La Propiedad de Compacidad en Lógica y en Topología

(Febrero 2018)

El Teorema de compacidad en Lógica tiene al menos dos versiones equivalentes:

Teorema de Compacidad (Versión 1): Sea A un conjunto de sentencias. A tiene un modelo si y sólo si cada subconjunto finito de A tiene un modelo.

Teorema de compacidad (Versión 2): Sea A un conjunto de sentencias y p una sentencia. p es una consecuencia Lógica de A si y sólo si existe un subconjunto finito A_0  de A tal que p es una consecuencia lógica de A_0.  

Es conocido que el Teorema de compacidad vale para la Lógica proposicional y para la Lógica de primer orden y que el mismo se  puede demostrar como un corolario del Teorema de completitud de Gödel [Gödel (1930), Henkin (1949]). Pero también dicho Teorema  se puede probar directamente (para ambas lógicas), en el caso de la Lógica proposicional una manera de hacerlo es usando  un método análogo al que utiliza  Henkin para probar completitud, y en el caso de la Lógica de primer orden se puede hacer usando la técnica de construcción de modelos llamada Ultraproductos, el cual a su vez utiliza Ultrafiltros [Skolem (1930), Lós (1955)]. Hay otras versiones de Compacidad que cumplen otros sistemas lógicos, versiones más débiles que la Versión 1 y la Versión 2, como por ejemplo las lógicas con cuantificadores generalizados (Compacidad para conjuntos numerables de sentencias) y las lógicas infinitarias de cardinal medible (Compacidad débil).  

La propiedad  de compacidad en topología es la siguiente:

Un Espacio topológico  (X, t)  se dice compacto si, dado un recubrimiento abierto de X cualquiera, existe un subrecubrimiento finito del mismo.

Tal vez el antecedente más antiguo de la propiedad de compacidad en topología es el conocido Teorema de Heine-Borel:  Sea [a,b]  un intervalo cerrado y acotado y sea {G_i} una clase de conjuntos abiertos tales que [a,b] está incluido en la unión de los G_i. Entonces, es posible escoger un número finito de conjuntos abiertos, por ejemplo G_i1, G_i2,..., G_in, de modo que el intervalo [a,b] está incluido en dichos conjuntos abiertos.  Una demostración de este teorema  puede encontrarse en el texto de  H., Royden, "Real Analysis", Macmillan Publishing Company, 1998.  Este libro está en la biblioteca digital de este blog y se puede bajar. Vale la pena resaltar que el Teorema de Heine-Borel  tiene versiones de finales del siglo XIX.

Nota 1: He realizado un artículo donde presento de manera detallada una prueba directa del Teorema de Compacidad para la Lógica de primer orden usando el método de construcción de modelos llamado de Ultraproductos y también describo detalladamente una demostración del Teorema fundamental de los Ultraproductos (Teorema de Lós), tal vez pueda ser útil dicho artículo, está en el siguiente enlace de la web y se puede bajar: http://biblo.una.edu.ve/ojs/index.php/UNAINV/article/view/1442 . Se llama así: "Una presentación de la demostración directa del teorema de compacidad de la lógica de primer orden que usa el método de ultraproductos". UNA INVESTIG@CIÓN, Vol. VIII, N 15 (2016).

Nota 2: Una prueba directa del Teorema de compacidad para la lógica proposicional  se puede encontrar  en los textos de Carlos Di Prisco, "Introducción a la Lógica Matemática", Emalca Amazonia, 2009. Y también de  H. Enderton. "Una Introducción Matemática a la Lógica". UNAM. 2004. Ambos libros  están en la biblioteca digital de este blog y se puede bajar.

Nota 3: ¿Cuál es la relación entre Compacidad en Lógica y Compacidad en Topología? 

Una respuesta es la siguiente: 

(*) "El teorema de compacidad para una teoría T  (en primer orden) es equivalente a que el espacio topológico de Stone del álgebra booleana de Lindenbaum determinada por  T sea compacto" .  

