicional y Corcoran la presenta  como un sistema de reglas de inferencia que no presupone a la Lógica proposicional (Vale la pena resaltar que Corcoran-en su artículo mencionado anteriormente- realiza una prueba de la "Completitud" de dicho sistema usando una adaptación del método del conjunto maximal consistente de Henkin).

                             Jan Lukasiewicz (1878-1956): Matemático, lógico y filósofo.

                              Jon Corcoran (nació en 1937): Lógico, filósofo y matemático.

                                      Leon Henkin (1921-2006): Matemático y lógico.

Un texto  que contiene los escritos lógicos originales de Aristóteles y donde se encuentra su teoría del Silogísmo es "Aristóteles. Tratados de Lógica (El Organón)", Editorial Porrúa.

Nota 1: Además de Lukasiewicz y Corcoran es conocido que D. Hilbert y W. Ackermann (entre otros) estudian a la Silogística con la Lógica Matemática, ellos la presentan en el contexto del Cálculo de Clases. Esto lo hacen en su texto "Elementos de Lógica Teórica" (1958), Capítulo 2:"El Cálculo de Clases", ver. Allí prueban que el Cálculo de Clases es decidible usando (entre otros) los procedimientos efectivos de "forma normal conjuntiva" y "forma normal disyuntiva" de la Lógica Proposicional y la correspondencia natural entre las operaciones (Booleanas) de Clases de "intersección", "unión" y "complemento" con las conectivas proposicionales de "conjunción", "disyunción" y "negación" (respectivamente). (El resultado sobre la dicibilidad del Cálculo de Clases que prueba Hilbert y Ackermann es original de Löwenheim, según ambos autores).

Nota 2: Tal vez se pueda decir que la Lógica de Predicados Monádicos actual (proveniente de los trabajos lógicos pioneros de Boole, Frege, Russell-Whitehead, Hilbert y Tarski, entre otros) se pueda considerar como una versión contemporánea de la Silogística de Aristóteles. Como es conocido tal sistema tiene las propiedades de completitud, consistencia y decibilidad (entre otras) al igual que la Silogística de Aristóteles "original" (la de Lukasiewicz y la de Corcoran). Una prueba de las mismas puede encontrarse (entre otros) en el texto de Alonzo Church: INTRODUCTION TO MATHEMATICAL LOGIC. Princeton University Press, 1956. Ver. Es conocido que la Lógica de Primer Orden con Predicados Poliádicos (una extensión propia de la Lógica de Predicados monádicos) es consistente y completa (Gödel 1930, Henkin 1949) pero no es decidible (Alonzo Church, 1936). También es muy conocido que con la Lógica de Primer Orden de Predicados Poliádicos se puede formalizar y estudiar el razonamiento matemático, no todo el razonamiento matemático (por los Teoremas de Incompletitud de Gödel de 1931) pero se puede estudiar en un grado importante vía (por ejemplo) la teoría de conjuntos formalizada en primer orden, en cambio esto no se puede hacer usando a la Silogística, ya que (entre otras razones), con el lenguaje de la Silogística no se pueden expresar relaciones entre individuos (por ejemplo "x < y").

Nota 3: Teniendo presente  la "Nota 1" puede surgir  la siguiente pregunta: ¿se puede considerar a las Teorías axiomáticas  de conjuntos contemporáneas (ZFC, NBG, KM,  etc) como las versiones actualizadas  (y generalizadas) de la Silogística de Aristóteles? ¿o no hay comparación relevante  entre dichos sistemas [más allá de que los silogismos válidos aristotélicos que no tienen problemas del compromiso existencial se pueden demostrar como teoremas de dichas teorías axiomáticas de conjuntos, e incluso los que tienen problema del compromiso existencial se pueden demostrar agregando una premisa adicional]?.

Nota 4: Vale la pena resaltar que hoy en día existen trabajos novedosos sobre la Silogística, por ejemplo sobre métodos gráficos para determinar la validez o no de los silogismos. Y también se investiga dicho sistema en la actualidad desde un punto de vista filosófico (por ejemplo "ontológico").

A continuación se presentan  las imágenes de  algunos investigadores  que contribuyeron con la conformación de la Lógica Matemática y Fundamentos, y que aparecen  en el diagrama presentado anteriormente (además de estar relacionados con esta entrada):

                                      George Boole (185-1864): Matemático y Lógico.

                             Gottlob Frege (1848-1925): Matemático, Lógico y Filósofo.

                               Bertand Russell (1872-1970): Matemático, Lógico y Filósofo.

                                David Hilber (1862-1943): Matemático, Lógico y filósofo.

                                  Wilhelm Ackermann (1896-1962): Matemático y lógico.

                                  Leopold Löwenheim (1878-1957): Matemático y lógico.                 


                   

Observación final: He escrito dos artículos sobre la Silogística desde el punto de vista de la Lógica Matemática:
(1) "Axiomatización de la Silogística Extendida". Episteme NS, Vol. 21, N 1, 2001, pp. 15-29. Enlace web donde se puede bajar: https://aristotelesucv.files.wordpress.com/2016/10/aximatizacion-de-la-silogistica-extendida-franklin-galindo.pdf  . También se puede bajar de la biblioteca digital de este blog, en la actualidad la versión PDF del artículo que está en el blog de Aristóteles le faltan dos páginas. La versión que está en la biblioteca digital de este blog si está completa, por eso recomiendo bajarlo de la biblioteca digital de este blog.
Y (2) "Las reglas de Irving Copi y Carl Cohen son una condición necesaria y suficiente de la validez de los silogísmos categóricos de forma estándar". Episteme NS, Vol. 25, N 1, 2005, pp. 123-147 (este último es con Kris Martins). Enlace web donde se puede bajar:
http://saber.ucv.ve/ojs/index.php/rev_ens/article/view/13289

Se culmina esta entrada con una imagen final de "La Escuela de Atenas" (hacer clic en la imagen para agrandarla y apreciarla mejor):

"La escuela de Atenas (en italiano: Scuola di Atene) es una de las pinturas más destacadas del artista renacentista italiano Rafael Sanzio. Fue hecha en boceto entre 1509 y 1510 y pintada entre 1510 y 1512 como parte de una comisión para decorar con frescos las habitaciones que hoy en día son conocidas como las estancias de Rafael, ubicadas en el Palacio Apostólico de la Ciudad del Vaticano." https://es.wikipedia.org/wiki/La_escuela_de_Atenas . En dicha pintura se puede ver (según referencias), entre otros, a los grandes filósofos griegos Heráclito, Sócrates, Platón y Aristóteles, y a los grandes matemáticos griegos Hipatía, Pitágoras y Euclides.