"TEORÍA DE CONJUNTOS Y ANÁLISIS MATEMÁTICO": Curso de Matemáticas vía web impartido por el Prof. Franklin Galindo (Dr. en Matemáticas UCV). Contacto: +584129953888, franklingalindo178@gmail.com . Mi síntesis curricular se puede encontrar en el siguiente enlace: https://ucv.academia.edu/FranklinGalindo/CurriculumVitae . El curso está divido en tres partes, muy bien diferenciadas, y se puede iniciar (el curso) cuando el(los) interesado(s) tenga(n) las posibilidades. También vale la pena resaltar que el curso esta siempre abierto para recibir nuevos estudiantes e iniciar el programa de formación con ellos. Excelente nivel académico y pedagógico. Experiencia académica universitaria. El profesor facilitará la bibliografía a utilizar. Dos clases semanales (de 2 horas cada una, 120 min). Horario a convenir. Costo del curso: Accesible y razonable, preguntar al profesor por whatsapp o correo gmail.
PRIMERA PARTE DEL CURSO: (Los interesados pueden ver sólo esta parte de curso, es independiente de las dos partes siguientes del curso)
Una construcción, a partir de los Axiomas estándar de la Teoría Axiomática de conjuntos de Zermelo-Fraenkel ZFC (sin usar el Axioma de Fundamentación y el Axioma de elección), del Sistema de los Números Naturales, del Sistema de los Números Enteros, del Sistema de los Números Racionales, del Sistema de los Números Reales y del Sistema de los Números Complejos. Se trabajará con los textos (entre otros) "Teoría de Conjuntos" de Carlos Di Prisco, "Elements set theory" de Herbert Enderton y "Number Systems and the Foundations of Analysis" de Elliot Mendelson. En los dos primeros textos referidos está solo una parte de la construcción, y la construcción completa está en el segundo texto mencionado. (Por simplicidad) empezaremos con Di Prisco ( "Teoría de conjuntos") y Enderton ("Elements set theory") allí se construyen N, Z, Q y una parte importante de R (usando "Cortaduras de Dedekind"), y luego terminaremos de hacer lo que falta de R y todo C, con el texto de Mendelson ("Number Systems and the Foundations of Analysis"). Walter Rudin, en su texto "Principios de Análisis Matemático", capítulo 1 ("Sistemas de números reales y complejos"), trata sobre dichas construcciones (de los reales como "Cortaduras de Dedekind", y de los complejos), de una manera resumida. [Relacionaremos las construcciones realizadas con los axiomas de "cuerpo ordenado completo" presentes en los textos de "Cálculo infinitesimal" de Spivak, "Calculus" de Apostol, y "Real Analysis" de Royden. Y también lo relacionaremos con los "Tres teoremas fuertes" mencionados por Spivak en su texto de "Cálculo Infinitesimal", y con el "método cotidiano de hacer matemática" que domina en los matemáticos contemporáneos (Quizá después de David Hilbert). Todos los libros referidos se pueden conseguir en la web (y el profesor los facilitará). Se anexa una imagen de los mismos.
SEGUNDA PARTE DEL CURSO: (Los interesados pueden ver sólo la primera parte y esta segunda parte del curso, ambas son independientes de la tercera parte)
Una construcción (a partir de ZFC) del Sistema de los números ordinales y del Sistema de los números cardinales (Los números transfinitos de Georg Cantor y su aritmética, "Aritmética de los números ordinales de Cantor" y "Aritmética de los números cardinales de Cantor"), y de la Jerarquía acumulativa de conjuntos (El Universo de los conjuntos, V). Se trabajará con los textos (entre otros): "Elements set theory" y "Teoría de Conjuntos" (antes mencionados). También se puede incluir en esta parte del curso (eventualmente) una breve introducción a la Teoría de Ramsey con una prueba del Teorema de Ramsey (con el cual se inicia dicha teoría). Y También se puede incluir en esta parte del curso (eventualmente) una breve introducción a los cardinales grandes (por ejemplo: Inaccesibles, Ramsey, medibles y supercontactos). [Nota: Es conocido que los cardinales grandes no se pueden construir con ZFC, como consecuencia del Segundo Teorema de incompletitud de Gödel]. Este último contenido mencionado (cardinales grandes) puede encontrarse en los siguientes textos (entre otros): Set Theory de Thomas Jech, "The Higher Infinite" de Kanamori, y "Model Theory" de Chang y Keisler. Tales textos se pueden conseguir en la web (y el profesor los facilitará).
TERCERA PARTE DEL CURSO: (Los interesados pueden ver sólo esta tercera parte del curso (si ya tienen conocimiento de las dos primeras partes), ella presupone las dos partes anteriores)
El último punto referido en el título El Problema de Continuo (Es decir: ¿Cuál es el cardinal del conjunto de los números reales R?) y el Problema de Suslin (Es decir: ¿En la caracterización (salvo isomorfismo) de la "Recta real", (R,<), como un "orden total, denso, no acotado, completo y separable (contiene un subconjunto denso numerable)", se pude sustitutir la propiedad de "separabilidad" por la propiedad de "condición de cadena contable" sin dañar la caracterización?). Pruebas de Independencia y Combinatoria infinita puede trabajarse a partir de los textos (entre otros): Set Theory de Kenneth Kunen y Set Theory de Thomas Jech. Estudiaremos las pruebas independencia de la Hipótesis del continuo (HC) y de la Hipótesis de Suslin (HS) de ZFC usando los principios combinatorios (combinatoria infinita) Delta-Lema, Axioma de Constructibilidad, Principio Diamante, Axioma de Martin, etc; además de los métodos de contrucción de modelos de la teoría de conjuntos "Forcing" y "Los constructibles de Gödel". También se realizará la demostración de que el Axioma de Elección (AE) es independiente del resto de los axiomas de ZFC,es decir, de ZF. [Eventualmente, también se puede dar el método de construcción de modelos llamado "Ultraproductos" muy útil para investigar (entre otros) cardinales grandes, y se pueden dar ejemplos de aplicaciones con algunos teoremas clásicos relevantes sobre cardinales grandes]. Los textos referidos se pueden conseguir en la web (y el profesor los facilitará). Se anexa una imagen de los mismos.
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