Matemáticas

Frase célebre 1: "Después de todo, ¿qué es la matemática sino la poesía de la mente, y qué es la poesía sino la matemática del corazón?". DAVID EUGENE SMITH. (1860—1944). Matemático estadounidense, educador, coleccionista, editor e historiador de las matemáticas. Frase célebre 2 : "Quizá lo más extraño de la ciencia moderna sea su regreso al Pitagorismo". Bertrand RUSSELL. (1872-1970). Matemático, Lógico, Filósofo, etc. Frase célebre 3: "Las Matemáticas son tanto un aspecto de la Cultura como una colección de algoritmos". C.B. BOYER (1906-1976). History of the Calculus and its conceptual development. Dover, New York. 1949. Frase célebre 4: "Conferimos a las ciencias matemáticas el poder dialéctico de ascender de la caverna a la luz, de lo visible a lo inteligible, de los sentidos a la esencia, por medio de la inteligencia. Por estas Artes puede elevarse la mejor parte del alma a la contemplación del mejor de los seres: el Bien." PLATÓN. República (532c). Frase célebre 5: "El poder que mueve la invención matemática no es (solo) el razonamiento sino la imaginación". AUGUSTUS DE MORGAN (1806−1871). Matemático y lógico británico nacido en la India. Frase célebre 6: "EL LIBRO DE LA NATURALEZA ESTÁ ESCRITO EN LENGUAJE MATEMÁTICO". "LAS MATEMÁTICAS SON EL LENGUAJE EN EL QUE DIOS ESCRIBIÓ EL UNIVERSO" . GALILEO GALILEI (1564–1642), EL PADRE DEL MÉTODO CIENTÍFICO. Frase célebre 7: “Muchas personas que no han estudiado MATEMÁTICAS las consideran una ciencia árida e infructuosa. En realidad, sin embargo, es una CIENCIA que requiere un gran dosis de IMAGINACIÓN.” Sofia Kovalévskaya (1850-1891). Matemática rusa. Frase célebre 8: "La Matemática es la reina de las ciencias y la Aritmética es la reina de las Matemáticas". JOHANN CARL FRIEDRICH GAUSS (1777–1855). Matemático, Astrónomo, Geodesta, y Físico alemán. Frase célebre 9: "El número es el lazo de unión de la eterna persistencia de las cosas". PLATÓN. Timeo. Frase célebre 10: "La matemática ha avanzado más por aquellos que se distinguieron por su intuición que por pruebas rigurosas". Félix KLEIN. (1849-1925). Matemático alemán de gran trascendencia teórica, histórica y metodológica. Frase célebre 11: "Las matemáticas puras son, a su manera, la poesía de las ideas lógicas". Albert EINSTEIN (1879–1955). Frase cálebre 12: "Aunque no nos está permitido penetrar en los misterios íntimos de la naturaleza y, a partir de ahí, conocer las verdaderas causas de los fenómenos, sin embargo, puede ocurrir que una cierta hipótesis ficticia baste para explicar muchos fenómenos". Leonhard Euler (1707-1783). Matemático y Físico. [Cita de la semana de Real Sociedad Matemática Española (RSME), Boletín semanal, 25-09-2024]. Frase célebre 13: "No es el conocimiento, sino el acto de aprender; no es la posesión, sino el acto de llegar allí, lo que otorga el mayor disfrute". 𝕮𝖆𝖗𝖑 𝕱𝖗𝖎𝖊𝖉𝖗𝖎𝖈𝖍 𝕲𝖆𝖚𝖘𝖘 (1777-1855). Matemático y físico alemán. Llamado "El Príncipe de las Matemáticas". Muy interesantes palabras de Gauss sobre el quehacer matemático y científico en general. Frase célebre 13: “La matemática posee no sólo verdad, sino también belleza suprema; una belleza fría y austera, como aquella de la escultura, sin apelación a ninguna parte de nuestra naturaleza débil, sin los adornos magníficos de la pintura o la música, pero sublime y pura, y capaz de una perfección severa como sólo las mejores