¿ Cuál es el cardinal del continuo? ¿ Cuál es el cardinal del conjunto de los números reales?

¿ Cuál es el cardinal del continuo? ¿ Cuál es el cardinal del conjunto de los números reales?
¿ (En la actualidad) Estamos cerca de una solución del problema del cardinal del conjunto de los números reales ? ¿Estamos cerca de saber cuál es dicho cardinal o falta mucho todavía o nunca lo sabremos? Los intentos por determinar la cardinalidad del conjunto de los números reales (el cardinal del continuo) han contribuido sustancialmente con el desarrollo de la Teoría de Conjuntos. Hacia 1878 G. Cantor conjeturó que tal cardinal es el menor cardinal mayor que el cardinal de los números naturales (Alef_0), es decir, Alef_1. Esta hipótesis se denomina Hipótesis del continuo (HC) y Cantor no pudo demostrar la misma. Para David Hilbert la HC era tan importante que la colocó de primera en la lista de problemas presentada al Congreso Internacional de Matemáticas realizado en París en 1900; y uno de los resultados más destacados al respecto es la prueba de su independencia de los axiomas estándar de la Teoría de Conjuntos, la cual se debe a K. Gödel (1938) y a P. Cohen (1963-64), es decir, tales autores demostraron que si los axiomas estándar de la Teoría de Conjuntos son consistentes, entonces no se puede deducir de ellos la HC, ni la negación de la HC. Considerando esta independencia y además que (desde un punto de vista platonista) la HC es una proposición significativa la cual es verdadera o falsa, una de las investigaciones actuales más relevantes sobre el tema consiste en la búsqueda de nuevos axiomas que permitan decidir el cardinal del continuo. Vale la pena destacar que algunos de los candidatos a nuevos axiomas (propuestos recientemente) dicen que Cantor estaba equivocado, pues ellos implican que el cardinal del continuo es Alef_2, el menor cardinal mayor que Alef_1 (Gödel había intuido este resultado años antes). ¿ Qué ha pasado con el problema del cardinal del continuo después de Gödel (1938) y Cohen (1964) ? Intentos de responder esta pregunta pueden encontrarse en los artículos del Prof. José Alfredo Amor (1946-2011), del Prof. Carlos Di Prisco y del Prof. Joan Bagaria que se encuentran en la biblioteca digital de este blog que aparecerá al hacer clic en la imagen. También se puede encontrar más información al respecto en dicha biblioteca, en las otras bibliotecas digitales referidas en este blog y en una entrada específica de este blog dedicada al tema.

sábado, 19 de noviembre de 2011

Cuatro artículos clásicos sobre los fundamentos de la matemática

Cuatro artículos clásicos sobre los fundamentos de la matemática que se pueden encontrar (y bajar) en nuestra biblioteca digital son:

(1) FUNDAMENTOS LOGICISTAS DE LA MATEMÀTICA. Autor: Rudolf Carnap.
(2) FUNDAMENTOS INTUICIONISTAS DE LA MATEMÀTICA. Autor: Arend Heyting.
(3) FUNDAMENTOS FORMALISTAS DE LA MATEMÀTICA. Autor: Johann von Neumann.
(4) EL PLATONISMO EN MATEMÀTICA. Autor: Paul Bernays.

Todos ellos estan en el texto PHILOSOPHY OF MATHEMATICS de Paul Benacerraf y Hilary Putnam. Cambridge University Press. 1983. Dicho texto también se encuentra en nuestra biblioteca digital.

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