Breve artículo: "Un problema abierto sobre dos versiones débiles del Axioma de elección relacionadas con Ultrafiltros no principales y con Propiedades Ramsey". Autor: Franklin Galindo. Dr. en Matemática (UCV).

En el ámbito de la lógica matemática existe un problema sobre la relación lógica entre dos versiones débiles del Axioma de elección (AE) que no se ha podido resolver desde el año 2000 (aproximadamente). Tales versiones están relacionadas con ultrafiltros no principales y con Propiedades Ramsey (Bernstein, Polarizada, Subretículo, Ramsey, Ordinales flotantes, etc). La primera versión débil del AE es la siguiente (A): “Existen ultrafiltros no principales sobre el conjunto de los números naturales (ℕ)”. Y la segunda versión débil del AE es la siguiente (B): “Existen ultraflitros sobre ℕ”. Se sabe que (A) implica (B), pero se desconoce si (B) implica (A). Di Prisco y Henle conjeturan en los artículos ([1], [2]) que esto no ocurre, es decir, conjeturan que (B) no implica (A), en otras palabras, conjeturan que (A) es más fuerte estrictamente que (B), que (A) es independiente de (B), pero esto no se ha podido demostrar todavía aunque se ha intentado hacer desde hace aproximadamente 20 años. Una descripción detallada de este problema abierto puede encontrarse en el artículo [3]. Pero, ¿qué es un ultrafiltro no principal sobre ℕ? y ¿Qué es un ultraflitro sobre ℕ? Un “ultrafiltro no principal sobre ℕ” es una familia F de subconjuntos de ℕ que satisface las seis propiedades siguientes: (i) ℕ pertenece a F, (ii) El conjunto vacío no pertenece a F, (iii) F es cerrado bajo la operación intersección, es decir, si Z pertenece a F y W pertenece a F, entonces la intersección de Z con W también pertenece a F. (iv) F es cerrado hacia arriba, es decir, si Z pertenece a F y Z es un subconjunto de W, entonces W también pertenece a F. (v) Para cada subconjunto Z de ℕ se cumple que: Z pertenece a F o el complemento de Z (ℕ-Z) pertenece a F. Y (vi) Para cada número natural n, se cumple que el conjunto unitario formado por n, {n}, no pertenece a F. Un “ultraflitro sobre ℕ” es una familia H de subconjuntos de ℕ que cumple las dos propiedades siguientes: (i) Si Z pertenece a H y W pertenece a H, entonces la intersección de Z con W es infinita o la intersección de los complementos de ambas (N-Z y N-W) es infinita. Y (ii) Para cada subconjunto Z de ℕ se cumple que: Z pertenece a H o el complemento de Z (ℕ-Z) pertenece a H. Es conocido que los ultrafiltros no principales sobre ℕ y los ultraflitros sobre ℕ son conjuntos no medibles (considerados como subconjuntos del espacio de Cantor). ¿Y cómo se prueba que (B) no implica (A)? Como es usual en matemáticas, la idea es conseguir un modelo matemático donde (A) sea falsa y (B) sea verdadera, esto es suficiente para realizar la prueba de no implicación que se quiere hacer. Los candidatos naturales para realizar esta demostración que se han sugerido desde el inicio del problema son el “Modelo de Mathias” donde vale la versión débil del AE “Todo conjunto se puede ordenar linealmente (OP)”, y el “Modelo de Solovay L(ℝ)”. El Modelo de Mathias se construye usando la técnica de forcing y automorfismos, utilizando un orden parcial homogéneo universal [5]. Y L(ℝ) se construye suponiendo que existe un cardinal inaccesible y usando las técnicas de forcing y constructibilidad relativizada L(A). ¿Y por qué el Modelo de Mathias es un candidato natural para hacer la prueba de independencia buscada? Porque ya se sabe que en dicho modelo existen ultraflitros sobre ℕ, y entonces solo falta probar que en el mismo no existen ultrafiltros no principales sobre ℕ. Y esto culminaría la prueba. No obstante, tal resultado no se ha podido demostrar todavía. ¿Y por qué L(ℝ) también es un candidato natural para hacer la prueba de independencia buscada? Porque ya se sabe también [4] que existe una extensión genérica del mismo, L(ℝ)[G], que se construye con la técnica del forcing, donde existen ultraflitros sobre ℕ, y entonces en este caso sólo falta probar que en dicha extensión L(ℝ)[G] no existen ultrafiltros no principales sobre ℕ, se sabe que en L(ℝ) no existen ultrafiltros no principales sobre ℕ porque se conoce que en L(ℝ) todo conjunto de reales es medible Lebesgue (y la existencia de ultrafiltros no principales sobre ℕ implica que existen conjuntos de reales que no son medibles Lebesgue), pero no se sabe si cuando se hizo la extensión de L(ℝ) (al modelo ampliado L(ℝ)[G]) se agregó (junto con otros objetos matemáticos) algún ultrafiltro no principal sobre ℕ, y hay que asegurarse que esto no ocurrió. Sin embargo, tampoco esto se ha podido probar hasta estos momentos. La investigación de este problema abierto continúa hoy en día. ¿Será cierta la conjetura de Di Prisco y Henle? ¿y si es cierta, se demostrará la misma con alguno de los modelos sugeridos o se probará con algún otro modelo no mencionado anteriormente?. Bibliografía: [1] C. Di Prisco y H. Henle. “Doughnuts, Floating Ordinals, Square Brackets, and Ultraflitters”. Journal of Symbolic Logic 65 (2000) 462-473. [2] C. Di Prisco y H. Henle. “Partitions of the reals and choice”. En “Models, algebras and proofs”. X. Caicedo y C.M. Montenegro. Eds. Lecture Notes in Pure and Appl. Math, 203, Marcel Dekker, 1999. [3] F. Galindo. “Tópicos de ultrafiltros”. Divulgaciones Matemáticas. Vol. 21, No 1-2, 2020. [4] F. Galindo. “Un teorema sobre P(N)/fin”. Divulgaciones Matemáticas. Vol. 21, No 1-2, 2020. [5] T. Jech. “The Axiom of Choice”. Nort-Holland Publishing Company. London. 1973.