artes pueden presentar. El verdadero espíritu del deleite, de exaltación, el sentido de ser más grande que el hombre, que es el criterio con el cual se mide la más alta excelencia, puede ser encontrado en la matemática tan seguramente como en la poesía.” Bertrand Russell (1872-1970). Matemático, lógico y filósofo inglés. Frase célebre 14: «La afirmación pitagórica de que el número es la esencia de todas las cosas aprehensibles por los sentidos sigue siendo la más valiosa proposición de la Matemática antigua». Oswald SPENGLER (1880−1936). Filósofo e historiador alemán cuyos intereses incluían las matemáticas, la ciencia y el arte. Frase célebre 15: "La belleza de las Matemáticas sólo se muestra a los seguidores más pacientes". Maryam Mirzajani (1977-2017). Matemática iraní. Profesora de matemáticas de la Universidad de Stanford. La primera mujer galardonada con la Medalla Fields (2014), el premio más prestigioso en matemáticas. Fue una niña prodigio. Frase célebre 16: «Las doctrinas de Pitágoras sobre los números, que comenzaron con el misticismo aritmético, influyeron sobre toda la Filosofía y Matemática siguiente con gran profundidad. Los números eran inmutables y eternos, como los astros celestes; los números eran inteligibles: la ciencia de los números era la llave del universo» Bertrand RUSSELL. “Los Principios de la matemática” (Espasa-Calpe, Madrid, 1977, pág.12). Frase célebre 17: LAS CUATRO REGLAS DE DESCARTES PARA LA BUSQUEDA DE LA VERDAD EN LAS CIENCIAS: "[Buscando el verdadero método para llegar al conocimiento de todas las cosas de que mi espíritu fuera capaz]..........creí que me bastarían las cuatro reglas siguientes, a condición de que tomara una firme y constante resolución de no dejar de aplicarlas una sola vez: (i) La primera consistía en no admitir jamás nada por verdadero que no conociera que evidentemente era tal; es decir, evitar minuciosamente la precipitación y la prevención, y no abarcar en mis juicios nada más que lo que se presentara tan clara y distintamente a mi espíritu que no tuviera ocasión de ponerlo en duda. (ii) La segunda, en dividir cada una de las dificultades que examinara en tantas partes como fuera posible y necesario para mejor resolverlas. (iii) La tercera, en conducir por orden mis pensamientos, comenzando por los objetos más simples y más fáciles de conocer para subir poco a poco, como por grados, hasta el conocimiento de los más compuestos, y aun suponiendo orden entre aquellos que no se preceden naturalmente unos a otros. (iv) Y la última , en hacer en todo enumeraciones tan completas y revisiones tan generales que tuviese la seguridad de no omitir nada." René Descartes (1596-1650). Matemático, Filósofo y Físico francés. "Discurso del Método para el correcto manejo de la razón y la búsqueda de la verdad en las ciencias". (Editorial Panapo. Caracas. 1990). Páginas 18-19. Frase célebre 17: "Un profesor trabaja para la eternidad: nadie puede decir donde acaba su influencia". Henry Adams (1838-1918). Fue un hombre de letras e historiador estadounidense. Frase célebre 18: Se coloca una interesante frase general de la "ciencia del alma" o "ciencia de la creación" (Kabbalah) atribuida a Albert Einstein (1879-1955), afirma que el EGO y el CONOCIMIENTO son inversamente proporcionales: “Cuanto mayor es el conocimiento, menor es el ego; cuanto menor es el conocimiento, mayor es el ego.”