El espacio topológico de Stone (S, t) tiene como universo S al conjunto de todos los ultrafiltros sobre el álgebra  booleana  de Lindembaum determinada por  T y la topología t del mismo es la generada por los abiertos básicos de la forma,

                                              X_b={u pertenece S : b pertenece a u}, 

para toda b que pertenece al álgebra de Lindenbaum determinada por T. 
(Ver la demostración del Teorema de Representación de Stone-"Cualquier álgebra booleana es isomorfica a un cuerpo (álgebra) de conjuntos"- en el texto "Set Theory" de Thomas Jech, el cual se encuentra en la biblioteca digital de este blog) 
Para más información leer el enlace: http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=69702.0;wap2 .  
Una prueba del  resultado (*) puede encontrarse en el siguiente enlace: https://math.stackexchange.com/questions/842/why-is-compactness-in-logic-called-compactness . Vale la pena resaltar que he escrito un artículo (en el 2020) que se llama "Tópicos de Ultrafiltros" donde se puede encontrar una demostración más detallada que la que aparece en el enlace anterior, la cual supone muchas cosas importantes. Dicho artículo fue publicado en la revista Divulgaciones Matemáticas y se puede enontrar y bajar de la web, su referencia exacta es: Divulgaciones Matemáticas. Vol. 21, No. 1-2 (2020), pp. 53-76. Un resumen del contenido del mismo es el siguiente: 

Los ultrafiltros son objetos matemáticos muy importantes en la investigación matemática. Existen una gran variedad de teoremas clásicos en diversas ramas de la matemática donde se aplican ultrafiltros en su demostración, y otros teoremas clásicos que  tratan directamente sobre ultrafiltros. El objetivo de este artículo es contribuir (de una manera divulgativa) con la investigación sobre ultrafiltros describiendo las demostraciones de algunos de tales teoremas relacionados (de manera única o combinada) con topología, teoría de la medida, álgebra, combinatoria infinita, teoría de conjuntos y lógica de primer orden, formulando además algunos problemas abiertos actuales de la teoría de conjuntos que se refieren a ultrafiltros no principales sobre N, al Modelo de Mathias y al Modelo de Solovay.

 

Palabras y frases clave: ultrafiltros, aplicaciones de ultralfiltros, ultrafiltros no principales sobre N.

Se puede encontrar y bajar  en el siguiente enlace de la revista:https://docs.google.com/a/demat-fecluz.org/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVtYXQtZmVjbHV6Lm9yZ3xyZXZpc3RhZG0tZGl2dWxnYWNpb25lcy1tYXRlbWF0aWNhc3xneDo3MGUxZDU2MjE0NWFhMmQw

                                                  Eduard Heine (1821-1881)

                                                               
                                                   Émile Borel (1871-1956)

                                                   Marshell Stone (1903-1989)

                                                         
                                                Kurt Gödel (1906-1978)

                                           Adolf Lindenbaum (1904-1941)

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------- NOTA EXTRA (10-01-2025):

"EL LIBRO DE LA NATURALEZA ESTÁ ESCRITO EN LENGUAJE MATEMÁTICO". GALILEO GALILEI (1564–1642).

Profesor e Investigador Franklin Galindo. Dr. en Matemáticas UCV. Síntesis curricular: https://ucv.academia.edu/FranklinGalindo/CurriculumVitae

“La matemática posee no sólo verdad, sino también belleza suprema; una belleza fría y austera, como aquella de la escultura, sin apelación a ninguna parte de nuestra naturaleza débil, sin los adornos magníficos de la pintura o la música, pero sublime y pura, y capaz de una perfección severa como sólo las mejores artes pueden presentar. El verdadero espíritu del deleite, de exaltación, el sentido de ser más grande que el hombre, que es el criterio con el cual se mide la más alta excelencia, puede ser encontrado en la matemática tan seguramente como en la poesía.” Bertrand Russell (1872-1970).