La Hipótesis del Continuo de Cantor ¿Cuál es el cardinal del continuo?

La Hipótesis del Continuo de Cantor ¿Cuál es el cardinal del continuo?
¿ (En la actualidad) Estamos cerca de una solución del problema del cardinal del conjunto de los números reales ? ¿Estamos cerca de saber cuál es dicho cardinal o falta mucho todavía? Los intentos por determinar la cardinalidad del conjunto de los números reales (el cardinal del continuo) han contribuido sustancialmente con el desarrollo de la Teoría de Conjuntos. Hacia 1878 G. Cantor conjeturó que tal cardinal es el menor cardinal mayor que el cardinal de los números naturales (Alef_0), es decir, Alef_1. Esta hipótesis se denomina Hipótesis del continuo (HC) y Cantor no pudo demostrar la misma. Para David Hilbert la HC era tan importante que la colocó de primera en la lista de problemas presentada al Congreso Internacional de Matemáticas realizado en París en 1900; y uno de los resultados más destacados al respecto es la prueba de su independencia de los axiomas estándar de la Teoría de Conjuntos, la cual se debe a K. Gödel (1938) y a P. Cohen (1963-64), es decir, tales autores demostraron que si los axiomas estándar de la Teoría de Conjuntos son consistentes, entonces no se puede deducir de ellos la HC, ni la negación de la HC. Considerando esta independencia y además que (desde un punto de vista platonista) la HC es una proposición significativa la cual es verdadera o falsa, una de las investigaciones actuales más relevantes sobre el tema consiste en la búsqueda de nuevos axiomas que permitan decidir el cardinal del continuo. Vale la pena destacar que algunos de los candidatos a nuevos axiomas dicen que Cantor estaba equivocado, pues ellos implican que el cardinal del continuo es Alef_2, el menor cardinal mayor que Alef_1 (Gödel había intuido este resultado años antes). ¿ Qué ha pasado con el problema del cardinal del continuo después de Gödel (1938) y Cohen (1964) ? Intentos de responder esta pregunta pueden encontrarse en los artículos del Prof. José Alfredo Amor (1946-2011), "El Problema del continuo después de Cohen (1964-2004)", del Prof. Carlos Di Prisco , "Are we closer to a solution of the continuum problem", y del Prof. Joan Bagaria, "Natural axioms of set and the continuum problem" , que se encuentran en la biblioteca digital de este blog que aparecerá al hacer clic en la imagen. También se puede encontrar más información al respecto en dicha biblioteca, en las otras bibliotecas digitales referidas en este blog y en una entrada específica de este blog dedicada al tema (por favor leer esta entrada de primero). Y también en la siguiente entrada web ("The Continuum Hypothesis") de la Enciclopedia de Filosofía de la Universidad de Stanford existe información importante y actualizada al respecto: https://plato.stanford.edu/entries/continuum-hypothesis/

Cardinales grandes

Cardinales grandes
En este blog existe una entrada referida a este tema donde se colocan algunas referencias clásicas. Hacer clic sobre la imagen para tener acceso a dicha entrada.

Matemática aplicada

Matemática aplicada
Matemática Aplicada. Esquema del "Proceso de Modelación Matemática". Es muy interesante el tema de las aplicaciones de la matemática (en todas sus ramas) a las ciencias naturales y sociales. Hacer clic sobre la imagen para ver un video de youtube que presenta un resumen de diversas aplicaciones de la matemática a las ciencias, el video es del canal "EduMates". También en el siguiente video de youtube se puede ver una interesante entrevista al profesor de matemáticas Marcus du Sautoy realizada por Eduar Punset, en la cual el profesor Marcus habla sobre el tema de la aplicación matemática, el video se llama "Las Simetrías del Universo": https://www.youtube.com/watch?v=jegmxU9YS-s Un ejemplo de cómo crear un modelo matemático usando Ecuaciones Diferenciales (video de youtube del canal "MateFacil") es el siguiente: https://www.youtube.com/watch?v=V9UE2QmnDjw Otro ejemplo se puede ver en el siguiente video de youtube de "MateFacil": https://www.youtube.com/watch?v=WgWcxansYCs&t=18s Y otro ejemplo se puede ver en el siguiente video de youtube del canal "Matemáticas y física con tilde": https://www.youtube.com/watch?v=jXVJJoFTbeQ Es conocido que en internet (por ejemplo en "youtube") se pueden encontrar muchos otros videos tutoriales con ejemplos de aplicaciones matemáticas (de todas las ramas de las matemáticas). En el siguiente video de youtube se puede ver dos ejemplos de modelos (o fenómenos) estocásticos o probabilísticos: https://www.youtube.com/watch?v=8hHevhITp-c . En la biblioteca digital de este blog se pueden conseguir algunos libros con diferentes aplicaciones matemáticas.

viernes, 4 de febrero de 2011

La Silogística de Aristóteles desde el punto de vista de la Lógica Matemática.

(Agosto 2019)

Una introducción contemporánea a la Silogística de Aristóteles puede conseguirse (entre otros) en el texto "Lógica Simbólica" de Manuel Garrido (Capítulo X), el cual está en la biblioteca digital de este blog y se puede bajar. También vale la pena resaltar que dicho texto presenta una introducción a la Lógica matemática. Otros tres textos  contemporáneos  que también presentan una introducción a la Lógica matemática son "Introducción a la Lógica" y "Lógica Simbólica" de Irvig Copi, e "Introducción a la lógica formal" de Alfredo Deaño. También se puede mencionar el texto de "Lógica para principiantes" de María Manzano y Antonia Huertas. Todos ellos son recomendados para introducirse en la Lógica matemática y se pueden conseguir (y bajar) en la biblioteca digital de este blog. (Existen otros muy buenos textos introductorios de Lógica Matemática).


                             Aristóteles (384 a. C. - 322 a. C.): Filósofo, lógico y científico.


                             
Para los estudios y profundización en la Historia de la  Lógica matemática (principales fundadores y sus contribuciones, por ejemplo) vale la pena presentar un interesante diagrama sobre la misma y los Fundamentos de la matemática,  desde 1847 hasta 1947. La foto original en alta resolución donde se puede leer con todo detalle el diagrama  está disponible para descargar en el enlace:
https://www.flickr.com/photos/61656241@N02/15441918067/?fbclid=IwAR1VPlqoAEhMP74LzqZvFddxX2jAJj1UHga9CYYIjQZMPY-uK5dLGk9GpeE  . El diagrama fue realizado por Joel Friedman en 1976.  El autor se basó para hacer su obra (principalmente) en los textos clásicos "From Frege to Gödel" de Jean van Heijenoort, 1969, y "The Development of Logic" de W. Kneale y M. Kneale, 1962. El diagrama es el siguiente:



Para una información  avanzada sobre la Silogística de Aristóteles puede consultarse el artículo (entre otros) de Corcoran "Completeness of an ancient logic", The Journal of Symbolic Logic, vol. 37,1972. Y  el texto de Lukasiewicz "La Silogística de Aristóteles desde el punto de vista de la lógica formal moderna" (1957), Tecnos, Madrid, 1977. [El trabajo de Lukasiewicz sobre la Silogística aparece referido-en el diagrama anterior sobre Lógica matemática y Fundamentos-como una de sus contribuciones, son varios sus aportes, ver el diagrama]. Es importante destacar que la interpretación de la Silogística de Aristóteles que realiza Corcoran difiere en algunos aspectos importantes de la que realiza Lukasiewicz, por ejemplo Lukasiewicz la presenta como un sistema axiomático que presupone a la Lógica proposicional y Corcoran la presenta  como un sistema de reglas de inferencia que no presupone a la Lógica proposicional (Vale la pena resaltar que Corcoran-en su artículo mencionado anteriormente- realiza una prueba de la "Completitud" de dicho sistema usando una adaptación del método del conjunto maximal consistente de Henkin).




                             Jan Lukasiewicz (1878-1956): Matemático, lógico y filósofo.

                              Jon Corcoran (nació en 1937): Lógico, filósofo y matemático.

                                      Leon Henkin (1921-2006): Matemático y lógico.



Un texto  que contiene los escritos lógicos originales de Aristóteles y donde se encuentra su teoría del Silogísmo es "Aristóteles. Tratados de Lógica (El Organón)", Editorial Porrúa.




Nota 1: Además de Lukasiewicz y Corcoran es conocido que D. Hilbert y W. Ackermann (entre otros) estudian a la Silogística con la Lógica Matemática, ellos la presentan en el contexto del Cálculo de Clases. Esto lo hacen en su texto "Elementos de Lógica Teórica" (1958), Capítulo 2:"El Cálculo de Clases", ver. Allí prueban que el Cálculo de Clases es decidible usando (entre otros) los procedimientos efectivos de "forma normal conjuntiva" y "forma normal disyuntiva" de la Lógica Proposicional y la correspondencia natural entre las operaciones (Booleanas) de Clases de "intersección", "unión" y "complemento" con las conectivas proposicionales de "conjunción", "disyunción" y "negación" (respectivamente). (El resultado sobre la dicibilidad del Cálculo de Clases que prueba Hilbert y Ackermann es original de Löwenheim, según ambos autores).

Nota 2: Tal vez se pueda decir que la Lógica de Predicados Monádicos actual (proveniente de los trabajos lógicos pioneros de Boole, Frege, Russell-Whitehead, Hilbert y Tarski, entre otros) se pueda considerar como una versión contemporánea de la Silogística de Aristóteles. Como es conocido tal sistema tiene las propiedades de completitud, consistencia y decibilidad (entre otras) al igual que la Silogística de Aristóteles "original" (la de Lukasiewicz y la de Corcoran). Una prueba de las mismas puede encontrarse (entre otros) en el texto de Alonzo Church: INTRODUCTION TO MATHEMATICAL LOGIC. Princeton University Press, 1956. Ver. Es conocido que la Lógica de Primer Orden con Predicados Poliádicos (una extensión propia de la Lógica de Predicados monádicos) es consistente y completa (Gödel 1930, Henkin 1949) pero no es decidible (Alonzo Church, 1936). También es muy conocido que con la Lógica de Primer Orden de Predicados Poliádicos se puede formalizar y estudiar el razonamiento matemático, no todo el razonamiento matemático (por los Teoremas de Incompletitud de Gödel de 1931) pero se puede estudiar en un grado importante vía (por ejemplo) la teoría de conjuntos formalizada en primer orden, en cambio esto no se puede hacer usando a la Silogística, ya que (entre otras razones), con el lenguaje de la Silogística no se pueden expresar relaciones entre individuos (por ejemplo "x < y").

Nota 3: Teniendo presente  la "Nota 1" puede surgir  la siguiente pregunta: ¿se puede considerar a las Teorías axiomáticas  de conjuntos contemporáneas (ZFC, NBG, KM,  etc) como las versiones actualizadas  (y generalizadas) de la Silogística de Aristóteles? ¿o no hay comparación relevante  entre dichos sistemas [más allá de que los silogismos válidos aristotélicos que no tienen problemas del compromiso existencial se pueden demostrar como teoremas de dichas teorías axiomáticas de conjuntos, e incluso los que tienen problema del compromiso existencial se pueden demostrar agregando una premisa adicional]?.

Nota 4: Vale la pena resaltar que hoy en día existen trabajos novedosos sobre la Silogística, por ejemplo sobre métodos gráficos para determinar la validez o no de los silogismos. Y también se investiga dicho sistema en la actualidad desde un punto de vista filosófico (por ejemplo "ontológico").

A continuación se presentan  las imágenes de  algunos investigadores  que contribuyeron con la conformación de la Lógica Matemática y Fundamentos, y que aparecen  en el diagrama presentado anteriormente (además de estar relacionados con esta entrada):



                                      George Boole (185-1864): Matemático y Lógico.


                             Gottlob Frege (1848-1925): Matemático, Lógico y Filósofo.


                               Bertand Russell (1872-1970): Matemático, Lógico y Filósofo.


                                David Hilber (1862-1943): Matemático, Lógico y filósofo.


                                  Wilhelm Ackermann (1896-1962): Matemático y lógico.


                                  Leopold Löwenheim (1878-1957): Matemático y lógico.                 


                   
Observación final: He escrito dos artículos sobre la Silogística desde el punto de vista de la Lógica Matemática:
(1) "Axiomatización de la Silogística Extendida". Episteme NS, Vol. 21, N 1, 2001, pp. 15-29. Enlace web donde se puede bajar: https://aristotelesucv.files.wordpress.com/2016/10/aximatizacion-de-la-silogistica-extendida-franklin-galindo.pdf  . También se puede bajar de la biblioteca digital de este blog, en la actualidad la versión PDF del artículo que está en el blog de Aristóteles le faltan dos páginas. La versión que está en la biblioteca digital de este blog si está completa, por eso recomiendo bajarlo de la biblioteca digital de este blog.
Y (2) "Las reglas de Irving Copi y Carl Cohen son una condición necesaria y suficiente de la validez de los silogísmos categóricos de forma estándar". Episteme NS, Vol. 25, N 1, 2005, pp. 123-147 (este último es con Kris Martins). Enlace web donde se puede bajar:
http://saber.ucv.ve/ojs/index.php/rev_ens/article/view/13289



Se culmina esta entrada con una imagen final de "La Escuela de Atenas" (hacer clic en la imagen para agrandarla y apreciarla mejor):

"La escuela de Atenas (en italiano: Scuola di Atene) es una de las pinturas más destacadas del artista renacentista italiano Rafael Sanzio. Fue hecha en boceto entre 1509 y 1510 y pintada entre 1510 y 1512 como parte de una comisión para decorar con frescos las habitaciones que hoy en día son conocidas como las estancias de Rafael, ubicadas en el Palacio Apostólico de la Ciudad del Vaticano." https://es.wikipedia.org/wiki/La_escuela_de_Atenas . En dicha pintura se puede ver (según referencias), entre otros, a los grandes filósofos griegos Heráclito, Sócrates, Platón y Aristóteles, y a los grandes matemáticos griegos Hipatía, Pitágoras y Euclides.
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